Урок по теме: "Степенная функция"

Степенная функция

Степенная функция с натуральным нечетным показателем, p = n = 1, 3, 5, ...

Рассмотрим степенную функцию   y = x ^p = x ⁿ   с натуральным нечетным показателем степени n = 1, 3, 5, .... Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k + 1, где k = 0, 1, 2, 3, ... – целое не отрицательное. Ниже представлены свойства и графики таких функций.

График степенной функции   y = x ⁿ   с натуральным нечетным показателем при различных значениях показателя степени n = 1, 3, 5, ....

Область определения:   –∞ < x < ∞
Множество значений:   –∞ < y < ∞
Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность:   монотонно возрастает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:
при   –∞ < x < 0 выпукла вверх
при   0 < x < ∞ выпукла вниз
Точки перегибов:   x = 0,   y = 0
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0

Степенная функция с натуральным четным показателем, p = n = 2, 4, 6, ...

Рассмотрим степенную функцию   y = x ^p = x ⁿ   с натуральным четным показателем степени n = 2, 4, 6, .... Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k, где k = 1, 2, 3, ... – натуральное. Свойства и графики таких функций даны ниже.

График степенной функции   y = x ⁿ   с натуральным четным показателем при различных значениях показателя степени n = 2, 4, 6, ....

Область определения:   –∞ < x < ∞
Множество значений:   0 ≤ y < ∞
Четность:   четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x ≤ 0 монотонно убывает
при x ≥ 0 монотонно возрастает
Экстремумы:   минимум,   x = 0,   y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0

Степенная функция с целым отрицательным показателем, p = n = -1, -2, -3,..

Рассмотрим степенную функцию   y = x ^p = x ⁿ   с целым отрицательным показателем степени n = -1, -2, -3, .... Если положить n = –k, где k = 1, 2, 3, ... – натуральное, то ее можно представить в виде:

График степенной функции   y = x ⁿ   с целым отрицательным показателем при различных значениях показателя степени n = -1, -2, -3, ....

Нечетный показатель, n = -1, -3, -5, ...

Ниже представлены свойства функции y = x ⁿ с нечетным отрицательным показателем n = -1, -3, -5, ....

Область определения:   x ≠ 0
Множество значений:   y ≠ 0
Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:
при x < 0:   выпукла вверх
при x > 0:   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   нет
Знак:
при x < 0,   y < 0
при x > 0,   y > 0

Четный показатель, n = -2, -4, -6, ...

Ниже представлены свойства функции y = x ⁿ с четным отрицательным показателем n = -2, -4, -6, ....

Область определения:   x ≠ 0
Множество значений:   y > 0
Четность:   четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0:   монотонно возрастает
при x > 0:   монотонно убывает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   нет
Знак:   y > 0

Степенная функция с рациональным (дробным) показателем

Показатель p отрицательный, p < 0

Пусть рациональный показатель степени (с нечетным знаменателем m = 3, 5, 7, ... ) меньше нуля: .

Графики степенных функций      с рациональным отрицательным показателем при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Нечетный числитель, n = -1, -3, -5, ...

Приводим свойства степенной функции y = x ^p с рациональным отрицательным показателем   ,   где n = -1, -3, -5, ... - нечетное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область определения:   x ≠ 0
Множество значений:   y ≠ 0
Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:
при x < 0:   выпукла вверх
при x > 0:   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   нет
Знак:
при x < 0,   y < 0
при x > 0,   y > 0

Четный числитель, n = -2, -4, -6, ...

Свойства степенной функции y = x ^p с рациональным отрицательным показателем   ,   где n = -2, -4, -6, ... - четное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область определения:   x ≠ 0
Множество значений:   y > 0
Четность:   четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0:   монотонно возрастает
при x > 0:   монотонно убывает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   нет
Знак:   y > 0

Показатель p положительный, меньше единицы, 0 < p < 1

График степенной функции      с рациональным показателем (0 < p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Нечетный числитель, n = 1, 3, 5, ...

Представлены свойства степенной функции   y = x ^p   с рациональным показателем   ,   находящимся в пределах 0 < p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область определения:   –∞ < x < +∞
Множество значений:   –∞ < y < +∞
Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:
при x < 0:   выпукла вниз
при x > 0:   выпукла вверх
Точки перегибов:   x = 0,   y = 0
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Знак:
при x < 0,   y < 0
при x > 0,   y > 0

Четный числитель, n = 2, 4, 6, ...

Представлены свойства степенной функции y = x ^p с рациональным показателем   ,   находящимся в пределах 0 < p < 1, где n = 2, 4, 6, ... – четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... – нечетное натуральное.

Область определения:   –∞ < x < +∞
Множество значений:   0 ≤ y < +∞
Четность:   четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0:   монотонно убывает
при x > 0:   монотонно возрастает
Экстремумы:   минимум при x = 0,   y = 0
Выпуклость: выпукла вверх при x ≠ 0
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Знак:   при x ≠ 0,   y > 0

Показатель p больше единицы, p > 1

График степенной функции      с рациональным показателем (p > 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Нечетный числитель, n = 5, 7, 9, ...

Свойства степенной функции   y = x ^p   с рациональным показателем, большим единицы:   .   Где n = 5, 7, 9, ... – нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... – нечетное натуральное.

Область определения:   –∞ < x < ∞
Множество значений:   –∞ < y < ∞
Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность:   монотонно возрастает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:
при   –∞ < x < 0 выпукла вверх
при   0 < x < ∞ выпукла вниз
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0

Четный числитель, n = 4, 6, 8, ...

Свойства степенной функции   y = x ^p   с рациональным показателем, большим единицы:   .   Где n = 4, 6, 8, ... – четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... – нечетное натуральное.

Область определения:   –∞ < x < ∞
Множество значений:   0 ≤ y < ∞
Четность:   четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0 монотонно убывает
при x > 0 монотонно возрастает
Экстремумы:   минимум при   x = 0,   y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0

Знаменатель дробного показателя - четный

Пусть знаменатель дробного показателя степени  четный: m = 2, 4, 6, ... . В этом случае, степенная функция x ^p не определена для отрицательных значений аргумента. Ее свойства совпадают со свойствами степенной функции с иррациональным показателем (см. следующий раздел).

Степенная функция с иррациональным показателем

Рассмотрим степенную функцию   y = x ^p   с иррациональным показателем степени p. Свойства таких функций отличаются от рассмотренных выше тем, что они не определены для отрицательных значений аргумента x. Для положительных значений аргумента, свойства зависят только от величины показателя степени p и не зависят от того, является ли p целым, рациональным или иррациональным.

Графики степенной функции y = x ^p при различных значениях показателя p.

Степенная функция с отрицательным показателем p < 0

Область определения:   x > 0
Множество значений:   y > 0
Монотонность:   монотонно убывает
Выпуклость:   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   нет

Степенная функция с положительным показателем p > 0

Показатель меньше единицы 0 < p < 1

Область определения:   x ≥ 0
Множество значений:   y ≥ 0
Монотонность:   монотонно возрастает
Выпуклость:   выпукла вверх
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0

Показатель больше единицы p > 1

Область определения:   x ≥ 0
Множество значений:   y ≥ 0
Монотонность:   монотонно возрастает
Выпуклость:   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0