Задача №90.
В
период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 15%, во второй –
на 40%. Сколько рублей стал стоить чайник после второго снижения цен, если до
начала распродажи он стоил 1000 р.?
Решение задачи:
Первое
снижение:
1000-15%=1000-0,15*1000=1000-150=850 руб.
Т.е. 850 рублей - цена чайника после первого снижения.
Второе снижение:
850-40%=850-0,4*850=850-340=510 рублей - цена после второго снижения.
Ответ: 510
Задача №92
Какое
из следующих чисел является наименьшим?
1) 1,7*10-3
2) 2,3*10-4
3) 4,5*10-3
4) 8,9*10-4
Решение задачи:
Чтобы
сравнить подобные числа необходимо привести их к одному виду, а именно, чтобы
10 была в одной и той же степени, скажем к 10-3.
1) 1,7*10-3 - в нужном виде.
2) 2,3*10-4=2,3*10-1*10-3=(2,3/10)*10-3=0,23*10-3
3) 4,5*10-3 - в нужном виде.
4) 8,9*10-4=8,9*10-1*10-3=(8,9/10)*10-3=0,89*10-3
Теперь достаточно сравнить числа, стоящие перед 10-3. Очевидно, что
0,23 - наименьшее.
Ответ: 2)
Задача №34
Смешали
некоторое количество 21%-го раствора некоторого вещества с таким же количеством
95%-го раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация
получившегося раствора?
Решение задачи:
Пусть
х - концентрация получившегося раствора.
Пусть y - количество литров 21%-го раствора.
Получаем уравнение:
0,21y+0,95y=2y*x/100 |:y
0,21+0,95=2x/100 |*100
21+95=2x
(21+95)/2=x
x=58
Ответ: 58%
Задача №94
Два человека одновременно отправляются
из одного и того же места по одной дороге на прогулку до опушки леса,
находящейся в 4 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,7 км/ч, а
другой — со скоростью 4,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью
возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их
встреча?
Решение задачи:
Обозначим за x расстояние от
опушки до места встречи.
Время прогулки для обоих людей, естественно, одинаковое. Тогда для первого
человека время можно записать так: t=S1/v1=(4-x)/2,7
Время второго человека: t=S2/v2=(4+x)/4,5
(4-x)/2,7=(4+x)/4,5
(4-x)4,5=(4+x)2,7
(4-x)4,5=(4+x)2,7
18-4,5x=10,8+2,7x
18-10,8=2,7x+4,5x
18-10,8=2,7x+4,5x
7,2=7,2x
x=1
Расстоянии от точки отправления до места встречи = 4-x=4-1=3
Ответ: 3
Задача №27
Из
городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и
велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 39 минут раньше, чем велосипедист
приехал в А, а встретились они через 26 минут после выезда. Сколько часов
затратил на путь из В в А велосипедист?
Решение задачи:
Обозначим:
Sм - путь, который проехал мотоциклист.
Sв - путь, который проехал велосипедист.
tм - время в пути мотоциклиста. tв - время в
пути велосипедиста.
vм - скорость мотоциклиста. vв - скорость
велосипедиста.
Sм=Sв (так как расстояние между городами величина
постоянная)
tм=tв-39 минут
vм*26 - расстояние, которое проехал мотоциклист, от А до встречи
vв*26 - расстояние, которое проехал велосипедист, от В до встречи
vм*26+vв*26 - расстояние между городами, следовательно:
vм*26+vв*26=vв*tв. А так же vв*tв=vм*tм
Получаем систему:
vм*26+vв*26=vв*tв
vв*tв=vм*(tв-39)
vв*26-vв*tв=-vм*26
vв*tв=vм*(tв-39)
vв*(26-tв)=-vм*26
vв*tв=vм*(tв-39)
Разделим одно выражение на другое: (26-tв)/tв=-26/(tв-39)
(26-tв)(tв-39)=-26tв
26tв-39*26-tв2+39tв=-26tв
tв2-26tв-26tв-39tв+1014=0
tв2-91tв+1014=0
Решим это квадратное уравнение:
D=(-91)2-4*1*1014=8281-4056=4225
tв1=(-(-91)+65)/2=78
tв2=(-(-91)-65)/2=13
13 минут - не подходит для ответа, так как противоречит условию, что они
встретились через 26 минут. tв=78 минут = 1 час и 18 минут
18/60=0,3
Ответ: tв=1,3 часа
Задача №53
Туристы
проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем
причалили к берегу и, погуляв 2 часа, вернулись обратно через 6 часов от начала
путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения
реки равна 3 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?
Решение задачи:
Обозначим:
S - расстояние от лагеря до места прогулки.
t1 - время движения лодки против течения.
t2 - время движения лодки по течению.
Скорость лодки против течения равна 6-3=3 км/ч, по течению - 6+3=9 км/ч.
Составим уравнения:
движение лодки против течения: S=3t1
движение лодки по течению: S=9t2
время в поездке:
6=t1+t2+2
t1=4-t2
S=3(4-t2)
S=9t2
Вычтем из первого уравнения второе:
S-S=3(4-t2)-9t2
0=12-3t2-9t2
0=12-12t2
t2=1
Подставляем во второе уравнение:
S=9t2=9*1=9 км.
Ответ: 9 км.
Задача №93
Два
бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места
круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из
них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун
прошёл первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если
известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.
Решение задачи:
Введем
обозначения:
v1 - скорость первого бегуна;
v1+8 - скорость второго бегуна;
S - длина одного круга в километрах;
Про первого бегуна мы знаем, что за 1 час он пробежал (S-1) км.
Т.е 1=(S-1)/v1
v1=S-1
S=v1+1
20 минут = 1/3 часа.
Про второго бегуна мы знаем, что за (1-1/3) часа он пробежал S км.
Т.е. 2/3=S/(v1+8)
2(v1+8)=3S
Подставим значение S из ранее полученного равенства:
2(v1+8)=3(v1+1)
2v1+16=3v1+3
16-3=3v1-2v1
v1=13
Т.е. скорость первого бегуна - 13 км/ч
Ответ: 13
Задача №66
Рыболов
проплыл на лодке от пристани некоторое расстояние вверх по течению реки, затем
бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно через 5 часов от начала
путешествия. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость течения
реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?
Решение задачи:
Обозначим:
S - расстояние от пристани до места рыбалки.
t1 - время движения лодки против течения.
t2 - время движения лодки по течению.
Скорость лодки против течения равна 6-2=4 км/ч, по течению - 6+2=8 км/ч.
Составим уравнения:
движение лодки против течения: S=4t1
движение лодки по течению: S=8t2
общее время поездки:
5=t1+t2+2
t1=3-t2
S=4(3-t2)
S=8t2
Вычтем из первого уравнения второе:
S-S=4(3-t2)-8t2
0=12-4t2-8t2
0=12-12t2
t2=1
Подставляем во второе уравнение:
S=8t2=8*1=8 км.
Ответ: 8 км.
Задача №72
Два
велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет
со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа
раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
Решение задачи:
Обозначим:
v1 - скорость первого велосипедиста, значит
v1-10 - скорость второго велосипедиста
t1 - время в пути первого велосипедиста, значит
t1+3 - время в пути второго велосипедиста
Уравнение движения для первого велосипедиста выглядит так:
60=v1*t1, t1=60/v1
Для второго:
60=(v1-10)*(t1+3)=v1*t1+3v1-10t1-30
60=v1*(60/v1)+3v1-10(60/v1)-30
60=60+3v1-600/v1-30
30=3v1-600/v1 |:3
10=v1-200/v1 |*v1
10v1=v12-200
0=v12-10v1-200
Решим это квадратное уравнение:
D=(-10)2-4*1*(-200)=100+800=900
v1-1=(-(-10)+30)/(2*1)=40/2=20
v1-2=(-(-10)-30)/(2*1)=-20/2=-10
Отрицательной скорость быть не может, следовательно v1=20 км/ч.
Значит, скорость второго велосипедиста равна 20-10=10 км/ч.
Ответ: 10 км/ч
Задача №25
Из двух городов одновременно навстречу
друг другу отправляются два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый
велосипедист сделал остановку на 56 минут, а затем продолжил движение до
встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 182 км,
скорость первого велосипедиста равна 13 км/ч, скорость второго — 15 км/ч.
Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до
места встречи.
Решение задачи:
Обозначим:
S1 - путь, который проехал первый велосипедист.
S2 - путь, который проехал второй велосипедист.
t1 - время в пути первого велосипедиста.
t2 - время в пути второго велосипедиста.
S1+S2=182 км.
Первый велосипедист ехал на 56 минут меньше второго, т.к. сделал остановку. 56 минут = 56/60 часа. t2=t1+56/60
минут. Получается: S1=13*t1 S2=15*t2
13*t1+15*t2=182
13t1+15(t1+56/60)=182
13t1+15t1+15*56/60=182
28t1=182-56/4
28t1=168
t1=6
S1=13*t1=13*6=78
S1+S2=182
S2=182-S1=182-78=104
Ответ: S2=104 км
Задача №24
Первую половину трассы автомобиль
проехал со скоростью 84 км/ч, а вторую — со скоростью 96 км/ч. Найдите среднюю
скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение задачи:
Так
как пути, пройденные автомобилем с разной скоростью, равны, то
vср=(v1+v2)/2=(84+96)/2=90
Ответ: vср=90 км/ч
Задача №18
Первые
5 часов автомобиль ехал со скоростью 55 км/ч, следующие 5 часов — со скоростью
75 км/ч, а последние 5 часов — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость
автомобиля на протяжении всего пути.
Решение задачи:
За
первые 5 часов автомобиль проехал расстояние - 5*55=275 км;
за вторые 5 часов - 5*75=375 км;
за третьи - 5*80=400 км.
Суммарное расстояние, пройденное автомобилем за 15 часов 275+375+400=1050 км.
Тогда средняя скорость равна 1050/15=70 км/ч
Ответ: 70 км/ч
Задача №17
Поезд,
двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо идущего в том же
направлении параллельно путям со скоростью 3 км/ч пешехода за 32 секунды.
Найдите длину поезда в метрах.
Решение задачи:
Так
как направления поезда и пешехода совпадали, то скорость поезда относительно
пешехода была 93км/ч - 3 км/ч = 90 км/ч.
Значит за 32 секунды со скорость 90 км/ч поезд проехал расстояние равное его
длине.
Переведем 90 км/ч в м/с.
90*1000м/3600с=900м/36с=25 м/с
Длина поезда равна 25 м/с * 32 с = 800 м
Ответ: 800 м
Задача №16
Из
пунктов А и В, расстояние между которыми 27 км, вышли одновременно навстречу
друг другу два туриста и встретились в 12 км от В. Турист, шедший из А, сделал
в пути получасовую остановку. Найдите скорость туриста, шедшего из В, если
известно, что он шёл со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем первый турист.
Решение задачи:
Введем
обозначения: va - скорость туриста, вышедшего из пункта A;
ta - время в пути туриста, вышедшего из пункта A;
vb - скорость туриста, вышедшего из пункта B;
tb - время в пути туриста, вышедшего из пункта B;
Из условия задачи известно, что: va=vb+2;
ta=tb-0,5 (т.к. турист А непосредственно шел на пол часа
меньше, чем турист В)
Турист А прошел 27-12=15 км, а турист В прошел 12 км.
Тогда получаем систему:
15=vata
12=vbtb
15=(vb+2)(tb-0,5)
12=vbtb
15=vbtb-0,5vb+2tb-1
12=vbtb
16=vbtb-0,5vb+2tb
12/vb=tb
16=vb12/vb-0,5vb+2*12/vb
12/vb=tb
16=12-0,5vb+24/vb
12/vb=tb
4=-0,5vb+24/vb
12/vb=tb
4vb=-0,5vb2+24
12/vb=tb
8vb=-vb2+48
12/vb=tb
vb2+8vb-48=0
12/vb=tb
Решим квадратное уравнение:
D=82-4*1*(-48)=64+192=256
vb1=(-8+16)/(2*1)=4
vb2=(-8-16)/(2*1)=-12
Так как скорость отрицательной быть не может, то vb=4 км/ч
Ответ: vb=4 км/ч
Задача №4
Расстояние
между двумя пристанями по реке равно 24 км. Моторная лодка прошла от одной
пристани до другой, сделала стоянку на 1 ч 40 мин и вернулась обратно. Всё
путешествие заняло 6⅔ ч. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость моторной лодки в стоячей воде равна 10 км/ч.
Решение задачи:
Первое:
6⅔ ч. - это 6 часов 40 минут. Второе: если лодка идет по течению реки, то ее скорость складывается со скоростью реки, а если против течения, то вычитается.
Обозначим: скорость реки - v
Время лодки в пути по течению - t1
Время лодки в пути против течения - t2
Движение лодки по течению (1):
24=(10+v)t1
Движение лодки против течения (2):
24=(10-v)t2
При этом, время в пути составило t1+t2, и равно это 6
часов 40 минут минус 1 час 40 мин (на стоянку) и равно это 5 часов (3).
(1) t1=24/(10+v)
(2) t2=24/(10-v)
Подставляем в (3): 24/(10+v)+24/(10-v)=5
Приводим к общему знаменателю:
(24(10-v)+24(10+v))/((10+v)(10-v))=5
480/(102-v2)=5
480=5*(100-v2)
480=500-5v2
5v2=500-480
5v2=20
v2=4
v=2
Ответ: скорость реки равна 2 км/ч
Задача №2
Из
пункта А в пункт В, расстояние между которыми 13 км, вышел пешеход.
Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист. Велосипедист ехал со
скоростью, на 11 км/ч большей скорости пешехода, и сделал в пути получасовую
остановку. Найдите скорость пешехода, если известно, что они встретились в 8 км
от пункта В.
Решение задачи:
Введем
обозначения: vп - скорость перехода
vв - скорость велосипедиста
tп - время в пути перехода
tв - время в пути велосипедиста
Расстояние, которое проехал велосипедист = 8 км (по условию задачи)
Расстояние, которое прошел пешеход = 13-8=5 км (по условию задачи)
8=vв*tв
По условию: vв=vп+11
tв=tп-0,5 (т.к. велосипедист остановился на 0,5 часа)
5=vп*tп - уравнение (1)
8=(vп+11)(tп-0,5)- уравнение (2)
Раскроем скобки в уравнении (2):
8=vпtп-0,5vп+11tп-5,5
Так как 5=vп*tп, то
8=5-0,5vп+11tп-5,5
8,5=11tп-0,5vп
8,5+0,5vп=11tп
tп=(8,5+0,5vп)/11
Подставим tп в уравнение (1)
5=vп*(8,5+0,5vп)/11
55=vп*(8,5+0,5vп)
55=8,5vп+0,5(vп)2
0,5(vп)2+8,5vп-55=0
Найдем дискриминант:
D=(8,5)2-4*0,5*(-55)=72,25+110=182,25
v1=(-8,5+13,5)/(2*0,5)=5
v2=(-8,5-13,5)/(2*0,5)=-22
Так как скорость отрицательной быть не может, значит vп=5 км/ч
Ответ: vп=5 км/ч
Задача №99
Расстояние
между пристанями А и В равно 48 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а
через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В,
тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошёл 25 км.
Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5
км/ч.
Решение задачи:
Скорость
плота равна скорости реки.
Обозначим v - скорость лодки в неподвижной воде (т.е. собственная скорость).
v+5 - скорость лодки по течению.
v-5 - скорость лодки против течения.
Время лодки от пристани А до пристани В:
t1=48/(v+5)
Время лодки от пристани B до пристани A:
t2=48/(v-5)
Следовательно суммарное время лодки в пути:
t=t1+t2=48/(v+5)+48/(v-5)
За это же время +1 час плот проплыл 25 км со скоростью 5 км/ч:
t+1=25/5=5 часов
t=4 часа. Возвращаемся к лодке, и получаем уравнение:
4=48/(v+5)+48/(v-5)
4=48(v-5)/((v+5)(v-5))+48(v+5)/((v-5)(v+5))
4=(48(v-5)+48(v+5))/((v-5)(v+5))
4 (v-5)(v+5)=48(v-5)+48(v+5)
4(v2-52)=48v-48*5+48v+48*5
4(v2-25)=48v+48v
4v2-100=96v
4v2-96v-100=0
v2-24v-25=0
Решим это квадратное уравнение:
D=(-24)2-4*1*(-25)=576+100=676
v1=(-(-24)+26)/(2*1)=50/2=25
v2=(-(-24)-26)/(2*1)=-2/2=-1
Отрицательной скорость быть не может, следовательно v=25 км/ч.
Ответ: v=25 км/ч
Задача №22
Свежие
фрукты содержат 88% воды, а высушенные — 30%. Сколько требуется свежих фруктов
для приготовления 6 кг высушенных фруктов?
Решение задачи:
70%
из 6 кг высушенных фруктов - это непосредственно сами фрукты (без воды).
6*0,7=4,2 кг - непосредственно фрукты (без воды).
И эта же масса - это 12% в свежих фруктах. Составим пропорцию:
4,2 кг - 12%
x кг - 100%
4,2/x=12/100
x=4,2*100/12=35 кг.
Ответ: 35кг
Задача №96
В
период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 45%, во второй –
на 20%. Сколько рублей стал стоить чайник после второго снижения цен, если до
начала распродажи он стоил 700 р.?
Решение задачи:
Первое
снижение:
700-45%=700-0,45*700=700-315=385 руб.
Т.е. 385 рублей - цена чайника после первого снижения.
Второе снижение:
385-20%=385-0,2*385=385-77=308 рублей - цена после второго снижения.
Ответ: 308
Задача №8
Решите
уравнение x2-2x+√3-x=√3-x+8
Решение задачи:
Область
допустимых значений (ОДЗ):
Под корнем не может быть отрицательное число, следовательно:
3-x≥0
3≥x
Приступаем к решению:
x2-2x+√3-x=√3-x+8
x2-2x+√3-x-√3-x-8=0
x2-2x-8=0
D=(-2)2-4*1*(-8)=4+32=36
x1=(-(-2)+6)/(2*1)=8/2=4
x2=(-(-2)-6)/(2*1)=(-4)/2=-2
Так как по ОДЗ 3≥x, то подходит только x2=-2
Ответ: x=-2
Задача №7
Решите
уравнение (x-3)(x-4)(x-5)=(x-2)(x-4)(x-5)
Решение задачи:
(x-3)(x-4)(x-5)=(x-2)(x-4)(x-5)
(x-3)(x-4)(x-5)-(x-2)(x-4)(x-5)=0
Выносим за скобки (x-4)(x-5)
(x-4)(x-5)((x-3)-(x-2))=0
(x-4)(x-5)(x-3-x+2)=0
(x-4)(x-5)(-1)=0
(x-4)(x-5)=0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, тогда:
1) x-4=0
x1=4
2) x-5=0
x2=5
Ответ: x1=4, x2=5
Задача №6
Решите
неравенство (x-4)2<√6(x-4)
Решение задачи:
(x-4)2<√6(x-4)
Найдем корни уравнения: (x-4)2=√6(x-4)
(x-4)2-√6(x-4)=0
Вынесем (х-4) за скобку.
(x-4)(x-4-√6)=0
Произведение будет равно нулю, когда один из множителей равен нулю, тогда:
1) x-4=0, x1=4
2) x-4-√6=0, x2=4+√6
Ветви графика данного уравнения смотрят вверх, следовательно, (x-4)2<√6(x-4)
в диапазоне (4; 4+√6)
Ответ: (4; 4+√6)
Задача №101
Решите неравенство (x-1)2<√2 (x-1).
Решение задачи:
(x-1)2<√2 (x-1)
(x-1)2-√2 (x-1)<0
(x-1)(x-1-√2)<0
Найдем корни уравнения: (x-1)(x-1-√2)=0
Произведение будет равно нулю, когда один из множителей равен нулю, тогда:
x1=1
x2=1+√2
Ветви графика данного уравнения смотрят вверх, следовательно, (x-1)2<√2 (x-1)
на диапазоне (1; 1+√2).
Ответ: (1; 1+√2)
Задача №5
Решите неравенство:
14/(x2+2x-15)≤0 .
Решение задачи:
Так как на "0" делить нельзя, то найдем
для каких х квадратное уравнение x2+2x-15
равно 0
Решим его:
D=22-4*1*(-15)=4+60=64
x1=(-2+8)/2=3
x2=(-2-8)/2=-5
1) Данная дробь ни при каких значениях х не будет равняться нулю, т.к. для
этого числитель должен равняться нулю, а он равен 14.
2) данная дробь будет меньше нуля, тогда и только тогда, когда x2+2x-15<0
Точки пересечения оси х мы нашли ранее:
x1=3
x2=-5
Ветви параболы смотрят вверх (т.к. а>0), следовательно, это выражение меньше
нуля в диапазоне (-5;3)
Ответ: (-5;3)
Задача №14
Решите систему неравенств
Решение задачи:
Решим отдельно каждое неравенство, а затем
пересечем ответы.
1) дробь может быть
больше нуля, когда и числитель, и знаменатель больше нуля, или и числитель, и
знаменатель меньше нуля.
В этой дроби знаменатель не может быть меньше нуля, т.к. квадрат числа всегда
положительный. Значит, остается только первый вариант:
второе неравенство всегда
выполняется, при любом значении х, т.к. квадрат числа всегда больше нуля.
Следовательно, решение данной системы х≤3
2)
Пересекая ответы из 1) и 2) получает, что -4≤х≤3
Ответ: [-4; 3]
Задача №88
Решите уравнение (x2-36)2+(x2+4x-12)2=0.
Решение задачи:
(x2-36)2+(x2+4x-12)2=0
(x2-62)2+(x2+4x-12)2=0
( (x-6)(x+6))2+(x2+4x-12)2=0
(x-6)2(x+6)2+(x2+4x-12)2=0
Разложим на множители x2+4x-12:
x2+4x-12=(x-x1)(x-x2), где x1 и
x2 - корни уравнения x2+4x-12=0
Найдем корни:
D=42-4*1*(-12)=16+48=64
x1=(-4+8)/(2*1)=4/2=2
x2=(-4-8)/(2*1)=-12/2=-6
x2+4x-12=(x-2)(x-(-6))=(x-2)(x+6)
Подставляем в первоначальное уравнение:
(x-6)2(x+6)2+((x-2)(x+6))2=0
(x-6)2(x+6)2+(x-2)2(x+6)2=0
Выносим (x+6)2 за скобки:
(x+6)2((x-6)2+(x-2)2)=0
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) (x+6)2=0
x1=-6
2) (x-6)2+(x-2)2=0
(x-6)2=-(x-2)2
Так как квадрат числа всегда больше или равен нулю, то
x-6=0
x-2=0
Такая система не имеет решений.
Ответ: x=-6
Задача №51
Постройте график функции и определите, при
каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение задачи:
Отметим Область допустимых
Значений (ОДЗ).
На ноль делить нельзя, следовательно:
2x-x2≠0
x(2-x)≠0
x1≠0
x2≠2
Теперь упростим нашу функцию:
График этой функции - гипербола.
Построим график по точкам:
X
|
-2
|
-1
|
1
|
2
|
Y
|
0,5
|
1
|
-1
|
-0,5
|
Накладываем ОДЗ и выкалываем из графика точки, где
x=0 и x=2.
Когда x=0 - график уходит в бесконечность.
Когда x=2, y=-0,5 - эта точка выколота.
Зеленая прямая - это y=kx. Очевидно, что прямая будет иметь ровно одну общую
точку только когда проходит через выколотую точку.
Следовательно, можем записать -0,5=k*2 => k=-0,25
Ответ: k=-0,25
Задача
№3
Постройте график функции y=|x2+5x+6|
. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с
прямой, параллельной оси абсцисс?
решение задачи
y=|x2+5x+6|
Данную функцию надо разложить на две функции, в зависимости от значения модуля.
y=x2+5x+6, при x2+5x+6≥0
y=-(x2+5x+6), при x2+5x+6<0
Вычислим при каких значениях х функция меняет свой знак, для этого решим
неравенство:
x2+5x+6≥0
Найдем корни уравнения x2+5x+6=0
D=52-4*1*6=25-24=1
x1=(-5+1)/(2*1)=-2
x1=(-5-1)/(2*1)=-3
На рисунке представлен график
функции y=x2+5x+6, данная функция больше или равна нулю в диапазоне
(-∞; -3]∪[-2; +∞), и меньше нуля в диапазоне (-3; -2).
Значит можем переписать систему:
y=x2+5x+6, при x ∈ (-∞; -3]∪[-2; +∞)
y=-(x2+5x+6), при x ∈ (-3; -2)
Тогда график первой функции будет выглядеть так
График второй функции выглядит так:
Объединяем графики и получаем:
Очевидно, что прямая, параллельная оси абсцисс
будет иметь 4 общие точки.
Задача №30
Найдите
p и постройте график функции y=x2+p, если известно, что прямая y=4x
имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение задачи:
Две функции имеют точку пересечения, это означает,
что графики обеих функций имеют общую точку. Следовательно, надо составить
систему и решить ее:
y=x2+p
y=4x
4x=x2+p
x2-4x+p=0
Найдем корни этого квадратного уравнения:
D=(-4)2-4*1*p=16-4p
В условии сказано, что точка пересечения только одна, следовательно корень
уравнения должен быть только один. Это условие выполняется, когда дискриминант
равен нулю:
D=16-4p=0
p=4
x=-(-4)/(2*1)=2
y=4x=4*2=8
(2;8) - точка пересечения
графиков.
Получаем функцию:
y=x2+4
График функции:
Задача №98
Найдите p и постройте график функции y=x2+p,
если известно, что прямая y=-2x имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение задачи:
Две функции имеют точку пересечения, это означает,
что графики обеих функций имеют общую точку. Следовательно, надо составить
систему и решить ее:
y=x2+p
y=-2x
-2x=x2+p
x2+2x+p=0
Найдем корни этого квадратного уравнения:
D=22-4*1*p=4-4p
В условии сказано, что точка пересечения только одна, следовательно корень
уравнения должен быть только один. Это условие выполняется, когда дискриминант
равен нулю:
D=4-4p=0
p=1
x=-2/(2*1)=-1
y=-2x=-2*(-1)=2
(-1;2) - точка пересечения графиков.
Получаем функцию:
y=x2+1
График функции:
Задача №6
Постройте график функции y=x2+3x-4|x+2|+2
и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие
точки.
решение задачи
В данной функции присутствуем
модуль, следовательно функцию надо разложить на две функции, в зависимости от
значения модуля:
|x+2|=x+2, при x+2≥0 (т.е. x≥-2)
|x+2|=-(x+2), при х+2<0 (т.е. х<-2)
Тогда вся функция будет выглядеть так:
x2+3x-4(x+2)+2, при
x≥-2
x2+3x-4(-(x+2))+2, при x<-2
x2+3x-4x-8+2, при
x≥-2
x2+3x-4(-x-2)+2, при x<-2
x2-x-6, при x≥-2
x2+3x+4x+8+2, при x<-2
x2-x-6, при x≥-2
x2+7x+10, при x<-2
|
График первой функции:
y=x2-x-6, при x≥-2
|
|
График второй функции:
y=x2+7x+10, при x<-2
|
|
Итоговый график
функции y=x2+3x-4|x+2|+2
|
|
Очевидно, что при m=0,
функция y=m имеет ровно 3 общие точки с графиком.
Но существует еще одно значение m, как показано на рисунке. Данная прямая
проходит через вершину второй функции.
Координату x0 вершины параболы можно найти по формуле:
x0=-b/2a
x0=-7/(2*1)=-3,5
Подставим в уравнение и получим, что y0=(-3,5)2+7*(-3,5)+10=12,25-24,5+10=-2,25
|
Ответ: при значениях m=0 и m=-2,25 прямая y=m имеет
с графиком ровно три общие точки.
Задача №7
Постройте график функции
-x2-2x+3, если х≥-2
-x+1, если x<-2
и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие
точки.
решение задачи
Алгоритм такой:
1. Построить график обоих функций,
2. Обрезать графики по условию задачи
3. Объединить графики в один.
1) -x2-2x+3, если х≥-2
найдем корни уравнения -x2-2x+3=0
D=(-2)2-4*(-1)*3=4+12=16
x1=(-(-2)+4)/(2*(-1))=-3
x2=(-(-2)-4)/(2*(-1))=1
Координаты вершины параболы:
x0=-(-2)/(2*(-1))=-1
y0=-(-1)2-2(-1)+3=-1+2+3=4
|
Так как перед x2 стоит
отрицательное число, то ветви параболы направлены вниз. График показан на
рисунке.
|
|
Обрезаем график как
сказано в условии, х≥-2
|
|
График функции -х+1
|
|
Обрезаем график как
сказано в условии, х≥-2
|
|
Обрезаем график,
х<-2
|
|
Объединяем графики
|
|
Ровно две точки будут
при m=3 и m=4.
|
Задача №8
Постройте график функции: и определите, при
каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.
решение задачи
Область Допустимых Значений (ОДЗ).
x≠0 (так как делиить на ноль нельзя).
Так как функция содержит модуль,
то ее надо разложить на две подфункции:
Рассмотрим каждую функцию:
Это означает, что у=x/4,5, когда x/4,5-4,5/x≥0
Найдем этот диапазон.
x/4,5-4,5/x≥0
(x2-4,52)/(4,5x)≥0
Дробь больше нуля в двух случаях:
1) Когда и числитель и знаменатель больше нуля.
2) Когда и числитель и знаменатель меньше нуля.
Рассмотрим первый вариант:
x2-4,52≥0
4,5x>0
x2-4,52≥0
x>0
Синим цветом отмечен диапазон
первого неравенства системы, зеленым - второе неравенство. Итоговый диапазон
для первого случая - [4,5;+∞)
Рассмотрим второй случай, когда и числитель и знаменатель меньше нуля.
x2-4,52<0
4,5x<0
x2-4,52<0
x<0
Синим цветом отмечен диапазон
первого неравенства системы, зеленым - второе неравенство. Итоговый диапазон
для второго случая - (-4,5;0)
Объединяем эти итоговые диапазоны, получаем:
(-4,5;0)∪[4,5;+∞)
Напомним, это диапазон, в котором выражение внутри модуля больше или равно
нулю.
Следовательно, выражение внутри модуля меньше нуля на диапазоне (-∞;-4,5]∪(0;4,5), ноль не попадает ни в один из диапазонов, т.к. иначе в функции получится деление на ноль.
Построим график функции :
Точка (0;0) исключена согласно ОДЗ.
Вторая функция:
, диапазон мы уже знаем:
(-∞;-4,5]∪(0;4,5)
Построим график второй функции:
Объединяем графики:
Только одна общая точки будет в двух случаях, в точках "перелома"
графика, они отмечены на рисунке. Это точки -4,5 и 4,5.
Подставим эти точки в функцию и получим значения m.
m1=y(-4,5)=-1
m2=y(4,5)=1
Ответ: m1=-1 и m2=1
Задача №12
Постройте график функции и определите, при
каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.
решение задачи
Область Допустимых
Значений (ОДЗ):
Так как присутствует деление на (х-1), х≠1, так как деление на ноль
невозможно.
В данной функции
присутствуем модуль, следовательно функцию надо
разложить на две подфункции, в зависимости от значения модуля:
Рассмотрим и построим график для каждой подфункции и объединим их.
1) y1=0,5x2 при х≥0
2) y2=-0,5x2 при х<0
Объединяем графики и накладываем ограничения ОДЗ,
Очевидно, что горизонтальная прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей
точки только в "исключенной" точке, где x=1.
Надо найти координату y. y=0,5*1=0,5=m
Ответ: при m=0,5 прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.
Задача №13
Постройте график
функции y=|x|x+3|x|-5x и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с
графиком ровно две общие точки.
решение задачи
В данной функции
присутствуем модуль, следовательно функцию надо
разложить на две подфункции, в зависимости от значения модуля:
x*x+3x-5x, при x≥0
-x*x+3(-x)-5x, при x<0
x2-2x, при x≥0
-x2-8x, при x<0
Рассмотрим и построим график для каждой подфункции и объединим их.
1) y1=x2-2x,
при x≥0
|
2) y2=-x2-8x,
при x<0
|
Объединяем графики.
|
|
y=m имеет с графиком
ровно две общие точки только, когда прямая касается вершины параболы. Найдем
координаты вершин:
Координату x вершины можно найти по формуле x0=-b/2a.
Тогда для правой параболы: x0=-(-2)/2=1 y1(1)=12-2*1=-1
Для второй параболы:
x0=-(-8)/(2*(-1))=-4
y2(-4)=-(-4)2-8*(-4)=-16+32=16
Следовательно m1=-1 и m2=16
Ответ: m1=-1 и m2=16
Задача №68
Постройте график
функции и определите, при каких
значениях k прямая y=kx не имеет с графиком ни одной общей точки.
решение задачи
В данной функции
присутствуем модуль, следовательно функцию надо
разложить на две подфункции, в зависимости от значения модуля:
Теперь надо построить график каждой подфункции в его границах и объединить
их.
1) , при х≥0.
Напишем Область Допустимых Значений (ОДЗ).
Так как знаменатель не может равняться нулю, то x-3x2≠0
Следовательно:
x(1-3x)≠0
x1≠0
x2≠1/3
График представляет из себя гиперболу, отметим несколько точек:
2) , при х<0.
Напишем Область Допустимых Значений (ОДЗ).
Так как знаменатель не может равняться нулю, то -x-3x2≠0
Следовательно:
-x(1+3x)≠0
x3≠0
x4≠-1/3
График представляет из себя гиперболу, отметим несколько точек:
X
|
-0,5
|
-1
|
-2
|
Y
|
-2
|
-1
|
-0,5
|
Построим график:
График первой подфункции начерчен красным цветом, второй подфункции - синим.
На графике указаны выколотые точки (из ОДЗ) (1/3;-3) и (-1/3;-3).
Функция y=kx проходит через начало координат (при x=0 y тоже равен 0).
Очевидно, что данная функция не будет иметь ни одной общей точки только
когда:
1) совпадает с осью Х.
2) пройдет через первую выколотую точку.
3) пройдет через вторую выколотую точку.
1) k1=0
2) Подставим первую выколотую точку в функцию прямой -3=k(1/3) => k2=-9
3) Подставим вторую выколотую точку в функцию прямой -3=k(-1/3) => k3=9
А вот так выглядит график со всеми тремя прямыми.
Ответ: k1=0, k2=-9, k3=9
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.