Урок по теме "Перестановки", 9 класс

План урока №…

Дисциплина: Алгебра

Тема: Перестановки

Класс: 9 а

Дата проведения:__________

Цель урока: обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание темы «Перестановки»

—  образовательные - формировать умение решать комбинаторные задачи, которые сводятся к подсчету всевозможных вариантов перестановок элементов, знакомство с действием «факториал»

—  развивающие - развивать мыслительную деятельность учащихся, самостоятельность при решении заданий по теме; развивать умения сравнивать, сопоставлять, обобщать, выявлять закономерности;

—  воспитательные - воспитать умение выделять наиболее существенные моменты при выборе способа решения задачи; умения делать логические выводы из сравнения и анализа условий задач; прививать учащимся интерес к предмету посредствам применения информационных технологий, решения практических задач; показ тесной связи математики с физикой, расширение кругозора обучающихся.

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Оборудование: ПК, учебник, задачник, раздаточный материал

План урока:

       I.            Организационный момент

    II.            Актуализация знаний учащихся

 III.            Изучение нового материала

 IV.            Осмысление учебного материала

    V.            Подведение итогов урока

Домашнее задание

Ход урока

       I.            Организационный момент

а)  сформулировать цели урока

б) записать тему урока

    II.            Актуализация знаний  учащихся

1) контроль знаний

-Какие задачи называются комбинаторными?

Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными

- Что такое комбинаторика ?

     Раздел математики, в котором рассматривается решение комбинаторных задач

- С какими способами решения комбинаторных задач мы познакомились на прошлом уроке?

Метод перебора,   Дерево вариантов,    Правило умножения

- В чем состоит правило умножения при решении комбинаторных задач?

Пусть имеется А способов выполнить одно действие и В способов выполнить другое действие. Пусть даже эти действия независимые между собой.  Чтобы найти число способов выполнить все действия нужно     А·В

2) решить задачи совместно с учителем

Задача 1.  В кружке 6 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту кружка и его заместителя?

Решение:

     Первый может быть староста, а второй        заместитель.

     Второй может быть  заместитель, а первый староста.

     Порядок важен. Используем правило умножения.

     Выбор старосты  - 6 вариантов.

     Выбор заместителя – 6-1 =5 вариантов.

     По правилу умножения: 6·5=30 способов.       Ответ: 30

Задача 2. Сколько существует пятизначных чисел, на третьей позиции которого стоит цифра 3

   Решение:                

 Цифр в числе 10

 Вариантов выбора первой цифры – 9 (0 на первом месте стоять не может)

 Вариантов выбора второй цифры – 10

 На третьей позиции фиксированная цифра – 3, вариант выбора – 1

 Вариантов выбора четвертой цифры -  10

 Вариантов выбора пятой цифры – 10

 По правилу умножения: 9·10·1·10·10 = 9000 вариантов            Ответ: 9000

Задача 3.  Сколько существует пятизначных чисел, на конце которых стоит четная цифра?

Цифр в числе 10

 Вариантов выбора первой цифры – 9 ( 0 на первом месте стоять не может)

 Вариантов выбора второй цифры – 10

 Вариантов выбора третий цифры - 10

 Вариантов выбора четвертой цифры -  10

 Вариантов выбора пятой цифры – 5 (существует только пять четных цифр)

 По правилу умножения: 9·10·10·10·5 = 45000 вариантов         Ответ: 4500

 III.            Изучение  нового материала

Существует  много комбинаторных задач, в которых рассматриваются ситуации выбора. Однако, несмотря на все разнообразие комбинаторных задач, можно выделить среди них группу однотипных, и именно поэтому такие задачи можно объединить в отдельные группы.

Задачи, в которых дается какое-то количество элементов и требуется посчитать число всевозможных перестановок, называются задачами на перестановки. Такие задачи решаются с помощью комбинаторного правила умножения.

Задача 1    В семье -  шесть человек, а за столом в кухне – шесть стульев. Было решено каждый вечер перед ужином, рассаживаться на эти стулья по – новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений?

Для удобства рассуждений пронумеруем стулья №1, №2, №3, №4, №5, №6 и будем считать, что члены семьи (бабушка, дедушка, мама, папа, дочь, сын) занимают места по очереди. В этой задаче нас будет интересовать, сколько существует различных способов рассаживания

   Если первой садится

бабушка, то у нее – 6 вариантов выбора
У дедушки – 5 вариантов,
У мамы – 4 варианта
У папы – 3 варианта
У дочери -  2 варианта
У сына – 1 вариант

По комбинаторному правилу умножения

 получаем, что всего имеется

     6·5·4·3·2·1=720 различных способов                  Ответ: 720

Задача 2 Сколькими  способами 5 человек могут занять очередь в железнодорожную кассу?

                   5·4·3·2·1 = 120 способов                       Ответ: 120

Вывод   Пусть мы имеем  n вариантов.  На первое место можно поставить любой из них. На второе место можно поставить один из оставшихся  (n – 1) элементов, на третье место можно поставить  (n – 2) из оставшихся элементов и т.д. В результате получим:

    n·(n – 1)· (n – 2)·…·3·2·1 = n!

Определение: Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! и называют «эн факториал»

Число всех перестановок из n элементов обозначают символом  Р_n (читается «P из n»).

Записывают в виде формулы       Р_n = n!

! – произведение     Р – перестановки

                         n – количество элементов

  «Эн факториал»  в переводе с английского переводится как «состоящий из n множителей».

Особенность всех задач на перестановки заключается в том, что n различных элементов можно расставить по одному

на n различных мест в определенном порядке

 IV.            Осмысление учебного  материала

Задачи решаются самостоятельно, с последующим обсуждением:

Задача 3 Из цифр 0, 2, 4 и 5 образованы четырехзначные числа. Найдите количество  всех таких чисел, если в них нет одинаковых цифр.

Так как мы имеем дело в данной задаче с перестановками, то всего из четырех цифр можно составить Р₄ перестановок. Но цифра 0 на первом месте стоять не может. Чисел, которые можно образовать из трех оставшихся будет Р₃. Значит всего четырехзначных чисел, отвечающих условию задачи, будет

                          Р₄  - Р₃ = 4! – 3! =

                          24 – 6 = 18

                                                         Ответ 18.

Задача 4 Сколько вариантов расписания уроков возможно составить, если в день шесть уроков: математика, русский язык, география, биология, физкультура, информатика, если:

а) урок математики должен быть только первым?

Так как урок математики должен быть только первым, для остальных уроков остаются варианты расписания только из пяти предметов, т.е 

          P₅ = 5! = 1*2*3*4*5 = 120 способов

                                                Ответ: 120

б) урок физкультуры не может быть первым?

Так как урок физкультуры не может быть первым, то из всего количества всех вариантов уроков необходимо исключить случаи, когда урок проходит первым

      P₆ -  P₅ = 6! – 5! =720 – 120 = 600 способов             Ответ: 600

в) урок русского языка не может быть ни первым, ни шестым?

Так как русский язык не может быть ни первым, ни шестым, то эти случаи необходимо исключить:

                 P₆ - 2 P₅ = 6! – 2*5! =

                 = 720 – 240 = 480 способов                           Ответ : 480

г) урок биологии может быть или четвертым, или шестым?

Так как урок биологии можно проводить или на четвертом, или на шестом уроке, то на четвертом уроке он может быть проведен в 5! вариантах, и на шестом уроке биология может быть проведена 5! случаях. Итого          2*5! = 2*120 = 240 способов

                                     Ответ: 240

д) урок математики и урок информатики должны стоять рядом

Так как уроки математики и информатики должны стоять рядом, то будем считать пару информатика – математика как один предмет. Тогда из пяти получившихся предметов можно составить только 5! вариантов расписания. Но двухэлементное множество (математика-информатика) можно упорядочить только 2! способами. Значит, общее количество вариантов будет в 2! раза больше.

2! * 5! = 240 способов

                                                            Ответ: 240

    V.            Подведение итогов урока

·         Что сегодня на уроке мы повторили?

·         Что показалось наиболее интересным?

·         Чему научились?

·         Для чего вы это делали?

·         Может ли нам комбинаторика помочь в реальной жизни?

·         Что такое «перестановки»?

·         Какие из задач оказались наиболее трудными?

·         В чем состоит особенность задач на перестановки?

·         Как решаются задачи на перестановки?

·         Сколько можно составить перестановок из трех элементов?

Сегодня вы еще больше убедились, как важно уметь применять полученные знания, ведь они вам нужны будут и в повседневной жизни и на выпускных экзаменах.

Домашнее задание   §18, №18.17, 18.21