Урок по теме "Формулы сокращенного умножения" (7 класс)

Урок по теме «Формулы сокращенного умножения вида аᶰ+вᶰ, аᶰ-вᶰ, где n- натуральное число»

Учитель математики МОБУ Гимназия №14 города Белорецк Республики Башкортостан Фахретдинова Н.И.

Тема: «Формулы сокращенного умножения вида аᶰ+вᶰ, аᶰ-вᶰ, где n- натуральное число»

Задачи урока:

1.      Знакомство, вывод основных формул сокращенного умножения ( с учетом дифференцированного подхода обобщить основные формулы для n-ых степеней),

2.      Выработка у учащихся умения применять формулы сокращенного умножения для преобразования целых выражений в многочлены и для разложения многочленов на множители,

3.      Развитие логического мышления.

Ход урока.

1.Проверка домашнего задания. «Математическая эстафета».

Класс разделен на две команды.  Задание : Привести к многочлену стандартного вида выражения

А) (2х+у)²;

Б) (а-7в)²;

В) (а+в+с)²;

Г) (m+n+2t+1)²;

Д) (а+в)³.

2. Новый материал в виде лекции с элементами эвристической беседы.

Мы изучили ранее формулы сокращенного умножения вида (а+в)²=а²+2ав+в² и (а+в)³=а³+3а²в+3ав²+в³ и т.д. с применением треугольника Паскаля.

Рассмотрим следующий вид формул : аᶰ+вᶰ, где n- натуральное число.

Рассмотрим многочлен х²-1.Как разложить его на множители?

Ученик: По теореме Безу целые корни находятся среди делителей свободного члена. Данный многочлен должен разделиться без остатка на х-1.

Тогда х²-1=(х-1)(х+1).

Учитель: Пусть х=а/в. Тогда после преобразований мы получим, что а²-в²=(а-в)(а+в).

Дадим словесную формулировку этого тождества.

Ученик: Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.

Задание: Вычислить 98*102.

Ученик выполняет у доски: 98*102=(100-2)(100+2)=1000-4=9996.

Учитель: Эту формулу применяют и в другом виде (а-в)(а+в)=а²-в².

Ученик выполняет на доске: (а-в)(а+в)=а²+ав-ав+в²=а²-в².

Учитель: Рассмотрим геометрический смысл доказанного тождества. Возьмем квадрат со стороной а и прямоугольник со сторонами а-в и а+в. Наложив прямоугольник на квадрат, отрежем «лишнюю часть» прямоугольника и тоже наложим на квадрат. Теперь легко видеть, что оставшаяся часть квадрата есть тоже квадрат со стороной в.

Ученик: Значит, если одну сторону а любого квадрата уменьшить на в единиц, одновременно другую сторону увеличить на столько же единиц, то площадь полученного прямоугольника меньше площади первоначального квадрата на в².

Учитель: Рассмотрим частный случай (а-1)(а+1)=а²-1, т.к. в нем заключено интересное геометрическое обобщение.

Ученик: Если одну сторону любого квадрата уменьшить на единицу,а другую увеличить на единицу, то площадь новой фигуры станет на одну квадратную единицу меньше площади первоначального квадрата.

Учитель: Имеются два садовых участка размерами 100*100 и 60*40.Сколько понадобится проволоки для их ограждения и что можно сказать о площадях участков?

Ученик: Р1=400 и Р2=400, т.е. периметры участков равны. А площадь первого участка больше площади второго.

Учитель: Вывод: из всех прямоугольников заданного периметра наибольшую площадь имеет квадрат.

Как разложить на множители выражение а²+в²?

Ученик: Рассмотрим многочлен х²+1. Он действительных корней не имеет. Значит, на множители не раскладывается.

Учитель: Действительно, для суммы квадратов разложения на множители не существует.

Рассмотрим многочлен х³-1. Его можно разложить на множители х³-1=(х-1)(х²+х+1). Аналогично х³+1=(х+1)(х²-х+1).

Пусть х=а/в. Получим формулы а³-в³=(а-в)(а²+ав+в²) и а³+в³=(а+в)(а²-ав+в²). Обратим внимание на вторые скобки. Это неполные квадраты суммы и разности.

Увеличим степень и выведем формулы для высоких степеней.

Обобщим и получим разложения для аᶰ+вᶰ и аᶰ-вᶰ, где n-натуральное число. Обратите внимание, что знаки во второй скобке чередуются.

Итак, вывод: методом неполной математической индукции мы получили обобщенные формулы для разложения на множители выражений вида аᶰ+вᶰ и аᶰ-вᶰ, где n-натуральное число.

На следующих уроках мы рассмотрим применение этих формул для решения задач на тождественные преобразования, задач на делимость, неравенства. Спасибо за урок.