Уравнения с параметрами,сводящиеся к линейным.7 класс.

              Уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным.7 класс (методические рекомендации).

                                                                                                      Солодовникова Галина Николаевна, учитель математики

                                                                                                      МБОУ Школа №16 г. Саров Нижегородской области.

«Задачи с параметрами незаменимое средство для тренировки логического мышления».

  Данный материал можно использовать на уроках алгебры в 7 классе, на занятиях математического кружка общеобразовательной школы, для самостоятельного ознакомления с данной темой учениками 7-ого класса.

Занятие 2.

На первом занятии мы рассмотрели уравнения вида  ах= b   (1),

где х-неизвестное,b-некоторое число или выражение, а - параметр. В уравнениях данного вида параметр а может принимать любые значения. Задача могла звучать так: найдите решение уравнения в зависимости от параметра  а.

На первом занятии были рассмотрены и решены уравнения:

1) а∙х=1.  Ответ. Если а=0,то корней нет; если а≠0, то х = .

2)  а∙х=0.  Ответ. Если а=0,то х-любое число; если а≠0, то х=0.

3)  (а-2)∙х=1.  Ответ. Если а=2, то корней нет; если а≠2, то х =   .

4)  (а-2)∙х=0.  Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а≠ 2, то х=0.

5)  (а-2)∙х=5∙(а-2).   Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а≠2, то х=5.

6)  (а-2)х=(а-2)(а+3).  Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а≠2, то х= а+3.

7) (7-а)(а+2)х=а -7.  Ответ. Если а=7, то х-любое число; если а=-2, то корней нет; если а≠7,а≠-2, то  х=    .

На 2-ом занятии мы рассмотрим уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным, т.е. к виду ах= b   (1).

1.Решите уравнение  ах-3х= -1.

Решение.

В данном уравнении параметр а принимает любое значение.

Приведем уравнение к виду (1).

 Для этого в левой части исходного уравнения вынесим за скобку общий множитель х, выделив при этом коэффициент при неизвестном   х,  (а-3).

Получили уравнение  (а-3)∙х= - 1,

если а=3,то уравнение примет вид 0∙х= - 1 . Данное уравнение корней не имеет.

Если а≠3, то х= .

Ответ. Если а=3,то корней нет; если а≠3, то х= .

2.Решите уравнение тх-7т=5х-6.

Решение.

В данном уравнении параметр т принимает любое значение.

Соберем все члены уравнения, содержащие неизвестное х, в левой части, а не содержащие х – в правой части уравнения.

тх-5х=-6+7т

Вынесим общий множитель х за скобку и приведем уравнение к виду (1),выделив коэффициент при неизвестном х, (т-5).

(т-5)∙х=7т-6 ,

если т=5,то уравнение примет вид 0∙х=35-6 ,т.е. 0∙х=29. Данное уравнение корней не имеет.

Если т≠5,то х =   .

Ответ. Если т=5, то корней нет; если т≠5, то х =  .

3.Решить уравнение  х-3m= 12-4mх .

Решение.

В данном уравнении параметр m принимает любое значение.

Соберем все члены уравнения, содержащие неизвестное х, в левой части, а не содержащие х – в правой части уравнения.

х+4mx=12+3m

Вынесим общий множитель х за скобку и приведем уравнение к виду (1),выделив коэффициент при неизвестном х, m().

(+4m)∙х=3m+12

m(m+4) ∙х=3m+12

m(m+4)∙х=3(m+4)

Если m=0, то уравнение примет вид 0∙4∙х=3∙4 или 0∙х=12. Данное уравнение корней не имеет.

Если m= - 4, то уравнение примет вид -4∙0∙х=3∙0  или 0∙х=0 , х - любое число.

Если m≠0,m≠ -4, то х =  .

Ответ. Если m=0,то корней нет;

если m=-4, то х-любое число;

если m≠0, m≠ -4,то х =  .

4.Решите уравнение    =   .

Решение.

В данном уравнении параметр а принимает любое значение.

Необходимо освободиться от знаменателей дробей.

Это можно сделать двумя способами.

Можно применить основное свойство пропорции и получить уравнение 3∙(ах+5)=4∙(ах+1)

 или умножить обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей  12 и получить уравнение 

= .

Сократив первую дробь на 4, вторую на 3, получим уравнение     3∙(ах+5)=4∙(ах+1).

(На мой взгляд, исходное уравнение удобнее решать, используя основное свойство пропорции).

 Выполняем умножение одночленов на многочлены и получаем уравнение:

3ах+15=4ах+4

Собираем члены уравнения, содержащие х, в левой части, остальные в правой части уравнения и приводим подобные слагаемые:

3ах- 4ах=4-15

-а∙х=-11

Умножаем обе части уравнения на   -1 и  получаем уравнение вида(1)

а∙х=11

Если а=0,то уравнение примет вид 0∙х=11, данное уравнение корней не имеет;

Если а≠0,то х=

Ответ. Если а=0,то корней нет; если а≠0, то х=   .

5.Решить уравнение + 1=   .

Решение.

В данном уравнении параметр а принимает любое значение.

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей  6.

Получим уравнение:  +6∙1 = ,

Сократив первую дробь на 3, вторую на 2,получим уравнение: 2∙(1+а) + 6 =3∙а (х-4).

Умножаем одночлены на многочлены, переносим члены уравнения, содержащие неизвестное х, в левую часть, остальные в правую часть уравнения, приводим подобные слагаемые:

2+2а+6=3ах-12а

-3ах=-12а-2а-6-2

-3ах=-14а-8

Умножаем обе части уравнения на  -1 и получаем уравнение вида (1)

3ах=14а+8

Если а=0, то уравнение примет вид 0∙х=8 , данное уравнение корней не имеет;

Если а≠0, то х=  .

Ответ. Если а=0, то корней нет;

Если а≠0, то х =   .

Задания для самостоятельной работы.

Решите уравнение.

1) 5nx-2x=1;

2) ах+3а=6х+5;

3)х-5с=15-3сх;

4)=;

5) -3=.

Ответ.1) если n=0,4, то корней нет; если n≠0,4, то х = ;

2)если а=6, то корней нет; если а≠6, то х =  ;

3) если с= 0, то корней нет; если с= -3, то х-любое число; если с≠0, с≠ -3, то х= ;

4) если а=0, то корней нет; если а≠0, то х=;

5)если а=0, то корней нет; если а≠ 0, то х = -  .

На следующем занятии можно рассмотреть уравнения с модулем, содержащие параметр и сводящиеся к линейным.