ЗАНЯТИЕ № 1
Случайные события и их вероятности
1. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ
Ответьте на
следующие вопросы:
1.
Какое событие называется случайным? Приведите
примеры.
2.
Какое событие называется достоверным? Приведите
примеры.
3.
Какое событие называется невозможным? Приведите
примеры.
4.
Сформулируйте классическое, статистическое и
геометрическое определения вероятности. В чем заключается их основное различие
? Приведите примеры применения каждого из определений.
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
- Для каждого из
описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным
или случайным.
Из
списка журнала 8 класса (в котором есть и девочки, и мальчики) случайным
образом выбран один ученик: 1) это мальчик; 2) выбранному ученику 14 лет;
3) выбранному ученику 14 месяцев; 4) этому ученику больше 2-х лет.
2.
В мешке лежит 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4
красных. Охарактеризуйте следующее событие как достоверное, невозможное или
случайное: 1) из мешка вынули 4 шара и все они синие; 2) из мешка вынули 4 шара
и все они красные; 3) из мешка вынули 4 шара и все они оказались разного
цвета; 4) из мешка вынули 4 шара и среди них не оказалось шара черного цвета.
- Образуют ли полную группу следующие группы
событий:
А)
опыт бросания 1 монеты:
А0 : появление
герба;
А1 : появление
цифры;
Б)
опыт бросания 2-х монет:
В0 :- появление 2-х
гербов;
В1 : появление 2-х
цифр;
В)
2 выстрела по мишени:
С0 : ни одного
попадания;
С1 : одно
попадание;
С2 : два попадания;
Г)
2 выстрела по мишени:
Д0 : хотя бы 1
попадание;
Д1 : ни одного
попадания.
- Являются ли несовместными события,
представленные в задаче № 3?
- Из событий: 1) «идет
дождь»; 2) «на небе нет ни облачка»; 3) «наступило лето» составьте все
возможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных
событий.
- Назовите событие,
для которого противоположным является такое событие: 1) на контрольной
работе больше половины класса получили пятерки; 2) все 7 пулек в тире у
меня попали мимо цели; 3) при бросании монеты выпала решка; 4) при
бросании игральной кости выпало четное число очков.
- Для новогодней
лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова
вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?
- Таня забыла
последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала ее наугад.
Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?
- В магазин
поступили 30 новых цветных телевизоров, среди которых 5 имеют скрытые
дефекты. Наудачу отбирается 1 телевизор для проверки. Какова вероятность
того, что он не имеет скрытых дефектов?
- Автомат
изготавливает однотипные детали. Технология изготовления такова, что 5 %
произведенной продукции оказывается бракованной. Из большой партии взята
наудачу 1 деталь для контроля. Найдите вероятность того, что выбранная
деталь бракованная.
- В урне а белых и
в черных шаров. Из урны вынимают 1 шар. Найдите вероятность того, что
вынутый шар белый.
- В урне а белых и
в черных шаров. Из урны вынули 1 шар и откладывают в сторону. Этот шар
оказался белым. После этого из урны берут еще 1 шар. Найдите вероятность
того, что этот шар также будет белым.
- В урне а белых и
в черных шаров. Из нее вынимают один за другим все шары. Найдите
вероятность того, что вторым по порядку будет вынут белый шар.
- В урне а белых и
в черных шаров (а≥2). Из урны вынимают сразу 2 шара. Определить
вероятность того, что оба шара будут белыми.
3 САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ МАТЕРИАЛА
Каждая из
комбинаторных формул определяет общее число элементарных исходов в некотором
опыте, состоящее в выборе наудачу m элементов из n элементов некоторого множества Е = {е1 , е2 , …,
ер}. При этом в каждом опыте строго оговорено, каким способом
производится выбор и что понимается под различными выборками.
Существуют 2
принципиально различные схемы выбора:
- выбор
осуществляется без возвращения элементов;
- выбор
осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на
каждом шаге и тщательным перемешиванием исходного множества перед следующим
выбором.
После того, как
выбор тем или иным способом осуществлен, отобранные элементы (или их номера
могут быть либо упорядочены (выстроены в определенную цепочку), либо нет.
В результате
названных действий получены 4 комбинации постановки эксперимента по выбору
наудачу k элементов из общего числа p
различных элементов множества Е.
- СХЕМА ВЫБОРА,
ПРИВОДЯЩАЯ К СОЧЕТАНИЮ.
Если опыт состоит в выборе k элементов без
возвращения и без упорядочения, то различными исходами следует считать k элементные подмножества множества Е, имеющие различный состав.
Получающиеся
при этом комбинации элементов (элементарные исходы) носят названия сочетания
из p элементов по k,
а их общее число считается по формуле
С k p =
Пример 1. Из класса, в котором
учится 12 девочек и 10 мальчиков, выбирают группу из 4-х учащихся для участия в
школьной олимпиаде. Найдите вероятность того, что: а) все участники
олимпиады – мальчики; б) среди участников олимпиады 3 девочки и 1 мальчик.
Решение. В данной задаче
применяем первую схему комбинаторного выбора, так как речь идет о выборе без
возвращения и без упорядочивания.
а) событие А – «все 4 выбранных участника олимпиады
– мальчики».
Для вычисления искомой
вероятности применяем формулу .
Найдем m – количество благоприятных исходов опыта.
В нашем случае m – число вариантов выбора 4-х мальчиков из 10, т. е. m
= С 4 10 = 210.
Найдем n – общее количество исходов опыта: n = С 4 22 = 7315.
Искомая вероятность будет равна Р(А) = .
б) событие В – «среди 4 выбранных участников
олимпиады 3 девочки и 1 мальчик».
Для вычисления искомой вероятности
применяем формулу .
Найдем m – количество благоприятных исходов опыта.
В нашем случае m – число вариантов выбора трех девочек (из 12) и одного
мальчика (из 10), т. е. m = С 3 12
С 1 10 = 2200.
Найдем n – общее количество исходов опыта: n = С 4 22 = 7315.
Искомая вероятность будет равна Р(В) = .
- СХЕМА ВЫБОРА,
ПРИВОДЯЩАЯ К РАЗМЕЩЕНИЯМ
Если опыт состоит в выборе k элементов без
возвращения, но с упорядочиванием их по мере выбора в последовательную цепочку,
то различными исходами следует считать упорядоченные k элементные подмножества множества Е, отличающиеся либо набором
элементов, либо порядком их следования.
Получающиеся
при этом комбинации элементов (элементарные исходы) носят названия размещения
из p элементов по k,
а их общее число считается по формуле
А k p =
Замеч. В частном случае (k = p) опыт состоит в произвольном упорядочивании
множества Е, т.е. сводится к случайной перестановке элементов всего множества.
В этом случае
А p p = p!
Пример 2.
Из множества, состоящего из 10 первых букв русского алфавита, выбираются без
возвращения 4 буквы и записываются слова в порядке поступления букв. Найдите
вероятность того, что наудачу составленное слово оканчивается буквой а.
Решение. Событие А – «наудачу составленное
слово оканчивается буквой а».
Для
вычисления искомой вероятности применяем формулу .
Найдем m – количество способов разместить на три оставшиеся места по одному из 9
символов (символ а исключен из рассмотрения, поскольку его место уже
определено). В нашем случае m – число вариантов выбора 3-х букв из 9, т.
е.
m = А 3 9 = 504.
Найдем n – число всех 4-буквенных слов в данном опыте: n = А 4 10
= 5040.
Искомая вероятность будет равна Р
(А) = = 0,1.
- СХЕМА ВЫБОРА,
ПРИВОДЯЩАЯ К СОЧЕТАНИЯМ С ПОВТОРЕНИЯМИ
Если опыт состоит в выборе с возвращением k
элементов множества Е, но без последующего упорядочивания, то различными
исходами такого опыта следует считать всевозможные m элементные наборы, отличающиеся составом.
При
этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы.
Получающиеся
при этом комбинации элементов (элементарные исходы) носят названия сочетания
с повторениями из p элементов по k, а их общее число считается по формуле
С kk+p-1
Пример 3. В технической
библиотеке имеются книги по математике, физике, химии и т. д., всего по 16-ти
разделам науки. Поступили очередные 4 заказа на литературу. Считая, что любой
состав заказанной литература равновозможен, найдите вероятности следующих
событий: А – «заказаны книги из различных разделов науки»; В – «заказаны книги
из одного и того же раздела науки».
Решение. а) Найдем вероятность
события А – «заказаны книги из различных разделов науки». Для вычисления искомой вероятности применяем
формулу
.
Найдем m – количество способов отобрать без возвращения 4 элемента из 16,
т. е. m = С 4 16 =
1820.
Найдем n – число всех равновероятных исходов
данного эксперимента равно числу сочетаний с повторениями из 16 элементов по 4.
n = С 4 16+4-1
= 3876.
Искомая вероятность будет равна Р(А) = .
б) Найдем вероятность события В – «заказаны книги
из одного и того же раздела науки». Для
вычисления искомой вероятности применяем формулу .
Аналогично первому случаю n – число всех равновероятных исходов данного эксперимента равно n = 3876.
Так как m – количество способов выбрать любой раздел из 16, то m = 16.
Искомая вероятность будет равна Р(В) = .
- СХЕМА ВЫБОРА,
ПРИВОДЯЩАЯ К РАЗМЕЩЕНИЯМ С ПОВТОРЕНИЯМИ
Если опыт состоит в выборе k из p
элементов множества Е с возвращением и упорядочиванием их в
последовательную цепочку, то различными исходами такого опыта следует считать всевозможные
m элементные наборы (возможно с повторениями),
отличающиеся составом элементов, либо порядком их следования.
Получающиеся
при этом комбинации элементов (элементарные исходы) носят названия размещения
с повторениями из p элементов по k, а их общее число считается по формуле
p k
Пример 4. 7 одинаковых шариков
случайным образом рассыпаются по 4-м лункам (в одну лунку может поместиться
любое число шариков). Какова вероятность того, что в результате данного опыта
первая лунка окажется пустой (при этом может оказаться пустой еще какая-нибудь
лунка)?
Решение. Занумерум лунки и
шарики. Можно считать, что опыт состоит в 7-кратном выборе с возвращением
номера лунки и записи 7-буквенного слова. При этом каждому порядковому номеру
буквы (номеру шарика) будет соответствовать один из 4-х номеров лунок. Таким
образом, число всех способов распределить 7 шариков по 4-м лункам равно числу
различных 7-буквенных слов из алфавита в 4 буквы, т. е. n = 47.
Событие А – «первая лунка при рассыпании 7 шариков
окажется пустой» соответствует такому выбору, когда символ 1 (номер первой
лунки) удален из рассмотрения. Поэтому m – число 7-буквенных слов из алфавита в 3 буквы.
Искомая вероятность будет равна Р(А) = .
4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
- Из колоды 36 карт
наугад вынимают 2 карты. Какова вероятность того, что это: 1) дама
треф и валет пик; 2) две шестерки?
- В темном ящике 5
выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете 3 билета.
Найдите вероятность того, что: а) все билеты выигрышные; б) есть ровно 1
проигрышный билет; в) есть ровно 2 выигрышных билета; г) есть хотя бы 1
выигрышный билет.
- Числа 1, 2, …, 9
записаны в случайном порядке. Найдите вероятность того, что числа будут
записаны в порядке возрастания.
- Числа 1, 2, …, 9
записаны в случайном порядке. Найдите вероятность того, что: а) числа
1 и 2 будут стоять рядом и в порядке возрастания; б) числа 3, 6 и 9 будут
следовать друг за другом и в порядке возрастания.
- В технической
библиотеке имеются книги по 16 разделам науки. Поступили очередные 4
заказа на литературу. Считая, что каждый состав заказанной литературы
равновозможен, найдите вероятность того, что заказаны книги из различных
разделов науки.
- 7 одинаковых
шаров случайным образом рассыпаются по 4 лункам (в каждую лунку может
поместиться любое число шариков). Сколько существует различных способов
распределения 7 шариков по 4 лункам? Какова вероятность того, что первая
лунка окажется пустой?
Домашнее задание № 1
- Для каждого из
описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным
или случайным.
Бросают
2 игральные кости: 1) на первой кости выпало 3 очка, а на 2-ой – 5 очков; 2)
сумма выпавших на двух костях очков равна 1; 3) сумма выпавших на двух костях
очков равна 13; 4) на обеих костях выпало по 3 очка; 5) сумма очков на двух
костях меньше 15.
- Из событий: 1)
«наступило утро»; 2) «сегодня по расписанию 6 уроков»; 3) «сегодня
первое января» составьте все возможные пары и выявить среди них пары
совместных и пары несовместных событий.
- Ниже перечислены
разные события. Укажите противоположные им события.
1)
Мою новую соседку по парте зовут или Таня, или Аня; 2) явка на выборы была от
40% до 47%; 3) из 5 выстрелов в цель попали хотя бы два; г) на контрольной я не
решил, как минимум, три задачи из пяти.
- В ящике находятся
2 белых и 3 черных шара. Наугад вынимается один шар. Какова вероятность
того, что вынутый шар: 1) белый; 2) черный; зеленый?
- Задумано
двузначное число. Найдите вероятность того, что задуманное число окажется:
1) случайно названное двузначное число; 2) случайно названное двузначное
число, цифры которого различны.
- Брошены 2
игральные кости. Найдите вероятность следующих событий: 1) сумма выпавших
очков равна 7; 2) сумма выпавших очков равна 8, а разность равна 4 ; 3) сумма
выпавших очков равна 5, а произведение равно 4.
- В пачке 20
перфокарт, помеченных номерами 101, 102, … , 120 и произвольно
расположенных. Перфораторщица наудачу извлекает 2 карты. Найдите
вероятность того, что извлечены перфокарты с номерами 101 и 120.
- В ящике имеется
15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3
детали. Найдите вероятность того, что извлеченные детали: 1) окажутся
окрашенными; 2) 2 делали окрашены, 1 – не окрашена.
- В ящике имеется 25
деталей, 8 из которых окрашены. Найдите вероятность того, что среди 4-х
наудачу выбранных деталей хотя бы одна окрашена.
- В коробке
«Ассорти» 20 неразличимых по виду конфет, из которых 12 с шоколадной
начинкой и 8 с фруктовой начинкой. Тане разрешили взять 2 конфеты. Какова
вероятность того, что: 1) обе конфеты с шоколадной начинкой; 2) обе
конфеты с фруктовой начинкой; 3) обе конфеты с разными начинками?
- Из 5 букв
разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать,
рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найдите
вероятность того, что у него снова получилось слово «книга».
- В кондитерской
имеется 7 видов пирожных. Очередной покупатель выбил чек на 4 пирожных.
Считая, что любой заказываемый набор пирожных равновероятен, вычислите
вероятности того, что: а) пирожные одного вида; б) пирожные разных видов:
в) по 2 пирожных различных видов.
6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
- Колоду из 36 карт
хорошо перетасовали и вытянули из нее одну карту. Для каждого из следующих
событий найдите его вероятность:
А:
вытянули красную масть;
В:
вытянули пику;
С:
вытянули красную пику;
Д:
вытянули даму;
Е:
вытянули даму пик.
- В классе учится
10 мальчиков и 20 девочек.
а)
На класс дали один билет в цирк, который решено разыграть по жребию. Какова
вероятность , что в цирк пойдет девочка?
б)
Учитель истории знает, что 3 мальчика и 5 девочек из класса были накануне в
кино, поэтому не выучили домашнее задание. К сожалению, он не знает их фамилий,
но очень хочет поставить кому-нибудь двойку. Кого ему лучше вызвать к доске –
мальчика или девочку?
в)
Федя не решил домашнюю задачу по математике. Какова вероятность, что учитель не
узнает, если за урок он успеет спросить пятерых?
- Какова
вероятность того, что «доминошка», наудачу извлеченная из полного набора
домино, имеет сумму очков, равную 5?
- Для школьного
новогоднего вечера напечатали 125 пронумерованных пригласительных билетов,
между которыми предполагается разыграть главный приз. Какова вероятность,
что номер счастливчика будет заканчиваться: а) на тройку; б) на девятку?
- Наудачу выбрано
двузначное число. Определите вероятность того, что оно оказалось: а)
простым; б) составным; в) кратным пяти; г) взаимно простым с числом 100?
- В корзине яблоко
и груша. Вытаскиваем из нее один фрукт. Какова вероятность того, что это
яблоко?
- В корзине 2
яблока и груша. Вытаскиваем из нее 2 фрукта. Какова вероятность того, что
оба фрукта яблоки?
- В корзине N яблок
и груша. Вытаскиваем из нее N фруктов. Какова вероятность того, что все
они яблоки?
- У маленькой Вари
две одинаковые пары варежек. Уходя на улицу, она наугад берет две варежки.
Какова вероятность того, что они окажутся парными (т.е. на разные руки)?
- У маленькой Вари
две одинаковые пары варежек. Варя потеряла одну из варежек на улице, и теперь
их у не три. Уходя на улицу, она по-прежнему выбирает две варежки
случайным образом. Какова на этот раз вероятность, что они окажутся
парными?
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.