Теория и практика квадратных уравнений

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0, а x – неизвестное. Выражение {\displaystyle ax^{2}+bx+c} ax² + bx + c   называют квадратным трёхчленом.

а называют первым или старшим коэффициентом,  {\displaystyle b}b   –  вторым, средним или коэффициентом,                    {\displaystyle c}c –  свободным членом.

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля:

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

·         Не имеют корней;      

·         Имеют ровно один корень;

·         Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого нужен  дискриминант.

Дискриминант: D=b2-4ac	D>0	D=0	D<0
Корни квадратного уравнения: ax2+bx+c=0	Два различных корня	Один корень (два равных)	Нет корней

 Пример 1: Решите  квадратные уравнения.

1.              x² − 8x + 12 = 0;

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)² − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня.

                       

2.              5x² + 3x + 7 = 0;

a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3² − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет.

3.              x² − 6x + 9 = 0.

a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один

Решение неполных квадратных уравнений

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член, либо сразу оба), равен нулю: ;

1)      Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax² + c = 0.

Пример 2

                                                                                   

x₁=6  x₂= -6                                                                      нет коней    

2)       Пусть с =0, тогда  получаем  ax² + bx = 0.

 Вынесем общий множитель за скобку:

 иди 

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

3)      b = c = 0, уравнение принимает вид ax² = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x=0

приведенное квадратное уравнение. теорема Виета

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице:{\displaystyle x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a}},\quad q={\frac {c}{a}}.} или 

Прямая теорема Виета и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле.

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел{\displaystyle x_{1},x_{2}}, будучи решением системы уравнений , являются корнями уравнения  {\displaystyle x^{2}+px+q=0}:{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p;\\x_{1}x_{2}=q;\end{cases}}}

 Пример 3: 

                      x₁= - 9 x₂=2

Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Формулы подходят для уравнений вида ax² + 2kx + c = 0 , где

Пример 4:  

Любой квадратный трехчлен можно разложить  на множители по формуле: ,         где x₁, x₂ – его корни

Тогда

1.  Найдите корни урав­не­ния .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

2.  Решите урав­не­ние .

Если корней несколько, запишите  в ответ больший

3.  Решите урав­не­ние .

Если корней несколько, запишите  в ответ меньший.

4.  Решите урав­не­ние .

Если корней несколько, запишите  в ответ их сумму.

5.  Найдите корни урав­не­ния  .

6.  Найдите корни урав­не­ния  .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

7.  Найдите корни урав­не­ния 

8.  Най­ди­те корни урав­не­ния 

9.  Две пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся в точке C (см. рис.). Най­ди­те абс­цис­су точки C.

Ответ: -2

10. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций  и  Вы­чис­ли­те ко­ор­ди­на­ты точки B., в ответ запишите их сумму.

11.  Уравнение  имеет корни −6; 4. Най­ди­те 

12.  Квадратный трёхчлен раз­ло­жен на множители:  Най­ди­те 

13Решите урав­не­ние 

14.  Решите урав­не­ние 

15.  Решите урав­не­ние 

16.  Решите урав­не­ние 

17.  Уравнение  имеет корни −5; 7. Най­ди­те p

18. Решите уравнения: а)x²-13x+36=0;  b) 4x²-4x-1=0;  в) x²+8x-20=0;  г) 3x²-18x+15=0

19..Найти корни уравнения:

А) x²+9x+8=0        Б) x²+5x-14=0             В) x²-7x-30=0              г) x²-15x+56=0

20. Решите уравнения:  а)2x²-50=0;   б)4x²+5x=0;   в)-5x²=0;  г)4x²+7=0  д)6x²-30=0     е)6x²-5x+10=3x²+x+10

21. Решите уравнения:    а) 9x²+24x+16=0; б) 3x²-8x+7=0;  в) 3x²+16x-12=0;   г) (2x-1)(x+3)=3x²-5