Урок: Формула n-членов арифметической последовательности

Урок59  Тема: Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии

Цели:

образовательные - познакомить учащихся с выводом формулы сумм n первых членов арифметической прогрессии; научить учащихся применять полученные формулы при решении задач.
развивающие - сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации.
воспитательные - прививать учащимся интерес к предмету посредствам применения информационных технологий (с использованием компьютера), решения исторических задач.

Ход урока

1.Организационный момент.

      2. Проверка домашнего задания.

      3. Подготовка к ГИА. Работа по группам

1группа.

1.Решите урав­не­ние 

2.Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние x, удо­вле­тво­ря­ю­щее си­сте­ме не­ра­венств

 

3.Последовательность за­да­на фор­му­лой . Какое из ука­зан­ных чисел яв­ля­ет­ся чле­ном этой последовательности?

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

 4.. Арифметическая про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем a_n = −11,9 + 7,8n . Най­ди­те a₁₁.

Ответы: -1,  -2, 3, 73.9

2 группа

1. Задание 21 № 47

Сократите дробь   .

2. Задание 21 № 311236

Разложите на множители: .

3. Упростите вы­ра­же­ние   

4. Последовательность за­да­на усло­ви­я­ми , . Най­ди­те .

5.Выписаны пер­вые не­сколь­ко чле­нов ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: 3; 6; 9; 12;… Какое из сле­ду­ю­щих чисел есть среди чле­нов этой прогрессии?

1) 83

2) 95

3) 100

4) 102

Ответ: 96,  ,  4,   4

4. Актуализация знаний.

       1. Устный фронтальный опрос:

1)        Какое число называется разностью арифметической прогрессии?

2)        Составьте арифметическую прогрессию, если ее первый член равен  4

3)        Какие из перечисленных последовательностей являются арифметическими прогрессиями?  (a_n): 0; 1; 8; 27; 64;  …

                                                                             (b_n): 7;  5; 3; 1; -1; …

(x_n): 2; 2,2; 2,6; 3,2; 4; …

(c_n): 6; 12; 18; 24; 30; …      

5. Мотивация

Решите задачу. Новый русский решил отгородить бассейн на даче фигурной стеной. Позвав строителей, начал объяснять. - В нижний ряд укладывается 19 блоков, на него кладётся 17 блоков, затем 15 и так далее. Всего 8 рядов. «Арифметическая прогрессия какая-то получается», - произнес бригадир. Прав бригадир?

Выпишите числа, соответствующие количеству блоков каждого ряда: 19, 17, 15, 13, 11, 9, 7, 5. Получили последовательность чисел. Опишите её.

  6.Фискультминутка

  7. Обьяснение нового материала

Рассмотрим еще одну задачу :
Рабочий выложил плитку следующим образом: в первом ряду - 3 плитки, во втором - 5 плиток и т.д., увеличивая каждый ряд на 2 плитки.  Сколько потребуется рабочему плиток, чтобы выложить 6 рядов
Решение: Составьте  к задаче последовательность из 6 чисел: 3, 5, 7, 9, 11,13

Нетрудно убедиться, что данная последовательность является арифметической прогрессией.

Чтобы узнать количество всех плиток, надо узнать сумму этих чисел, т.е найти сумму первых 6 членов арифметической прогрессии.

Подумайте как найти количество всех плиток

(Ответы учеников)

Да, можно решить эту задачу непосредственным сложением чисел. Но этот способ не рационален.  А если бы перед вами стояла задача: найти S₁₀₀, как вы думаете сколько времени вам потребовалось?

 Рассказывают, что, когда, великий немецкий математик Карл Гаусс учился в начальной школе, преподаватель предложил ученикам самостоятельно найти сумму ряда от 1 до 100. Он предполагал, что ученики будут складывать эти числа по порядку, на что потребуется не менее 10 минут. Какого же было его удивление, когда маленький Карл через 1-2 минуты заявил, что он задание выполнил и дал правильный ответ.

Как же так быстро далось маленькому мальчику найти ответ?

Сам Гаусс объяснял это так:

"Я заметил, что 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 и т. д. Пара ровно отстоящих от краёв ряда чисел даёт 101 и последняя пара средних чисел даёт 101 = 50 + 51. Числа, взятые по паре с начала и с конца ряда встречаются в середине после 50 сложений этих пар. Поэтому надо 101 x 50 = 5050. Это число и будет суммой всех 100 чисел".

Воспользуйтесь идеей Гаусса  для  решения задачи про плитки.

 Вывод формулы.

Пусть (а_п) – арифметическая прогрессия.

Обозначим S_n сумму п первых членов арифметической прогрессии.

S_n = а₁ + а₂ + а₃ + а₄ + … + а_{п – 1} + а_п                           (1)

S_n = а_п + а_{п – 1} + а_{п – 2} + а_{п – 3} + … + а₂ + а₁                          (2)

Докажем, что сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна а₁ + а_п.

a₂ + a_{n – 1} = (a₁ + d) + (a_n – d) = a₁ + a_n;

a₃ + a_{n – 2} = (a₂ + d) + (a_{n – 1} – d) = a₂ + a_{n – 1} = a₁ + a_n;

a₄ + a_{n – 3} = (a₃ + d) + (a_{n – 2} – d) = a₃ + a_{n – 2} = a₁ + a_n   и т. д.

Число таких пар равно п. Складываем почленно (1) и (2) и получаем

2S_n = (a₁ + a_n) · n.

– формула суммы п первых членов    арифметической прогрессии.

Обычно арифметическая прогрессия задается первым членом и разностью, поэтому удобно иметь еще формулу суммы п первых членов, выраженную через а₁ и d арифметической прогрессии.

S_n =  · n, а_п = а₁ + d (п – 1);

S_n =  · n;

– формула суммы п первых членов    арифметической прогрессии.

8. Первичное закрепление

№603(а) , №604(а),

9.Контроль знаний

1вариант	2 вариант
1)Дана ариф­ме­ти­че­ская прогрессия:  Най­ди­те сумму пер­вых де­ся­ти её членов. 2. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия   Най­ди­те	1)Дана арифметическая прогрессия    Найдите сумму первых десяти её членов. 2. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (an), раз­ность ко­то­рой равна −8,5, a1 = −6,8. Най­ди­те a11.

Обменяйтесь тетрадями, сделайте проверку

Ответы:1.    50                                                        1.   23

                2.    54                                                       2. -91.8

Дополнительно

Решение задач из сборника Лысенко( Готовимся к ГИА)

1. Последовательность ( а_n) арифметическая прогрессия. Найдите первые пять ее членов если а₁=5,а₂=9, а₃=13.
2. Последовательность ( а_n) арифметическая прогрессия. Найдите сумму ее шести членов  а₂=17, а₅=65
3. Найдите сумму всех нечетных натуральных двузначных чисел
4. Последовательность ( а_n) арифметическая прогрессия. Найдите  сумму первых  пяти ее членов если а₁=8, а₃=18.

10. Итог урока.

11. Домашнее задание: П.26. № 603(б), 604(б),№606(б)

Решение задач из сборника Лысенко

       12.Рефлексия:

Что нового узнали?

Что получилось?

Где возникают затруднения?

1группа.

1.Решите урав­не­ние 

2.Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние x, удо­вле­тво­ря­ю­щее си­сте­ме не­ра­венств

 

3.Последовательность за­да­на фор­му­лой . Какое из ука­зан­ных чисел яв­ля­ет­ся чле­ном этой последовательности?

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

 4.. Арифметическая про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем a_n = −11,9 + 7,8n . Най­ди­те a₁₁.

1группа.

1.Решите урав­не­ние 

2.Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние x, удо­вле­тво­ря­ю­щее си­сте­ме не­ра­венств

 

3.Последовательность за­да­на фор­му­лой . Какое из ука­зан­ных чисел яв­ля­ет­ся чле­ном этой последовательности?

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

 4.. Арифметическая про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем a_n = −11,9 + 7,8n . Най­ди­те a₁₁.

1группа.

1.Решите урав­не­ние 

2.Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние x, удо­вле­тво­ря­ю­щее си­сте­ме не­ра­венств

 

3.Последовательность за­да­на фор­му­лой . Какое из ука­зан­ных чисел яв­ля­ет­ся чле­ном этой последовательности?

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

 4.. Арифметическая про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем a_n = −11,9 + 7,8n . Най­ди­те a₁₁.

2 группа

1. Сократите дробь   .

2. Разложите на множители: .

3. Упростите вы­ра­же­ние   

4. Последовательность за­да­на усло­ви­я­ми , . Най­ди­те .

5.Выписаны пер­вые не­сколь­ко чле­нов ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: 3; 6; 9; 12;… Какое из сле­ду­ю­щих чисел есть среди чле­нов этой прогрессии?

1) 83

2) 95

3) 100

4) 102

Решение задач из сборника Лысенко( Готовимся к ГИА)

1. Последовательность ( а_n) арифметическая прогрессия. Найдите первые пять ее членов если а₁=5,а₂=9, а₃=13.
2. Последовательность ( а_n) арифметическая прогрессия. Найдите сумму ее шести членов  а₂=17, а₅=65
3. Найдите сумму всех нечетных натуральных двузначных чисел
4. Последовательность ( а_n) арифметическая прогрессия. Найдите  сумму первых  пяти ее членов если а₁=8, а₃=18.

Решение задач из сборника Лысенко( Готовимся к ГИА)

1. Последовательность ( а_n) арифметическая прогрессия. Найдите первые пять ее членов если а₁=5,а₂=9, а₃=13.
2. Последовательность ( а_n) арифметическая прогрессия. Найдите сумму ее шести членов  а₂=17, а₅=65
3. Найдите сумму всех нечетных натуральных двузначных чисел
4. Последовательность ( а_n) арифметическая прогрессия. Найдите  сумму первых  пяти ее членов если а₁=8, а₃=18.

            Решение задач из сборника Лысенко( Готовимся к ГИА)

1. Последовательность ( а_n) арифметическая прогрессия. Найдите первые пять ее членов если а₁=5,а₂=9, а₃=13.
2. Последовательность ( а_n) арифметическая прогрессия. Найдите сумму ее шести членов  а₂=17, а₅=65
3. Найдите сумму всех нечетных натуральных двузначных чисел
4. Последовательность ( а_n) арифметическая прогрессия. Найдите  сумму первых  пяти ее членов если а₁=8, а₃=18.

Решение задач из сборника Лысенко( Готовимся к ГИА)

1. Последовательность ( а_n) арифметическая прогрессия. Найдите первые пять ее членов если а₁=5,а₂=9, а₃=13.
2. Последовательность ( а_n) арифметическая прогрессия. Найдите сумму ее шести членов  а₂=17, а₅=65
3. Найдите сумму всех нечетных натуральных двузначных чисел
4. Последовательность ( а_n) арифметическая прогрессия. Найдите  сумму первых  пяти ее членов если а₁=8, а₃=18.