Урок "Отбор корней при решении тригонометрических уравнений"

УРОК ОТКРЫТИЕ НОВОГО ЗНАНИЯ

«ОТБОР КОРНЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

10 КЛАСС

(видеотрансляция урока при апробации

модели уровневой оценки компетенций учителей в Ленинградской области)

Учитель Бруханская Елена Александровна

     Цель: научиться  выбирать корни тригонометрических уравнений из заданного промежутка разными способами; определить наиболее оптимальный метод отбора корней  с наименьшей затратой времени.

     Добрый день! Садитесь, пожалуйста! Если вы готовы, то я начну урок.

     Готовы? Хорошо.

     За то время, в течение которого мы изучаем тригонометрию, вы узнали пока не все, но уже многое. И венцом процесса познания для вас является возможность применять полученные знания при решении уравнений. Это, действительно, венец, ведь, по словам английского физика  Оливера Лоджа «Уравнение представляет собой наиболее серьёзную и важную вещь в математике». Понятно, что для того, чтобы перейти на следующий этап, вы должны демонстрировать уверенные навыки решения уравнений. Я предлагаю убедиться в вашей готовности.

     Уравнение перед вами, внимательно посмотрите на него.

     Обсудим алгоритм его решения.

ОТВЕТЫ УЧЕНИКОВ

1) Применить формулы приведения.

2) Применить основное тригонометрическое тождество.

3) Решить квадратное уравнение.

4) Решить простейшее тригонометрическое уравнение sinx = a.

     Да, все верно. Кто готов записать решение на доске? «Маша», пожалуйста, выходи.

     Кто уверен в своих силах, можете решать уравнение самостоятельно, ответы мы обязательно обсудим. Если кому-то нужна помощь – решайте уравнение с нами.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ НА ДОСКЕ

Ответ.

     «Маша» готова, хорошо. Посмотрите, пожалуйста, на доску. Есть ли у вас какие-нибудь вопросы к Клаве по решению? У всех получился такой ответ?

     Тогда продолжим. Сегодня вас ждут открытия. Вам для этого понадобятся силы и умение сосредоточиться. Предлагаю настроиться. Закройте, пожалуйста, глаза. Расслабьтесь и представьте, что у вас над головой висит знак бесконечности, как символ гармонии. Я досчитаю до пяти, вы откроете глаза, и мы продолжим.

     Как я уже сказала, сейчас вы находитесь в самом начале пути, мы только начинаем знакомиться с миром тригонометрических уравнений. Но даже сейчас вы сможете справиться с более интересной задачей, нежели просто «решить уравнение».

     Как вам известно, тригонометрические уравнения обычно имеют серии решений, задаваемые с помощью параметра, принимающего целые значения.  Поэтому вполне закономерно, что нас могут интересовать более конкретные вопросы, связанные с корнями.

     Например, я могу попросить вас найти корень уравнения при n = 4 или найти наибольший отрицательный корень этого уравнения или узнать, является ли, например, число  корнем данного уравнения

      Предлагаю ответить на эти вопросы, это поможет вам самостоятельно сформулировать тему сегодняшнего урока.

     Итак, чему равен корень данного уравнения при n = 4?

Ответ учеников. .

     Следующий вопрос: чему равен  его наибольший отрицательный корень?

Ответ учеников. .

     Как ты это нашел?
Ответ учеников. С помощью тригонометрической окружности.

     Есть другие предложения?
Ответ учеников. Можно составить неравенство и решить его относительно целочисленного параметра n .

     Хорошо, и, наконец, узнайте, является ли число корнем данного уравнения?

Ответ учеников. Да, является.

     Хорошо, молодцы. Вы продемонстрировали умение работать с серией корней тригонометрического уравнения, что дает вам возможность решить новую задачу, которая и легла в основу сегодняшней нашей встречи.  Я полагаю, что уже вы готовы сформулировать тему урока. Какие будут соображения?

ОТВЕТЫ УЧЕНИКОВ

     Решение тригонометрических уравнений и выбор корней.

     Итак, тема урока «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений».

НАПИСАТЬ НА ДОСКЕ «ОТБОР КОРНЕЙ»

     И в соответствии с темой урока основная ваша цель найти РАЗЛИЧНЫЕ способы отбора корней. Я вам в этом обязательно помогу. И я надеюсь, что вы проявите живой интерес к математике и «откроете» новое знание.

     Кроме этого, каждый из вас, может сформулировать для себя одну или две личностные цели. Например, научиться  выполнять математические операции, совершенствовать умение точно и грамотно излагать свои мысли или получить хорошую отметку. Выберите для себя цель и постарайтесь поработать на нее в течение всего урока. И помните, что вы можете пойти тремя путями:

• путём опыта – но это самый горький путь;
• путём подражания – и это самый лёгкий путь;
• путём размышления – а это самый благородный путь.

     Итак, отбор корней. Впоследствии необходимость отбора корней может быть связана с различными ситуациями, такими, например, как:

     - уравнения, в которых одна серия корней входит в другую;

     - уравнения, в которых необходимо выполнить отбор корней в соответствии с областью допустимых значений переменной уравнения;

     - уравнения, в ходе преобразования которых вы получите не равносильные уравнения, а уравнения-следствия, рискуя тем самым натолкнуться на посторонние корни.

     Все эти ситуации будут возникать естественным путем. Очень скоро мы будем говорить об этом более подробно.

     Я же сегодня смоделирую ситуацию, в которой  необходимо выполнить отбор корней, удовлетворяющих некоторому искусственно созданному условию, а именно найти корни уравнения, принадлежащие отрезку .

     Таким образом, перед вами возникла новая задача, о которой вы услышали впервые. Подумайте, какие приемы для выполнения ЭТОГО задания вы могли бы предложить?

     Я дам вам немного времени, вы можете совещаться с соседом по парте, а я пока подготовлю доску к работе.

     Готовы? Есть предложения?

     Наводящие вопросы:

     1) Понимая, что серия корней – это бесконечный набор чисел, каждое из которых зависит от значения целочисленного параметра n. Можете ли вы назвать хотя бы два  числа, которые являются корнями данного уравнения?

Ученики перебирают значения n, называют числа ,  ,

     Вы нашли несколько корней уравнения. Какой-нибудь из них принадлежит отрезку?

Как можно назвать прием, который вы использовали?

ПЕРЕБОР.

     Да, это и есть один из возможных приемов, позволяющих произвести отбор корней, этот прием называется АРФМЕТИЧЕСКИМ. Но вы должны понимать, что в этом случае вам необходимо убедиться в том, что ни при каких других значениях параметра полученные числа не будут входить в заданный промежуток.

n = 0    

n = 1 

n = 2

     В данном случае это n = 0 и n = 2. Понятно, что дальнейший перебор не имеет смысла.

2) Для того, чтобы ответить, какие корни принадлежат указанному отрезку, предлагаю переформулировать вопрос, сделать его знакомым.

Назовите числа, принадлежащие данной серии, большие или равные, чем  и не превосходящие .

Как можно записать это условие на математическом языке?

Ответ учеников. С помощью двойного неравенства.

Этот прием называется АЛГЕБРАИЧЕСКИМ

3) Как при решении тригонометрического уравнения мы иллюстрируем множество его корней?

Ответ учеников. С помощью тригонометрической окружности.

     Т. е. тригонометрическая окружность может дать наглядное представление о том, какие числа лежат в указанном промежутке. Этот способ является ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ

4) Но помимо иллюстрации с помощью тригонометрической окружности можно воспользоваться иллюстрацией с помощью числовой прямой. Это становится понятным, если вспомнить аналогии, которые мы использовали при введении системы координат, связанной с тригонометрической окружностью.

Выслушать ответы учеников. Рассмотреть все предложенные варианты для решенного уравнения.

     Итак, при отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений обычно используют один из следующих способов:

Арифметический способ:

перебор целочисленного параметра, выбор значений, удовлетворяющих условию задачи

Алгебраический способ:

решение двойного неравенства в соответствии с указанными условиями и вычисление корней;

Геометрический способ:

Для иллюстрации решения простейших тригонометрических уравнений мы можем использовать две модели: в первом случаи изображения решений связано с числовой окружностью, во втором - с числовой прямой.

а) изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений;

б) изображение корней на числовой прямой с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений.

Функционально-графический способ: выбор корней с помощью графика простейшей тригонометрической функции.

     Вы можете использовать любой из этих приемов, тот, который ближе именно вам. Но мне хотелось бы, чтобы вы в равной степени владели ими всеми и применяли тот, который окажется рациональным для  данного конкретного случая.

     Дома вам нужно будет выполнить отбор корней всеми перечисленным сегодня способами и выдвинуть гипотезу относительно того, в каком случае и какой из них оказался самым удобным. Все эти нюансы мы обязательно обсудим с вами на следующем уроке, а пока я благодарю вас за работу. Сегодня у нас состоялся самый важный первый урок по новой теме - урок «открытия» нового знания! Вы знаете, что главное на таком уроке – это понимание смысла новых понятий и осознанное применение имеющихся знаний и опыта, Поэтому в журнал я выставлю только отличные и хорошие отметки.

     Вы – молодцы, я вас люблю)

Вывод: арифметический способ не требует от учащихся каких-то специальных  умений, требуется лишь уверенное владение таблицей значений тригонометрических функций и формулами приведения. Однако он не очень удобен в случае, если вычисления достаточно громоздкие.

Вывод: Тригонометрическую окружность удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит .

Вывод: алгебраический способ наиболее эффективен когда промежуток для отбора корней достаточно большой и применение арифметического способа приводит к сложным и объемным вычислениям, а геометрический - к громоздким  построениям.

     А теперь я попрошу вас ответить на несколько вопросов:

РЕФЛЕКСИЯ

(продолжите имеющиеся фразы)

1. Я узнал _________________________________________________________

__________________________________________________________________

и мне захотелось ___________________________________________________.

2. Мне удалось понять_______________________________________________

__________________________________________________________________,

теперь я умею ______________________________________________________

__________________________________________________________________.

3. Самым интересным в процессе работы было __________________________

__________________________________________________________________.

4. Я хочу (не хочу) продолжить работу над этой темой___________________.

5. Мне было (интересно, неинтересно) ________________________________.

Краткое описание документа:

По словам английского физика Оливера Лоджа «Уравнение представляет собой наиболее серьёзную и важную вещь в математике».

Тригонометрические уравнения обычно имеют серии решений, задаваемые с помощью параметра, принимающего целые значения. Поэтому вполне закономерно, что нас могут интересовать более конкретные вопросы, связанные с корнями.

Необходимость отбора корней может быть связана с различными ситуациями, такими, например, как:

- уравнения, в которых одна серия корней входит в другую;

- уравнения, в которых необходимо выполнить отбор корней в соответствии с областью допустимых значений переменной уравнения;

- уравнения, в ходе преобразования которых вы получите не равносильные уравнения, а уравнения-следствия, рискуя тем самым натолкнуться на посторонние корни.