Урок систематизации знаний, умений, навыков на тему "Решение квадратных уравнений" (8 класс)

Класс: 8

Тема:  Решение квадратных уравнений

Тип урока: систематизация знаний, умений, навыков.

Цели урока:

• Образовательные: систематизировать знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений и создать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений;

• Развивающие: формировать учебно–познавательные навыки по работе с дополнительным материалом, развивать логическое мышление, внимание;
• Воспитательные: воспитывать интерес к математике, активность, мобильность,  взаимопомощь, умение общаться.

Задачи урока направлены на достижение учащимися:

1)      личностных результатов:

      - уметь хорошо говорить и  легко выражать свои мысли;

- учиться применять свои знания и умения к решению новых проблем.

2)   метапредметных результатов:

      - освоение способов познавательной  деятельности;

      -определение адекватных способов решения учебной задачи на основании заданных алгоритмов;

      -самостоятельное выполнение творческой работы.

3)  информационно-коммуникативных:

      -развитие умений анализировать, аргументировать сделанный выбор;

      -отражение в устной и письменной форме результатов своей деятельности;

      -оценивание своих учебных достижений;

      -работать в группах и индивидуально;

      -владение навыками само- и взаимоконтроля;

      -умение ставить личностные цели и оценивать степень их достижения.

4)  предметных результатов: 

     -решать различными способами квадратные уравнения, а также уравнения, сводящиеся к ним;

     -определять наличие корней квадратных уравнений по дискриминанту и коэффициентам;

     -исследовать квадратные уравнения с буквенными коэффициентами;

     -расширить знания учащихся по теме, ознакомив их с разными способами решения квадратных уравнений.

Оборудование:

1.      Учебник Алгебра 8,  автор Ю.Н. Макарычев.

2.      Карточки, карточки для самооценки.

3.   Техническое оборудование: компьютер, проектор, экран.

                                                     ХОД  УРОКА

I.  Организационный  этап.

ІІ. Проверка домашнего задания.

    1.Устно.

    2. Собрать все тетради с домашним заданием на проверку.

ІІІ. Формулирование темы урока, цели и заданий урока.

       Мотивация учебной деятельности учеников.

       Мотивация обусловлена тем, что этот урок последний перед контрольной работой по

       теме  "Квадратное уравнение и его корни".

        Учащиеся должны знать:

        - определение квадратного уравнения;

        - формулы дискриминанта, корней квадратного уравнения;

        - зависимость между значением дискриминанта и количеством корней квадратного уравнения.

        Учащиеся должны уметь:

        - распознавать квадратные уравнения среди других уравнений;

        - решать неполные квадратные уравнения по формуле корней квадратного уравнения;

        - находить сумму и произведение корней приведенного квадратного уравнения по

          теореме Виета.

IV. Повторение и систематизация знаний учащихся.

      Устные упражнения:

       1. Дайте определение квадратного уравнения.

       2. Приведите примеры приведенного квадратного уравнения.

       3. Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями?

       4. Каков план решения неполного квадратного уравнения вида:

           - ax² = 0

           - ax² + bx = 0

           - ax² + c = 0

        5. Какое выражение называют дискриминантом квадратного уравнения?

        6. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если значение дискриминанта:

             D>0; D<0; D=0?

         7. Как формулируется теорема Виета?

         8. Как формулируется теорема, обратная теореме Виета?

Учащиеся обозначают цели учебной деятельности:

- узнать,  для чего нужны квадратные уравнения, отработать приемы решения квадратных уравнений, отработать навыки решения квадратных уравнений по алгоритму;

- предлагаю вам выбрать личную цель из названных, или сформулировать самим, по своим потребностям или интересам. В конце урока мы проверим, смогли ли вы ее достичь.

На листе самооценки запишите свою личную цель, которую вы бы хотели достигнуть на уроке:

Что я хочу получить от урока:
Я себя оцениваю:
Работа на уроке, ответы с места и у доски	Вычислительные навыки (арифметические операции, извлечение корня)	Оценка за диктант	Оценка за самостоятельную работу	Средний балл

В конце урока отметьте пункт, который вызвал наибольшие затруднения:

◊   Определять вид уравнения

◊   Определять коэффициенты квадратного уравнения

◊   Вычислять дискриминант, определять количество корней

◊   Вычислять корни уравнения по формуле

◊   Решение квадратных уравнений, методом не связанным с формулами.

На электронной доске демонстрируются опорные конспекты.

Опорный конспект № 1

1.   Определение квадратного уравнения.           Уравнение вида  ах2+bх+с=0, где а,b,с – числа, причем а≠0,   называется квадратным уравнением;  а – 1-й коэффициент, b – 2-й коэффициент, с – свободный член этого уравнения.     2.   Виды квадратных уравнений (в зависимости от значения коэффициентов).

Опорный конспект № 2

1)      Если ах² + bx = 0, то следует разложить на множители левую                    часть этого уравнения и воспользоваться условием равенства                    произведения нулю :             2)     Если  ах² + с = 0,  то следует привести это уравнение к виду       ах² = - с       х² = - с / а               х² = А :                                           ах² + с = 0 если   - с / а  > 0 – два корня,    если  - с / а < 0  -  нет корней.          3)     Если ах² = 0 , то  х² = 0,  х = 0 :     ах² = 0                  х = 0   ( один корень)

                                      Опорный конспект № 3

В уравнении  ах² + bx + c = 0         D = b² - 4ac – дискриминант,      который показывает количество (наличие) корней :             1)     если    D < 0,  корней нет ;             2)     если    D = 0,  то один корень (два разных);             3)     если    D > 0,  то два разных корня,  то есть

                                        Опорный конспект № 4

Если в уравнении  ax² + bx + c = 0     (a ≠ 0)   b = 2к (четное число),                                          то D1 = D/4 = к² - ac

                                      Опорный конспект № 5

1.         Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.                        Если   х1  и  х2 – корни уравнения  х² + px + q = 0,                        то   х1 + х2 = - р ;   х1 * х2 = q.           2.          Теорема Виета для неприведенного уравнения.                         Если   х1   и   х2  -  корни уравнения   ах² + bx + c = 0   (a≠0),                         то  х1 + х2 = - b / a;    x1 * х2 = с / а.           3.          Теорема, обратная теореме Виета.                         Если  m  и  n  такие, что  m + n = - p,  а   m *  n = q,  тогда                        m  и    n – корни уравнения  х² +  px + q = 0.

Составьте квадратные уравнения с заданными коэффициентами а, в, с и укажите полные и неполные квадратные уравнения:

№	а	в	с	Уравнение	Полное	Неполное
1	2	0	-18
2	1	-5	-84
3	3	2	0
4	1	-4	4
5	3	0	-12

Заполнить таблицу и сделать вывод о количестве корней квадратного уравнения:

Уравнение	D=b² - 4ас	Количество корней
х² −14х +33=0	D=
х² - 5х + 6=0	D=
-х² −3х +1=0	D=
-х² +х+3=0	D=
-2х²+8х+2=0	D=

Решить устно:

№ 1

Неполные квадратные уравнения
х² - 36 = 0	2х² = 18	х² + 2х = 0
5х² - х = 0	3х² = 0	х² + 16 = 0
1 - х² = 0	2х – 8х² = 0	х² = 4х
0,5х² - 3х = 0	1/2х² = 0,5х	1/3х² = 3

Обратить внимание учащихся, что установить вид уравнения можно лишь после того, как оно записано в виде Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен стандартного вида.

Степенью уравнения называется степень этого многочлена: ах + b = 0, а ≠ 0 – уравне-

ние первой степени; ах² + bx + c = 0, a ≠ 0 – уравнение второй степени.

№ 2

Теорема  Виета

1.     Являются ли числа  х1 и х2 корнями квадратного уравнения                                          1)   х² - 9х = 0  ;        х1 = 2 ;  х2 = 7                                          2)   х² + 2х – 3 = 0 ;  х1 = -1;  х2 = 3            2.      Решить уравнения:                                           1)   х² - х - 20 = 0                                           2)   х² - 2х + 3 = 0                                           3)   х² - 3х -28 = 0

V.     Повторение и систематизация умений учащихся.

Типовыми для этой темы являются задания:

1)   решить неполное квадратное уравнение;

2)   решить квадратное уравнение общего вида;

3)   решить квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом;

4)   решить приведенное квадратное уравнение, используя теорему, обратную теореме  

      Виета;

5)   используя теорему Виета, найти неизвестный коэффициент и корень квадратного

      уравнения.

№ 1       Найдите корни уравнения

                        1)   5х² = 25х

                        2)   100х² - 16 = 0

                        3)   3х² - 11х – 4 = 0

                        4)   х² - 3х + 1 = 0

                        5)   2х² +5х + 9 = х + 2

                        6)   3х² - 2х – 1 = 0

№ 2     Решить уравнение

                        1)   ( х – 4 ) ( 4х + 6 ) = ( х – 5 )²

                        2)   ( 3х² + 6х ) / 2 = 4 – 2х

№ 3     В уравнении  х² + рх – 18 = 0  один из корней равен  -9. 

            Найдите второй корень и коэффициент  р.

№ 4     Найти катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 4 см меньше

            другого, а гипотенуза равна 20 см.

Класс делится на группы.  Каждая группа получает задание.

                        І  -  средний уровень

                        ІІ  -  достаточный уровень

                        ІІІ  -  высокий  уровень

Группы, которые работали с заданиями высокого и достаточного уровня

делегируют представителя для защиты своих решений возле доски.

                        Задания среднего уровня учащиеся показывают учителю и комментируют

на месте.

            I                      2х² - 18 = 0

                                    х² - 5х + 6 = 0

                                    3а² + а – 7 = 0

            II                     2х² = 3х

                                    х² + 7х – 44 = 0

                                    х + 3х² = -11

            III                   ( 2х – 1)² = 1 – 4х

                                    х² + х -72 = 0

                                    -15 = 3х ( 2 – х )

В конце урока биография Виета. Презентация учащихся.

VI.    Рефлексия. Итог урока:                                                                     

- посмотрите на вашу личную цель, достигли ли вы своей цели;

- скажите, чему мы научились, что узнали, что повторили на уроке?

Заполните оценочный лист, поставьте галочку, какое действие при решении квадратных

уравнений вызвало больше всего затруднений.

Учитель интересуется выборочно оценками и удачами нескольких учеников. Ставит оценки.

            1)     Достигнута ли цель урока?

            2)     На какие моменты теории и практики нужно обратить внимание,

                     готовясь к контрольной работе?

            3)     Группы сдают свои работы для оценивания.

            4)     Выставление оценок за урок.

 VII.    Домашнее  задание:

            Повторить определение, классификацию и способы решения квадратных

            уравнений разного вида.

            1.     Решите квадратное уравнение:

                        1)   х² - 7х + 6 = 0;                 2)   х² -6х = 0;

                        3)   6х² + х – 7 = 0;                4)   5х² - 125 = 0.

            2.     При каких значениях  х  выполняется равенство

                        ( х² + 10х ) / 10 – ( 2х + 5 ) / 2 = 20 ?

            3.     Один из корней уравнения  х² + bх – 8 = 0 равен 4. Найдите второй

                  корень и число b.

            4.     Составьте квадратное уравнение, корни которого равны  -1/5 и 2.

            5.     Не решая уравнение 2х² +3х – 13 = 0, найдите значение выражения

                    1/х1² + 1/х2².     

Место квадратных уравнений среди других алгебраических уравнений

У Р А В Н Е Н И Я

Соотношения между разными видами квадратных уравнений

К В А Д Р А Т Н Ы Е           У Р А В Н Е Н И Я