Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Теоретический материал по алгебре (подготовка к ОГЭ)

Теоретический материал по алгебре (подготовка к ОГЭ)

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Задача №90.

В период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 15%, во второй – на 40%. Сколько рублей стал стоить чайник после второго снижения цен, если до начала распродажи он стоил 1000 р.?

Решение задачи:

Первое снижение:
1000-15%=1000-0,15*1000=1000-150=850 руб.
Т.е. 850 рублей - цена чайника после первого снижения.
Второе снижение:
850-40%=850-0,4*850=850-340=510 рублей - цена после второго снижения.
Ответ: 510

Задача №92

Какое из следующих чисел является наименьшим?
1) 1,7*10
-3
2) 2,3*10
-4
3) 4,5*10
-3
4) 8,9*10
-4

Решение задачи:

Чтобы сравнить подобные числа необходимо привести их к одному виду, а именно, чтобы 10 была в одной и той же степени, скажем к 10-3.
1) 1,7*10
-3 - в нужном виде.
2) 2,3*10
-4=2,3*10-1*10-3=(2,3/10)*10-3=0,23*10-3
3) 4,5*10
-3 - в нужном виде.
4) 8,9*10
-4=8,9*10-1*10-3=(8,9/10)*10-3=0,89*10-3
Теперь достаточно сравнить числа, стоящие перед 10
-3. Очевидно, что 0,23 - наименьшее.
Ответ: 2)









Задача №34

Смешали некоторое количество 21%-го раствора некоторого вещества с таким же количеством 95%-го раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение задачи:

Пусть х - концентрация получившегося раствора.
Пусть y - количество литров 21%-го раствора.
Получаем уравнение:
0,21y+0,95y=2y*x/100 |:y
0,21+0,95=2x/100 |*100
21+95=2x
(21+95)/2=x
x=58
Ответ: 58%

Задача №94

Два человека одновременно отправляются из одного и того же места по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 4 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,7 км/ч, а другой — со скоростью 4,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча?

Решение задачи:

Обозначим за x расстояние от опушки до места встречи.
Время прогулки для обоих людей, естественно, одинаковое. Тогда для первого человека время можно записать так: t=S
1/v1=(4-x)/2,7
Время второго человека: t=S
2/v2=(4+x)/4,5
(4-x)/2,7=(4+x)/4,5
(4-x)4,5=(4+x)2,7
(4-x)4,5=(4+x)2,7
18-4,5x=10,8+2,7x
18-10,8=2,7x+4,5x
18-10,8=2,7x+4,5x
7,2=7,2x
x=1
Расстоянии от точки отправления до места встречи = 4-x=4-1=3
Ответ: 3



Задача №27

Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 39 минут раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 26 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?

Решение задачи:

Обозначим: Sм - путь, который проехал мотоциклист.
S
в - путь, который проехал велосипедист.
t
м - время в пути мотоциклиста. tв - время в пути велосипедиста.
v
м - скорость мотоциклиста. vв - скорость велосипедиста.
S
м=Sв (так как расстояние между городами величина постоянная)
t
м=tв-39 минут
v
м*26 - расстояние, которое проехал мотоциклист, от А до встречи
v
в*26 - расстояние, которое проехал велосипедист, от В до встречи
v
м*26+vв*26 - расстояние между городами, следовательно:
v
м*26+vв*26=vв*tв. А так же vв*tв=vм*tм
Получаем систему:
v
м*26+vв*26=vв*tв
v
в*tв=vм*(tв-39)
v
в*26-vв*tв=-vм*26
v
в*tв=vм*(tв-39)
v
в*(26-tв)=-vм*26
v
в*tв=vм*(tв-39)
Разделим одно выражение на другое: (26-t
в)/tв=-26/(tв-39)
(26-t
в)(tв-39)=-26tв
26t
в-39*26-tв2+39tв=-26tв
t
в2-26tв-26tв-39tв+1014=0
t
в2-91tв+1014=0
Решим это квадратное уравнение:
D=(-91)
2-4*1*1014=8281-4056=4225
t
в1=(-(-91)+65)/2=78
t
в2=(-(-91)-65)/2=13
13 минут - не подходит для ответа, так как противоречит условию, что они встретились через 26 минут. t
в=78 минут = 1 час и 18 минут
18/60=0,3
Ответ: t
в=1,3 часаhttp://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.png

Задача №53

Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 2 часа, вернулись обратно через 6 часов от начала путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?

Решение задачи:

Обозначим:
S - расстояние от лагеря до места прогулки.
t
1 - время движения лодки против течения.
t
2 - время движения лодки по течению.
Скорость лодки против течения равна 6-3=3 км/ч, по течению - 6+3=9 км/ч.
Составим уравнения:
движение лодки против течения: S=3t
1
движение лодки по течению: S=9t
2
время в поездке:
6=t
1+t2+2
t
1=4-t2
S=3(4-t
2)
S=9t
2
Вычтем из первого уравнения второе:
S-S=3(4-t
2)-9t2
0=12-3t
2-9t2
0=12-12t
2
t
2=1
Подставляем во второе уравнение:
S=9t
2=9*1=9 км.
Ответ: 9 км.
http://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.png













Задача №93

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.

Решение задачи:

Введем обозначения:
v
1 - скорость первого бегуна;
v
1+8 - скорость второго бегуна;
S - длина одного круга в километрах;
Про первого бегуна мы знаем, что за 1 час он пробежал (S-1) км.
Т.е 1=(S-1)/v
1
v
1=S-1
S=v
1+1
20 минут = 1/3 часа.
Про второго бегуна мы знаем, что за (1-1/3) часа он пробежал S км.
Т.е. 2/3=S/(v
1+8)
2(v
1+8)=3S
Подставим значение S из ранее полученного равенства:
2(v
1+8)=3(v1+1)
2v
1+16=3v1+3
16-3=3v
1-2v1
v
1=13
Т.е. скорость первого бегуна - 13 км/ч
Ответ: 13













Задача №66

Рыболов проплыл на лодке от пристани некоторое расстояние вверх по течению реки, затем бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно через 5 часов от начала путешествия. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?

Решение задачи:

Обозначим:
S - расстояние от пристани до места рыбалки.
t
1 - время движения лодки против течения.
t
2 - время движения лодки по течению.
Скорость лодки против течения равна 6-2=4 км/ч, по течению - 6+2=8 км/ч.
Составим уравнения:
движение лодки против течения: S=4t
1
движение лодки по течению: S=8t
2
общее время поездки:
5=t
1+t2+2
t
1=3-t2
S=4(3-t
2)
S=8t
2
Вычтем из первого уравнения второе:
S-S=4(3-t
2)-8t2
0=12-4t
2-8t2
0=12-12t
2
t
2=1
Подставляем во второе уравнение:
S=8t
2=8*1=8 км.
Ответ: 8 км.
http://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.png













Задача №72

Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Решение задачи:

Обозначим:
v
1 - скорость первого велосипедиста, значит
v
1-10 - скорость второго велосипедиста
t
1 - время в пути первого велосипедиста, значит
t
1+3 - время в пути второго велосипедиста
Уравнение движения для первого велосипедиста выглядит так:
60=v
1*t1, t1=60/v1
Для второго:
60=(v
1-10)*(t1+3)=v1*t1+3v1-10t1-30
60=v
1*(60/v1)+3v1-10(60/v1)-30
60=60+3v
1-600/v1-30
30=3v
1-600/v1 |:3
10=v
1-200/v1 |*v1
10v
1=v12-200
0=v
12-10v1-200
Решим это квадратное уравнение:
D=(-10)
2-4*1*(-200)=100+800=900
v
1-1=(-(-10)+30)/(2*1)=40/2=20
v
1-2=(-(-10)-30)/(2*1)=-20/2=-10
Отрицательной скорость быть не может, следовательно v
1=20 км/ч.
Значит, скорость второго велосипедиста равна 20-10=10 км/ч.
Ответ: 10 км/ч











Задача №25

Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправляются два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 56 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 182 км, скорость первого велосипедиста равна 13 км/ч, скорость второго — 15 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Решение задачи:

Обозначим: S1 - путь, который проехал первый велосипедист.
S
2 - путь, который проехал второй велосипедист.
t
1 - время в пути первого велосипедиста.
t
2 - время в пути второго велосипедиста.
S
1+S2=182 км.
Первый велосипедист ехал на 56 минут меньше второго, т.к. сделал остановку.
56 минут = 56/60 часа. t2=t1+56/60 минут. Получается: S1=13*t1 S2=15*t2
13*t
1+15*t2=182
13t
1+15(t1+56/60)=182
13t
1+15t1+15*56/60=182
28t
1=182-56/4
28t
1=168
t
1=6
S
1=13*t1=13*6=78
S
1+S2=182
S
2=182-S1=182-78=104
Ответ: S2=104 км

Задача №24

Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 84 км/ч, а вторую — со скоростью 96 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение задачи:

Так как пути, пройденные автомобилем с разной скоростью, равны, то
v
ср=(v1+v2)/2=(84+96)/2=90
Ответ: v
ср=90 км/ч





Задача №18

Первые 5 часов автомобиль ехал со скоростью 55 км/ч, следующие 5 часов — со скоростью 75 км/ч, а последние 5 часов — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение задачи:

За первые 5 часов автомобиль проехал расстояние - 5*55=275 км;
за вторые 5 часов - 5*75=375 км;
за третьи - 5*80=400 км.
Суммарное расстояние, пройденное автомобилем за 15 часов 275+375+400=1050 км.
Тогда средняя скорость равна 1050/15=70 км/ч
Ответ: 70 км/ч

Задача №17

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 3 км/ч пешехода за 32 секунды. Найдите длину поезда в метрах.

Решение задачи:

Так как направления поезда и пешехода совпадали, то скорость поезда относительно пешехода была 93км/ч - 3 км/ч = 90 км/ч.
Значит за 32 секунды со скорость 90 км/ч поезд проехал расстояние равное его длине.
Переведем 90 км/ч в м/с.
90*1000м/3600с=900м/36с=25 м/с
Длина поезда равна 25 м/с * 32 с = 800 м
Ответ: 800 м











Задача №16

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 27 км, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста и встретились в 12 км от В. Турист, шедший из А, сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость туриста, шедшего из В, если известно, что он шёл со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем первый турист.

Решение задачи:

Введем обозначения: va - скорость туриста, вышедшего из пункта A;
t
a - время в пути туриста, вышедшего из пункта A;
v
b - скорость туриста, вышедшего из пункта B;
t
b - время в пути туриста, вышедшего из пункта B;
Из условия задачи известно, что: v
a=vb+2;
t
a=tb-0,5 (т.к. турист А непосредственно шел на пол часа меньше, чем турист В)
Турист А прошел 27-12=15 км, а турист В прошел 12 км.
Тогда получаем систему:
15=v
ata
12=v
btb
15=(v
b+2)(tb-0,5)
12=v
btb
15=v
btb-0,5vb+2tb-1
12=v
btb
16=v
btb-0,5vb+2tb
12/v
b=tb
16=v
b12/vb-0,5vb+2*12/vb
12/v
b=tb
16=12-0,5v
b+24/vb
12/v
b=tb
4=-0,5v
b+24/vb
12/v
b=tb
4v
b=-0,5vb2+24
12/v
b=tb
8v
b=-vb2+48
12/v
b=tb
v
b2+8vb-48=0
12/v
b=tb
Решим квадратное уравнение:
D=8
2-4*1*(-48)=64+192=256
v
b1=(-8+16)/(2*1)=4
v
b2=(-8-16)/(2*1)=-12
Так как скорость отрицательной быть не может, то v
b=4 км/ч
Ответ: v
b=4 км/чhttp://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.png

Задача №4

Расстояние между двумя пристанями по реке равно 24 км. Моторная лодка прошла от одной пристани до другой, сделала стоянку на 1 ч 40 мин и вернулась обратно. Всё путешествие заняло 6 ч. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость моторной лодки в стоячей воде равна 10 км/ч.

Решение задачи:

Первое: 6 ч. - это 6 часов 40 минут. Второе: если лодка идет по течению реки, то ее скорость складывается со скоростью реки, а если против течения, то вычитается.
Обозначим: скорость реки - v
Время лодки в пути по течению - t1
Время лодки в пути против течения - t
2
Движение лодки по течению (1):
24=(10+v)t
1
Движение лодки против течения (2):
24=(10-v)t
2
При этом, время в пути составило t
1+t2, и равно это 6 часов 40 минут минус 1 час 40 мин (на стоянку) и равно это 5 часов (3).
(1) t
1=24/(10+v)
(2) t
2=24/(10-v)
Подставляем в (3): 24/(10+v)+24/(10-v)=5
Приводим к общему знаменателю:
(24(10-v)+24(10+v))/((10+v)(10-v))=5
480/(10
2-v2)=5
480=5*(100-v
2)
480=500-5v
2
5v
2=500-480
5v
2=20
v
2=4
v=2
Ответ: скорость реки равна 2 км/ч

Задача №2

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 13 км, вышел пешеход. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист. Велосипедист ехал со скоростью, на 11 км/ч большей скорости пешехода, и сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость пешехода, если известно, что они встретились в 8 км от пункта В.

Решение задачи:

Введем обозначения: vп - скорость перехода
v
в - скорость велосипедиста
t
п - время в пути перехода
t
в - время в пути велосипедиста
Расстояние, которое проехал велосипедист = 8 км (по условию задачи)
Расстояние, которое прошел пешеход = 13-8=5 км (по условию задачи)
8=v
в*tв
По условию: v
в=vп+11
t
в=tп-0,5 (т.к. велосипедист остановился на 0,5 часа)
5=v
п*tп - уравнение (1)
8=(v
п+11)(tп-0,5)- уравнение (2)
Раскроем скобки в уравнении (2):
8=v
пtп-0,5vп+11tп-5,5
Так как 5=v
п*tп, то
8=5-0,5v
п+11tп-5,5 
8,5=11t
п-0,5vп
8,5+0,5v
п=11tп
t
п=(8,5+0,5vп)/11
Подставим t
п в уравнение (1)
5=v
п*(8,5+0,5vп)/11
55=v
п*(8,5+0,5vп)
55=8,5v
п+0,5(vп)2
0,5(v
п)2+8,5vп-55=0
Найдем дискриминант:
D=(8,5)
2-4*0,5*(-55)=72,25+110=182,25
v
1=(-8,5+13,5)/(2*0,5)=5
v
2=(-8,5-13,5)/(2*0,5)=-22
Так как скорость отрицательной быть не может, значит v
п=5 км/ч
Ответ: v
п=5 км/ч

Задача №99

Расстояние между пристанями А и В равно 48 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошёл 25 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение задачи:

Скорость плота равна скорости реки.
Обозначим v - скорость лодки в неподвижной воде (т.е. собственная скорость).
v+5 - скорость лодки по течению.
v-5 - скорость лодки против течения.
Время лодки от пристани А до пристани В:
t
1=48/(v+5)
Время лодки от пристани B до пристани A:
t
2=48/(v-5)
Следовательно суммарное время лодки в пути:
t=t
1+t2=48/(v+5)+48/(v-5)
За это же время +1 час плот проплыл 25 км со скоростью 5 км/ч:
t+1=25/5=5 часов
t=4 часа. Возвращаемся к лодке, и получаем уравнение:
4=48/(v+5)+48/(v-5)
4=48(v-5)/((v+5)(v-5))+48(v+5)/((v-5)(v+5))
4=(48(v-5)+48(v+5))/((v-5)(v+5))
4
 (v-5)(v+5)=48(v-5)+48(v+5)
4(v
2-52)=48v-48*5+48v+48*5
4(v
2-25)=48v+48v
4v
2-100=96v
4v
2-96v-100=0
v
2-24v-25=0
Решим это квадратное уравнение:
D=(-24)
2-4*1*(-25)=576+100=676
v
1=(-(-24)+26)/(2*1)=50/2=25
v
2=(-(-24)-26)/(2*1)=-2/2=-1
Отрицательной скорость быть не может, следовательно v=25 км/ч.
Ответ: v=25 км/ч



Задача №22

Свежие фрукты содержат 88% воды, а высушенные — 30%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 6 кг высушенных фруктов?

Решение задачи:

70% из 6 кг высушенных фруктов - это непосредственно сами фрукты (без воды).
6*0,7=4,2 кг - непосредственно фрукты (без воды).
И эта же масса - это 12% в свежих фруктах. Составим пропорцию:
4,2 кг - 12%
x кг - 100%
4,2/x=12/100
x=4,2*100/12=35 кг.
Ответ: 35кг

Задача №96

В период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 45%, во второй – на 20%. Сколько рублей стал стоить чайник после второго снижения цен, если до начала распродажи он стоил 700 р.?

Решение задачи:

Первое снижение:
700-45%=700-0,45*700=700-315=385 руб.
Т.е. 385 рублей - цена чайника после первого снижения.
Второе снижение:
385-20%=385-0,2*385=385-77=308 рублей - цена после второго снижения.
Ответ: 308















Задача №8

Решите уравнение x2-2x+√3-x=√3-x+8

Решение задачи:

Область допустимых значений (ОДЗ):
Под корнем не может быть отрицательное число, следовательно:
3-x≥0
3≥x
Приступаем к 
решению:
x
2-2x+√3-x=√3-x+8
x
2-2x+√3-x-√3-x-8=0
x
2-2x-8=0
D=(-2)
2-4*1*(-8)=4+32=36
x
1=(-(-2)+6)/(2*1)=8/2=4
x
2=(-(-2)-6)/(2*1)=(-4)/2=-2
Так как по ОДЗ 3≥x, то подходит только x
2=-2
Ответ: x=-2

Задача №7

Решите уравнение (x-3)(x-4)(x-5)=(x-2)(x-4)(x-5)

Решение задачи:

(x-3)(x-4)(x-5)=(x-2)(x-4)(x-5)
(x-3)(x-4)(x-5)-(x-2)(x-4)(x-5)=0
Выносим за скобки (x-4)(x-5)
(x-4)(x-5)((x-3)-(x-2))=0
(x-4)(x-5)(x-3-x+2)=0
(x-4)(x-5)(-1)=0
(x-4)(x-5)=0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, тогда:
1) x-4=0
x
1=4
2) x-5=0
x
2=5
Ответ: x
1=4, x2=5



Задача №6

Решите неравенство (x-4)2<√6(x-4)

Решение задачи:

(x-4)2<√6(x-4)
Найдем корни уравнения: (x-4)
2=√6(x-4)
(x-4)
2-√6(x-4)=0
Вынесем (х-4) за скобку.
(x-4)(x-4-√6)=0
Произведение будет равно нулю, когда один из множителей равен нулю, тогда:
1) x-4=0, x
1=4
2) x-4-√6=0, x
2=4+√6
Ветви графика данного уравнения смотрят вверх, следовательно, (x-4)
2<√6(x-4) в диапазоне (4; 4+√6)
Ответ: (4; 4+√6)

Задача №101

Решите неравенство (x-1)2<√2 (x-1).

Решение задачи:

(x-1)2<√2 (x-1)
(x-1)
2-√2 (x-1)<0
(x-1)(x-1-√2)<0
Найдем корни уравнения: (x-1)(x-1-√2)=0
Произведение будет равно нулю, когда один из множителей равен нулю, тогда:
x
1=1
x
2=1+√2
Ветви графика данного уравнения смотрят вверх, следовательно, (x-1)
2<√2 (x-1) на диапазоне (1; 1+√2).
Ответ: (1; 1+√2)
http://otvet-gotov.ru/pages/images/parabolavverh.png

Задача №5

Решите неравенство:
14/(x
2+2x-15)≤0 .

Решение задачи:

Так как на "0" делить нельзя, то найдем для каких х квадратное уравнение x2+2x-15 равно 0
Решим его:
D=2
2-4*1*(-15)=4+60=64
x
1=(-2+8)/2=3
x
2=(-2-8)/2=-5
1) Данная дробь ни при каких значениях х не будет равняться нулю, т.к. для этого числитель должен равняться нулю, а он равен 14.
2) данная дробь будет меньше нуля, тогда и только тогда, когда x
2+2x-15<0
Точки пересечения оси х мы нашли ранее:
x
1=3
x
2=-5
Ветви параболы смотрят вверх (т.к. а>0), следовательно, это выражение меньше нуля в диапазоне (-5;3)
Ответ: (-5;3)

Задача №14

Решите систему неравенств http://otvet-gotov.ru/pages/images/B93C76-1.png

Решение задачи:

Решим отдельно каждое неравенство, а затем пересечем ответы.
1) 
http://otvet-gotov.ru/pages/images/B93C76-2.png дробь может быть больше нуля, когда и числитель, и знаменатель больше нуля, или и числитель, и знаменатель меньше нуля.
В этой дроби знаменатель не может быть меньше нуля, т.к. квадрат числа всегда положительный. Значит, остается только первый вариант:
http://otvet-gotov.ru/pages/images/B93C76-3.png
второе неравенство всегда выполняется, при любом значении х, т.к. квадрат числа всегда больше нуля.
Следовательно, решение данной системы х≤3
2) 
http://otvet-gotov.ru/pages/images/B93C76-5.png
http://otvet-gotov.ru/pages/images/B93C76-6.png
http://otvet-gotov.ru/pages/images/B93C76-7.png
http://otvet-gotov.ru/pages/images/B93C76-8.png
Пересекая ответы из 1) и 2) получает, что -4≤х≤3
Ответ: [-4; 3]
http://otvet-gotov.ru/pages/images/B93C76-4.png





Задача №88

Решите уравнение (x2-36)2+(x2+4x-12)2=0.

Решение задачи:

(x2-36)2+(x2+4x-12)2=0
(x
2-62)2+(x2+4x-12)2=0
(
 (x-6)(x+6))2+(x2+4x-12)2=0
(x-6)
2(x+6)2+(x2+4x-12)2=0
Разложим на множители x
2+4x-12:
x
2+4x-12=(x-x1)(x-x2), где x1 и x2 - корни уравнения x2+4x-12=0
Найдем корни:
D=4
2-4*1*(-12)=16+48=64
x
1=(-4+8)/(2*1)=4/2=2
x
2=(-4-8)/(2*1)=-12/2=-6
x
2+4x-12=(x-2)(x-(-6))=(x-2)(x+6)
Подставляем в первоначальное уравнение:
(x-6)
2(x+6)2+((x-2)(x+6))2=0
(x-6)
2(x+6)2+(x-2)2(x+6)2=0
Выносим (x+6)
2 за скобки:
(x+6)
2((x-6)2+(x-2)2)=0
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) (x+6)
2=0
x
1=-6
2) (x-6)
2+(x-2)2=0
(x-6)
2=-(x-2)2
Так как квадрат числа всегда больше или равен нулю, то
x-6=0
x-2=0
Такая система не имеет решений.
Ответ: x=-6
http://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.png















Задача №51

Постройте график функции http://otvet-gotov.ru/pages/images/659192.png и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение задачи:

Отметим Область допустимых Значений (ОДЗ).
На ноль делить нельзя, следовательно:
2x-x
2≠0
x(2-x)≠0
x
1≠0
x
2≠2
Теперь упростим нашу функцию: 
http://otvet-gotov.ru/pages/images/659192-1.png
График этой функции - гипербола.
Построим график по точкам:
http://otvet-gotov.ru/pages/images/659192-2.png

X

-2

-1

1

2

Y

0,5

1

-1

-0,5

Накладываем ОДЗ и выкалываем из графика точки, где x=0 и x=2.
Когда x=0 - график уходит в бесконечность.
Когда x=2, y=-0,5 - эта точка выколота.
Зеленая прямая - это y=kx. Очевидно, что прямая будет иметь ровно одну общую точку только когда проходит через выколотую точку.
Следовательно, можем записать -0,5=k*2 => k=-0,25
Ответ: k=-0,25

Задача №3

Постройте график функции y=|x2+5x+6| . Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

решение задачи

y=|x2+5x+6|
Данную функцию надо разложить на две функции, в зависимости от значения модуля.
y=x
2+5x+6, при x2+5x+6≥0
y=-(x
2+5x+6), при x2+5x+6<0
Вычислим при каких значениях х функция меняет свой знак, для этого решим неравенство:
x
2+5x+6≥0
Найдем
 корни уравнения x2+5x+6=0
D=5
2-4*1*6=25-24=1
x
1=(-5+1)/(2*1)=-2
x
1=(-5-1)/(2*1)=-3
На рисунке представлен график функции y=x
2+5x+6, данная функция больше или равна нулю в диапазоне (-∞; -3][-2; +), и меньше нуля в диапазоне (-3; -2).
Значит можем переписать систему:
y=x
2+5x+6, при x (-; -3][-2; +)
y=-(x
2+5x+6), при x (-3; -2)


Тогда график первой функции будет выглядеть так
 
http://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/0AA427-1.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/0AA427-2.png



График второй функции выглядит так:



http://otvet-gotov.ru/pages/images/0AA427-3.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/0AA427-4.png

Объединяем графики и получаем:





Очевидно, что прямая, параллельная оси абсцисс будет иметь 4 общие точки.

Задача №30

Найдите p и постройте график функции y=x2+p, если известно, что прямая y=4x имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение задачи:

Две функции имеют точку пересечения, это означает, что графики обеих функций имеют общую точку. Следовательно, надо составить систему и решить ее:
y=x
2+p
y=4x
4x=x
2+p
x
2-4x+p=0
Найдем корни этого квадратного уравнения:
D=(-4)
2-4*1*p=16-4p
В условии сказано, что точка пересечения только одна, следовательно корень уравнения должен быть только один. Это условие выполняется, когда дискриминант равен нулю:
D=16-4p=0
p=4
x=-(-4)/(2*1)=2
y=4x=4*2=8
(2;8) - точка пересечения графиков.
Получаем функцию:
y=x
2+4
График функции:
http://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/FD71F1.png





Задача №98

Найдите p и постройте график функции y=x2+p, если известно, что прямая y=-2x имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение задачи:

Две функции имеют точку пересечения, это означает, что графики обеих функций имеют общую точку. Следовательно, надо составить систему и решить ее:
y=x
2+p
y=-2x
-2x=x
2+p
x
2+2x+p=0
Найдем корни этого квадратного уравнения:
D=2
2-4*1*p=4-4p
В условии сказано, что точка пересечения только одна, следовательно корень уравнения должен быть только один. Это условие выполняется, когда дискриминант равен нулю:
D=4-4p=0
p=1
x=-2/(2*1)=-1
y=-2x=-2*(-1)=2
(-1;2) - точка пересечения графиков.
Получаем функцию:
y=x
2+1
График функции:
http://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/FC0FA8.png







Задача №6

Постройте график функции y=x2+3x-4|x+2|+2 и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

решение задачи

В данной функции присутствуем модуль, следовательно функцию надо разложить на две функции, в зависимости от значения модуля:
|x+2|=x+2, при x+2≥0 (т.е. x≥-2)
|x+2|=-(x+2), при х+2<0 (т.е. х<-2)
Тогда вся функция будет выглядеть так:
x
2+3x-4(x+2)+2, при x≥-2
x
2+3x-4(-(x+2))+2, при x<-2
x
2+3x-4x-8+2, при x≥-2
x
2+3x-4(-x-2)+2, при x<-2
x
2-x-6, при x≥-2
x
2+3x+4x+8+2, при x<-2
x
2-x-6, при x≥-2
x
2+7x+10, при x<-2http://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.png

http://otvet-gotov.ru/pages/images/02564E.png

График первой функции:
y=x
2-x-6, при x≥-2

http://otvet-gotov.ru/pages/images/02564E-1.png

График второй функции:
y=x
2+7x+10, при x<-2

http://otvet-gotov.ru/pages/images/02564E-3.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/02564E-2.png

Итоговый график функции y=x2+3x-4|x+2|+2


Очевидно, что при m=0, функция y=m имеет ровно 3 общие точки с графиком.
Но существует еще одно значение m, как показано на рисунке. Данная прямая проходит через вершину второй функции.
Координату x
0 вершины параболы можно найти по формуле:
x
0=-b/2a
x
0=-7/(2*1)=-3,5
Подставим в уравнение и получим, что y
0=(-3,5)2+7*(-3,5)+10=12,25-24,5+10=-2,25

Ответ: при значениях m=0 и m=-2,25 прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Задача №7

Постройте график функции
-x
2-2x+3, если х≥-2
-x+1, если x<-2
и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.
http://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.png

решение задачи

Алгоритм такой:
1. Построить график обоих функций,
2. Обрезать графики по условию задачи
3. Объединить графики в один.
1) -x
2-2x+3, если х≥-2
найдем корни уравнения -x
2-2x+3=0
D=(-2)
2-4*(-1)*3=4+12=16
x
1=(-(-2)+4)/(2*(-1))=-3
x
2=(-(-2)-4)/(2*(-1))=1
Координаты вершины параболы:
x
0=-(-2)/(2*(-1))=-1
y
0=-(-1)2-2(-1)+3=-1+2+3=4

http://otvet-gotov.ru/pages/images/354CA6.png

Так как перед x2 стоит отрицательное число, то ветви параболы направлены вниз. График показан на рисунке.

http://otvet-gotov.ru/pages/images/354CA6-1.png

Обрезаем график как сказано в условии, х≥-2

http://otvet-gotov.ru/pages/images/354CA6-2.png

График функции -х+1

http://otvet-gotov.ru/pages/images/354CA6-1.png

Обрезаем график как сказано в условии, х≥-2

http://otvet-gotov.ru/pages/images/354CA6-3.png

Обрезаем график, х<-2

http://otvet-gotov.ru/pages/images/354CA6-4.png

Объединяем графики

http://otvet-gotov.ru/pages/images/354CA6-5.png

Ровно две точки будут при m=3 и m=4.

Задача №8

Постройте график функции: http://otvet-gotov.ru/pages/images/354F8A.png и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

решение задачи

http://otvet-gotov.ru/pages/images/354F8A.png
Область Допустимых Значений (ОДЗ).
x≠0 (так как делиить на ноль нельзя).

Так как функция содержит модуль, то ее надо разложить на две подфункции:
http://otvet-gotov.ru/pages/images/354F8A-1.png
http://otvet-gotov.ru/pages/images/354F8A-2.png
Рассмотрим каждую функцию:
http://otvet-gotov.ru/pages/images/354F8A-3.png
Это означает, что у=x/4,5, когда x/4,5-4,5/x≥0
Найдем этот диапазон.
x/4,5-4,5/x≥0
(x
2-4,52)/(4,5x)≥0
Дробь больше нуля в двух случаях:
1) Когда и числитель и знаменатель больше нуля.
2) Когда и числитель и знаменатель меньше нуля.
Рассмотрим первый вариант:
x
2-4,52≥0
4,5x>0
x
2-4,52≥0
x>0
Синим цветом отмечен диапазон первого неравенства системы, зеленым - второе неравенство. Итоговый диапазон для первого случая - [4,5;+∞)
Рассмотрим второй случай, когда и числитель и знаменатель меньше нуля.
x
2-4,52<0
4,5x<0
x
2-4,52<0
x<0
Синим цветом отмечен диапазон первого неравенства системы, зеленым - второе неравенство. Итоговый диапазон для второго случая - (-4,5;0)
Объединяем эти итоговые диапазоны, получаем:
(-4,5;0)
[4,5;+∞)
Напомним, это диапазон, в котором выражение внутри модуля больше или равно нулю.
Следовательно, выражение внутри модуля меньше нуля на диапазоне (-∞;-4,5]
(0;4,5), ноль не попадает ни в один из диапазонов, т.к. иначе в функции получится деление на ноль.
Построим график функции 
http://otvet-gotov.ru/pages/images/354F8A-3.png:
http://otvet-gotov.ru/pages/images/354F8A-11.png
Точка (0;0) исключена согласно ОДЗ.
Вторая функция:
http://otvet-gotov.ru/pages/images/354F8A-y2.png, диапазон мы уже знаем: (-∞;-4,5](0;4,5)
Построим график второй функции:
http://otvet-gotov.ru/pages/images/354F8A-12.png
Объединяем графики:
http://otvet-gotov.ru/pages/images/354F8A-13.png
Только одна общая точки будет в двух случаях, в точках "перелома" графика, они отмечены на рисунке. Это точки -4,5 и 4,5.
http://otvet-gotov.ru/pages/images/354F8A-4.png
Подставим эти точки в функцию и получим значения m.
m
1=y(-4,5)=-1
m
2=y(4,5)=1
Ответ: m
1=-1 и m2=1http://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/4,5.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/4,5-2.png

Задача №12

Постройте график функции http://otvet-gotov.ru/pages/images/06C697.png и определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.

решение задачи

Область Допустимых Значений (ОДЗ):
Так как присутствует деление на (х-1), х≠1, так как деление на ноль невозможно.

В данной функции присутствуем модуль, следовательно функцию надо разложить на две подфункции, в зависимости от значения модуля:
http://otvet-gotov.ru/pages/images/06C697-1.png
http://otvet-gotov.ru/pages/images/06C697-2.png
http://otvet-gotov.ru/pages/images/06C697-3.png
Рассмотрим и построим график для каждой подфункции и объединим их.
1) y
1=0,5x2 при х≥0

X

0

1

2

4

Y

0

0,5

2

8

http://otvet-gotov.ru/pages/images/06C697-g1.png
2) y
2=-0,5x2 при х<0

X

-1

-2

-4

Y

-0,5

-2

-8

http://otvet-gotov.ru/pages/images/06C697-g2.png
Объединяем графики и накладываем ограничения ОДЗ,
http://otvet-gotov.ru/pages/images/06C697-g3.png
Очевидно, что горизонтальная прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки только в "исключенной" точке, где x=1.
Надо найти координату y. y=0,5*1=0,5=m
http://otvet-gotov.ru/pages/images/06C697-g4.png
Ответ: при m=0,5 прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Задача №13

Постройте график функции y=|x|x+3|x|-5x и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

решение задачи

В данной функции присутствуем модуль, следовательно функцию надо разложить на две подфункции, в зависимости от значения модуля:
x*x+3x-5x, при x≥0
-x*x+3(-x)-5x, при x<0
x
2-2x, при x≥0
-x
2-8x, при x<0
Рассмотрим и построим график для каждой подфункции и объединим их.
http://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.pnghttp://otvet-gotov.ru/pages/images/skobka.png

1) y1=x2-2x, при x≥0

X

0

1

2

3

Y

0

-1

0

3

http://otvet-gotov.ru/pages/images/049A0C-g1.png

X

0

-1

-2

-3

Y

0

7

12

15

2) y2=-x2-8x, при x<0

http://otvet-gotov.ru/pages/images/049A0C-g2.png






Объединяем графики. http://otvet-gotov.ru/pages/images/049A0C-g3.png



y=m имеет с графиком ровно две общие точки только, когда прямая касается вершины параболы. Найдем координаты вершин:
Координату x вершины можно найти по формуле x
0=-b/2a.
Тогда для правой параболы: x
0=-(-2)/2=1 y1(1)=12-2*1=-1
Для второй параболы:
x
0=-(-8)/(2*(-1))=-4
y
2(-4)=-(-4)2-8*(-4)=-16+32=16
http://otvet-gotov.ru/pages/images/049A0C-g4.png
Следовательно m
1=-1 и m2=16
Ответ: m
1=-1 и m2=16

Задача №68

Постройте график функции http://otvet-gotov.ru/pages/images/330A98.pngи определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком ни одной общей точки.

решение задачи

В данной функции присутствуем модуль, следовательно функцию надо разложить на две подфункции, в зависимости от значения модуля:
http://otvet-gotov.ru/pages/images/330A98-1.png
http://otvet-gotov.ru/pages/images/330A98-2.png
Теперь надо построить график каждой подфункции в его границах и объединить их.
1) 
http://otvet-gotov.ru/pages/images/330A98-3.png, при х≥0.
Напишем Область Допустимых Значений (ОДЗ).
Так как знаменатель не может равняться нулю, то x-3x
2≠0 Следовательно:
x(1-3x)≠0
x
1≠0
x
2≠1/3
http://otvet-gotov.ru/pages/images/330A98-4.png
График представляет из себя гиперболу, отметим несколько точек:

X

0,5

1

2

Y

-2

-1

-0,5

2) http://otvet-gotov.ru/pages/images/330A98-5.png, при х<0.
Напишем Область Допустимых Значений (ОДЗ).
Так как знаменатель не может равняться нулю, то -x-3x
2≠0 Следовательно:
-x(1+3x)≠0
x
3≠0
x
4≠-1/3
http://otvet-gotov.ru/pages/images/330A98-6.png
График представляет из себя гиперболу, отметим несколько точек:

X

-0,5

-1

-2

Y

-2

-1

-0,5

Построим график:
График первой подфункции начерчен красным цветом, второй подфункции - синим.
На графике указаны выколотые точки (из ОДЗ) (1/3;-3) и (-1/3;-3).
Функция y=kx проходит через начало координат (при x=0 y тоже равен 0). Очевидно, что данная функция не будет иметь ни одной общей точки только когда:
1) совпадает с осью Х.
2) пройдет через первую выколотую точку.
3) пройдет через вторую выколотую точку.
1) k
1=0
2) Подставим первую выколотую точку в функцию прямой -3=k(1/3) => k
2=-9
3) Подставим вторую выколотую точку в функцию прямой -3=k(-1/3) => k
3=9
А вот так выглядит график со всеми тремя прямыми.
http://otvet-gotov.ru/pages/images/330A98-9.png
Ответ: k
1=0, k2=-9, k3=9http://otvet-gotov.ru/pages/images/330A98-8.png





Краткое описание документа:

Еще с начальной школы мы знаем, что лучше решать задачи, видя текст перед собой в виде краткой записи условия. Взяв за основу краткую запись, мы подошли к тому, что удобно делать ее в виде таблицы.

Проанализировав текстовые задачи к экзаменам, мы выделили следующие типы задач:

1.      Задачи на движение.

2.      Задачи на работу.

3.      Задачи на проценты.

4.      Задачи на покупки

5.      Задачи с геометрическим содержанием.

На первый взгляд задачи на движение кажутся более простыми. Видимо, это связано с тем, что задачи на движение легко интерпретировать с помощью рисунка. Но прорешав задачи 1, 2 и 4-ого типов, мы увидели, что они решаются по одной и той же схеме.

Движение:

V(скорость) ∙ t(время) = S(расстояние)

Работа:

р (производительность) ∙ t(время) = А (работа)


Покупка:

Цена ∙ Количество = Стоимость

То есть действия с выражениями аналогичные.

А  теперь можно перейти к непосредственным примерам решения задач по алгоритму:       1. Прочитать весь текст задачи;

                          2. Определить ее тип, исходя из условия;

                          3. Составить таблицу;

                          4. Заполнить таблицу, читая каждое предложение условия задачи;

 

                          5. Найти в таблице место вопросу задачи. 

Общая информация

Номер материала: 338027

Похожие материалы