Ошибки, допускаемые обучающимися при решении уравнений и неравенств, самые разнообразные: от неверного оформления решения до ошибок логического характера.
1. Самая типичная ошибка состоит в том, что учащиеся при решении уравнений и неравенств без дополнительных пояснений используют преобразования, нарушающие равносильность, что приводит к потере корней и появлению посторонних корней.
2. Целая группа ошибок, вернее сказать недочетов, состоит в том, что учащиеся не уделяют должного внимания нахождению области определения уравнений, хотя именно она в ряде случаев есть ключ к решению.
3. Типичной ошибкой учащихся является то, что они не владеют на нужном уровне определениями понятий, формулами, формулировками теорем, алгоритмами.
4. Многие ошибки, допускаемые при решении уравнений и неравенств, являются следствием того, что учащиеся очень часто пытаются решать задачи по шаблону, то есть привычным путем.
5. Ряд типичных ошибок связан с тем, что учащиеся не совсем корректно решают уравнения и неравенства на основе функционального подхода. Остановлюсь на типичных ошибки такого рода.
а) Решить уравнение xх = x.
Функция, стоящая в левой части уравнения, – показательно-степенная и раз так, то на основание степени следует наложить такие ограничения: x > 0, x ≠ 1. Прологарифмируем обе части заданного уравнения:
или
Откуда имеем x = 1.
Логарифмирование не привело к сужению области определения исходного уравнения. Но тем не менее произошла потеря двух корней уравнения; непосредственным усмотрением мы находим, что x = 1 и x = –1 являются корнями исходного уравнения.
7. При решении неравенств с помощью подстановки мы всегда сначала решаем новое неравенство относительно новой переменной, и лишь в его решении делаем переход к старой переменной.
Школьники очень часто ошибочно делают обратный переход раньше. Этого делать не следует.
8.Хочу привести пример еще одной ошибки, связанной с решением неравенств.
Решите неравенство
.
Привожу ошибочное решение, которое очень часто предлагают учащиеся.
Возведем обе части исходного неравенства в квадрат. Будем иметь:
,
откуда получаем неверное числовое неравенство , что позволяет сделать вывод: заданное неравенство не имеет решений.
Однако полученный вывод неверен, например, при х = 1000 имеем
, , .
Полученное числовое неравенство верно, а значит х = 1000 является решением.
Значит, заданное неравенство имеет решение, и, следовательно, приведенное выше решение ошибочно.
Привожу правильное решение. Найдем область определения исходного неравенства. Она задается системой
или
откуда .
Ясно, что на интервале (10;1000) нет решений, ибо левая часть заданного неравенства при любом х из этого интервала не имеет смысла.
Рассмотрим два случая.
а) , откуда х > 100. С учетом области определения исходного неравенства имеем промежуток . Для всех х из этого промежутка левая часть исходного неравенства неотрицательна (как значение арифметического квадратного корня), а правая часть – отрицательна. Делаем вывод о том, что – решение заданного неравенства.
б) , откуда . С учетом области определения исходного неравенства имеем промежуток . Для всех х из промежутка имеют смысл обе части неравенства и они имеют неотрицательные значения, значит обе части заданного неравенства мы можем возвести в квадрат. Будем иметь: , откуда . Это неверное числовое неравенство позволяет сделать вывод: значения х из промежутка решениями исходного неравенства не являются.
Ответ: .
9. Типичная ошибка при решении уравнений, неравенств и их систем состоит в том, что неверно преобразовываются выражения.
Большинство ошибок напрямую не связаны с наличием или отсутствием знаний, хотя доведение некоторых вычислительных операций до автоматизма несколько снижает вероятность их появления.
Необходимо осуществлять процесс обучения правилам с помощью специальной модели с использованием приема, активизирующего рефлексивную деятельность учащихся по предупреждению и исправлению ошибок, которые возникают в результате формального усвоения правил.
Самостоятельная работа учащихся над ошибками обеспечивает более осознанный их анализ и анализ собственных действий по решению конкретной задачи, что оказывает благоприятное влияние на качество получаемых знаний и стимулирует развитие логического мышления.
Пример неосознанного применения алгоритма: получив уравнение sin x = 1,2, ученик автоматически ищет его корни по хорошо известной формуле, не обращая внимания на недопустимые значения sin x.
Для исправления и предупреждения многих ошибок важно сформировать у школьников навыки самоконтроля. Выработке навыков самоконтроля помогает и приём приближённой оценки ожидаемого результата.
Каждый учитель знает, что планомерное и систематическое повторение и есть основной помощник в ликвидации пробелов, а, следовательно, и ошибок.
Систематические проверки чужих записей формируют у ученика привычку критически относиться к своему решению. Для этого подходят задания типа «найди ошибку в решении». Процесс отыскания и исправления ошибок самими учащимися под руководством учителя можно сделать поучительным для учащихся.
Самоконтроль
Для исправления и предупреждения многих ошибок важно сформировать у школьников навыки самоконтроля. Эти навыки состоят из двух частей:
а) умения обнаружить ошибку;
б) умения её объяснить и исправить.
В процессе обучения применяются несколько приёмов самоконтроля, которые помогают обнаружить допущенные ошибки и своевременно их исправить. К ним относятся:
Способы исправления и предупреждения ошибок
Свести ошибки к минимуму способствуют следующие профилактические меры:
Каждый учитель знает, что планомерное и систематическое повторение и есть основной помощник в ликвидации пробелов, а, следовательно, и ошибок. В математике, как ни в какой другой науке, особенно сильна взаимосвязь материала. Изучение и понимание последующего невозможно без знания предыдущего, отсюда неизбежность повторения на каждом уроке. При объяснении нового материала следует использовать ряд определений и теорем, которые были изучены ранее.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.