Урок по алгебре для 9 класса по теме: «Последовательности и способы их задания»

Урок по алгебре для 9 класса по теме: «Последовательности и способы их задания»

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом (первый урок по теме)

Цели урока:

-          формирование представления о числовой последовательности как функции с натуральным аргументом;

-          формирование знаний о способах задания числовых последовательностей, умений находить члены последовательности по предложенной формуле, а также умений находить саму формулу, задающую последовательность;

-          развитие умений применять ранее изученный материал;

-          развитие умений анализировать, сравнивать, обобщать;

-          воспитание умений работать в паре, оценивать себя.

Оборудование: медиапроектор, раздаточный материал, кодоскоп, набор прозрачных пленок с заданиями, презентация

Ход урока:

1. Организационный момент.
2. Подготовка к восприятию новых знаний.

Учащимся предлагается устно решить 2 задачи (слайд 2):

Задача № 1: На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля на складе будет в 1 день? 2 день? 3 день? 4 день? 5 день?

Задача № 2: При свободном падении тело проходит в первую секунду 4,9 м, и в каждую следующую на 9,8 м больше. Какое расстояние будет пройдено падающим телом за 1 сек? 2 сек? 3 сек? 4 сек? 5 сек?

Задаются вопросы к задачам :

к задаче 1: Сколько угля будет на складе на 35 день?

к задаче 2: Какое расстояние будет пройдено телом за 35 сек?

Для решения поставленных проблем, рассматриваем ответы к задачам как последовательность чисел, то есть числовые последовательности. 

Ставится цель урока: Найти способы нахождения любого члена последовательности.

Задачи урока: Выяснить, что такое числовая последовательность и как задаются последовательности.(слайд 3)

3. Изучение нового материала.

1. Введение определения числовой последовательности.

Вводятся обозначения: y₁,y₂,y₃,y₄,y₅,… - члены последовательности; 1,2,3,4,5,… - порядковый номер члена последовательности; (y₂) – сама числовая последовательность

В ходе беседы определяем понятие числовой последовательности.

Наводящие вопросы: Зная номер члена последовательности можем найти сам член последовательности? А наоборот? Как называются такие зависимости? Какой аргумент? Какое значение функции? Какая область определения?

Учащиеся записывают определение: Числовая последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел. (слайд 4)

Устно решаем задания (слайд 4)

Вывод (слайд 4) формулируется совместно с детьми

2. Определение способов задания последовательностей. (слайд 5)

Напоминается, что функция считается заданной, если определено правило, по которому любому аргументу ставится в соответствие значение функции.

Совместно формулируется (а затем, записывается)  условие задания числовой последовательности: Числовая последовательность считается заданной, если указан способ, позволяющий найти член последовательности любого номера.

В ходе беседы вспоминаем способы задания функций (словесный, графический, формулой (сообщается, что он называется аналитический)), их суть.

А) Словесный способ.(слайд 6)

Учащиеся записывают название способа и его суть в таблицу №1.

Таблица №1                           Способы задания числовой последовательности:

Способ
Пример

Описать словами способ получения каждого члена последовательности или задать несколько первых членов последовательности.

В таблицу №1 записываются словесные задания двух последовательностей:

      Последовательность 1. (y_n) – последовательность натуральных чисел, кратных 3.

      Последовательность 2. (y_n) – последовательность четных натуральных чисел.

Задание: Записать первые 5 членов последовательности. (Наводящие вопросы: что такое кратные 3, какие числа считаются четными). (Вызываются к доске 2 ученика)

Приведите свои примеры (устно).

Б) Графический способ. (слайд 7)

Учащиеся записывают название способа и его суть в таблицу №1.

Построить множество точек (n; y_n)

Задание: Задать графически Последовательность 1 и 2 (два ученика на доске на готовой координатной плоскости, остальные в таблице №1)

В) Аналитический способ. (слайд 8)

Учащиеся записывают название способа и его суть в таблицу №1.

Указать формулу n- го члена последовательности.

Задание: 1. Последовательность задана формулой: . Запишите первые 5 членов последовательности. (По одному ученику у доски с полным объяснением, остальные в тетради)

2. Задайте формулу n-го члена Последовательности 1 и 2 (проговариваем устно, записывают в таблицу №1)

     Г) Рекуррентный способ. (слайд 9)

3. Задайте формулу n-го члена последовательности …, 74, 81, 88, 95, 102, …

А можно найти следующий член последовательности? А дальше? (Наводящий вопрос как из 74 получить 81, из 81 получить 88)

Вывод: Если будем знать n-1 член последовательности, то можно будет найти и n-ный.

Такой способ задания последовательности называется рекуррентным.

(К способам задания последовательностей добавляется рекуррентный)

В нашем примере y_n =y_n-1 + 7

Задание:

Каких данных нам для этого не хватает? А если последовательность задана формулой

y_n = y_n-1 + y_n-2?

Вывод: Для рекуррентного задания последовательности необходимо:

                                                           1) знать один или два первых члена последовательности

                                                           2) указать правило для вычисления следующих членов

                                                               последовательности

Учащиеся записывают название способа и его суть в таблицу №1. (слайд 10)

Выразить каждый член последовательности, начиная со 2-го (или 3-го) через предыдущие.

Задание: 1. Последовательность задана рекуррентно y₁ =2,  y_n =5y_n-1 Укажите первые 5 членов последовательности. (По одному ученику у доски с полным объяснением, остальные в тетради)

                  2. Задайте рекуррентно Последовательности 1 и 2 (проговариваем устно, записывают в таблицу №1)

Промежуточный итог (слайд 11): Мы получили 4 способа задания числовых последовательностей. Они представлены на доске и в таблице №1. Наиболее ценными для решения практических задач являются 2 последних способа: аналитический и рекуррентный. И мы сейчас поработаем с этими способами.

 

 4. Первичное осмысление и закрепление материала

 Инструкция: Перед Вами таблицы 2 и 3.

Таблица № 2: Аналитический способ       Задание: Заполнить таблицу

x1, x2, x3, x4, x5	хn	Решение:
		x1=         x2= x3=	x4= x5=

Таблица № 3: Рекуррентный способ       Задание: Заполнить таблицу

x1, x2, x3, x4, x5	х1, х2, хn	Решение:
		x1=         x2= x3=	x4= x5=

 В таблице представлен аналитический способ, в таблице 3 – рекуррентный. Задание в 1 и 2 строчках этих таблиц: по данным формулам задать первые 5 членов последовательности. Задание в 3 и 4 строчках этих таблиц: по первым членам последовательности задать соответствующую формулу.

Это задание уже не тривиально, оно требует определенной смекалки.

Над заданиями учащиеся работают в парах.

Первым парам, выполнившим задание, раздаются прозрачные пленки с заданием, куда они вписывают свои ответы.

Проверяются решения с помощью кодоскопа.

5. Первичный контроль усвоения знаний (самостоятельная работа с последующей самопроверкой)

Инструкция: Возьмите листы с таблицей №5. (слайд 12) (Учащимся таблица раздается в распечатанном виде)

Подпишите их. Задание в 1 и 2 строчках этих таблиц: по данным формулам задать первые 5 членов последовательности. Задание в 3 и 4 строчках этих таблиц: по первым членам последовательности задать соответствующую формулу.

Задания выполняются самостоятельно. После выполнения, проверяем решения.

Проверяются решения с помощью кодоскопа (ответы на слайде 13).

 Критерии оценки: 4 «+» оценка «5»; 3  «+» оценка «4»; 2  «+» оценка «3»

Инструкция по проверке и оцениванию: Перед Вами ответы к заданиям. Сравните их с Вашими результатами. Если правильно, то поставьте «+», если нет, то «-». Затем посчитайте количество «+» и поставьте себе отметку в соответствии с теми критериями, которые у Вас записаны под таблицей. Если Вы хотите, чтобы полученная отметка была выставлена в журнал, то в скобках, рядом с оценкой запишите «в журнал».

6. Подведение итогов урока

Обращается внимание на последние 2 сточки в таблице5. Это последовательности к задачам начала урока. Напоминаются вопросы задач. Находим ответ на поставленные проблемы (спрашиваются 2 учащихся).(слайд 14)

Фронтальным опросом вместе с учащимися делаются выводы урока (слайд 15)