Викторина по истории тригонометрии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Познавательная викторина по математике:

«История тригонометрии»

для учащихся 9-11 классов

 

 

 

 

 

 

 

Составила: учитель математики

МАОУ СОШ д. Большие Боры

Старорусского района

Новгородской области

Воронина Анна Михайловна

 

 

 

 

 

 

2013 год

 

 

 

 

 

 

Познавательная викторина по математике. История тригонометрии.

(для учащихся 9 -11 классов)

 

1 вопрос.

 Слово «тригонометрия» (от греческих слов «тригонон» - треугольник и «метрио» - измеряю) означает «измерение треугольников».

Кто и когда впервые ввел в употребление термин «тригонометрия»?

 

·                     Птолемей (II в.) 

·                     Л. Эйлер (XVIII в.)

·                     И. Региомонтан (XV в.)

·                     В. Питиск (XV в.)

 

Ответ:  правильный ответ – В. Питиск.

  Варфоломей Питиск -  немецкий математик и богослов, автор учебника по тригонометрии и тригонометрических таблиц, впервые ввел в употребление термин «тригонометрия» в 1595 году.

 

2 вопрос.

Тригонометрию можно считать частью геометрии, так как она изучает зависимость между сторонами и углами треугольника; тригонометрические функции, с помощью которых связываются элементы треугольника, – это объект изучения математического анализа, а  тригонометрические уравнения изучаются методами алгебры.

 

Разделом какой науки изначально считалась тригонометрия?

 

·                     Геометрии

·                     Астрономии

·                     Математического анализа

·                     Алгебры

Ответ: правильный ответ  -   астрономии.

Сначала стала развиваться сферическая тригонометрия, которая устанавливала соотношения между элементами сферического треугольника. Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников. По звездам вычисляли местонахождение корабля в море или направление движения каравана в пустыне.

 

 

 

3 вопрос.

    Начиная с древних времен и примерно до 17 века в тригонометрии рассматривали исключительно «решение треугольников», т. е. вычисление одних элементов треугольника (или многоугольника, разбитого на треугольники) по другим его элементам. Среди «инструментов» для решения такого рода задач – теорема косинусов.

   Кто первым выразил по существу «теорему косинусов»?

·                     Пифагор

·                     Архимед

·                     Евклид

·                     Птолемей.

 

Ответ: правильный ответ – Евклид.

Как известно, 12-я и 13-я теоремы второй книги Начал Евклида (конец 4–3 в. до н. э.) выражают по существу теорему косинусов (обобщенная теорема Пифагора).

 

4 вопрос.

  Древнегреческие ученые впервые поставили перед собой задачу решения прямоугольного треугольника. Для этого они составляли таблицы длин хорд, соответствующих различным центральным углам круга постоянного радиуса.

 

Кем были составлены первые таблицы для определения соотношений между элементами треугольника?

·                     Евклидом

·                     Птолемеем

·                     Гиппархом

·                     Пифагором.

 

 

Ответ: правильный ответ – Гиппархом.

Во 2 в. до н.э. астроном Гиппарх из Никеи (180–125 до н.э.) впервые составил таблицу для определения соотношений между элементами треугольников. Такие таблицы нужны потому, что значения тригонометрических функций нельзя вычислить по аргументам с помощью арифметических операций. Тригонометрические функции приходилось рассчитывать заранее и хранить в виде таблиц. Гиппарх подсчитал в круге заданного радиуса длины хорд, отвечающих всем углам от 0 до 180°, кратным 7,5°. По существу, это таблица синусов. Труды Гиппарха до нас не дошли, но многие сведения из них включены в Альмагест (II в.) – знаменитое сочинение в 13 книгах греческого астронома и математика Клавдия Птолемея (ум. ок.160 н. э.).

 

 

 

 

 

 

 

 

5 вопрос.

   Зачатки тригонометрии  как части астрономии обнаружены в документах Вавилона,  Египта,  Китая, Индии и других стран древности. Учеными этих государств  много сделано для развития тригонометрии.

А откуда именно пришли термины «синус» и «косинус»?

 

 

·                    Из Древней Греции                                                 

·                    Из Индии

·                    Из Китая

·                    Из Европы

 

 

Ответ: правильный ответ – из Индии.

 Термины «синус» и «косинус» пришли от индийцев. Индийские ученые заменили хорды синусами. В 8 веке это нововведение перешло в страны Ближнего и Среднего Востока, где тригонометрия превратилась в самостоятельную науку.

 

6 вопрос.

 

К концу 10 в. ученые исламского мира уже оперировали, наряду с синусом и косинусом, четырьмя другими функциями – тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом; открыли и доказали несколько важных теорем плоской и сферической тригонометрии; использовали окружность единичного радиуса (что позволило толковать тригонометрические функции в современном смысле); придумали полярный треугольник сферического треугольника. Арабские математики составили точные таблицы, например таблицы синусов и тангенсов с шагом в 1' и точностью до 1/700 000 000.

В каком веке европейцы впервые познакомились с  тригонометрией?

·                     В VIII в.

·                     В X  в

·                     В XI в.

·                     В XII в.

 

Ответ: правильный ответ – в XII в..

 

 В XII в. был переведен с арабского языка на латинский ряд астрономических работ, по ним впервые европейцы познакомились с тригонометрией.

 

 

 

 

 

7 вопрос.

Региомонтан (ИоганнМюллер (1436–1476))составил обширные таблицы синусов (через 1 минуту с точностью до седьмой значащей цифры). Он впервые отступил от шестидесятеричного деления радиуса и за единицу измерения линии синуса принял одну десятимиллионную часть радиуса. Таким образом, синусы выражались целыми числами, а не шестидесятеричными дробями. До введения десятичных дробей оставался только один шаг, но он потребовал более 100 лет. Труд Региомонтана. О треугольниках всех родов пять книг сыграл в европейской математике ту же роль, что и сочинение Насир-эд-Дина в науке мусульманских стран.

Какая теорема была открыта в XV веке немецким математиком И. Региомонтаном (он же Иоганн Мюллер (1436–1476))?

 

·                     Теорема синусов.

·                     Теорема косинусов.

·                     Теорема тангенсов.

·                     Теорема котангенсов.

 

Ответ: правильный ответ -  теорема тангенсов.

    Теорема тангенсов наряду с теоремами синусов и косинусов позволяет находить неизвестные элементы треугольника по известным элементам. Одна из формул, выражающих теорему тангенсов, выглядит так:

8 вопрос

 Рассматривая дугу как путь, пройденный точкой, стало возможным установить однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек окружности. Так пришли к числовой окружности, называемой тригонометрической. Если радиус тригонометрической окружности равен 1, то имеем так называемую единичную окружность.

Кто из ученых стал переходить к формулам тригонометрии при единичном радиусе окружности?

·                                             Л. Эйлер

·                                             Ф. Виет

·                                             И. Ньютон

·                                             П. Чебышев

Ответ: правильный ответ – Л. Эйлер.

Леонард Эйлер (1707-1783)   являлся членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения.

9 вопрос. Таблицы синусов были введены индийскими астрономами. Дальнейшего развития тригонометрические таблицы достигли в трудах ученых стран Ислама. Большей точности таблицы тригонометрических функций составлены европейцами в 16-18 в.в..

В каком году были созданы первые тригонометрические таблицы в России?

·                     В 1705 г.

·                     В 1803 г.

·                     В 1903 г.

·                     В 1703 г.

Ответ: правильный ответ – в 1703 г..

 

   В России первые тригонометрические таблицы были созданы под названием «Таблицы логарифмов, синусов, и тангенсов к научению мудролюбивых тщателей». Эта книга включала в себя также логарифмические таблицы, впервые созданные на русском языке.

 

 

10 вопрос.

 К началу 18 века в России как и в Европе появляется множество математических трудов различной направленности. Развивается математическая символика, тригонометрия приобретала удобный вид, появились таблицы.  

Кто из русских ученых участвовал в издании тригонометрических  таблиц?

·                                 Н. И. Лобачевский

·                                 С. В. Ковалевская

·                                 Л. Ф. Магницкий.

·                                 П. Л. Чебышев.

Ответ: правильный ответ – Л. Ф. Магницкий.

  Л. Ф. Магницкий хорошо известен как автор «Арифметики» (1703 г.), которая содержала сведения из алгебры, геометрии, тригонометрии, астрономии и навигации. Один из первых русских учебников арифметики Магницкого есть «врата учености» в долгий и увлекательный путь познания мира путем математических правил.

 

 

 

 

 

11 вопрос.

 Термин «тангенс» (от латинского слова «tanger» - касаться) введен датским математиком Томасом Финком в 1583 г.. В переводе «котангенс» называли «umbra recta» - прямая тень, а тангенс – «umbra versa» - обратная тень.

На основе какого учения родились термины «тангенс» и «котангенс»?

·                                             Рассмотрения единичной окружности

·                                             Рассмотрения треугольника

·                                             Рассмотрения сферы

·                                             Учения о солнечных часах.

Ответ: правильный ответ – учения о солнечных часах.

В древности применяли два вида солнечных часов. У одних гномон – шест располагался вертикально, такие часы сооружали на земле. Если высоту гномона принять за 1, то длина тени Т=ctg a в других солнечных часах гномон крепился перпендикулярно к вертикальной стене, тогда T`=tg a при высоте гномона Г=1.

 12 вопрос.

Понятия «тангенс» и «котангенс», как и первые таблицы этих величин, появились не из рассмотрения тригонометрической окружности, а из учения о солнечных часах. Также в связи с солнечными часами появилось и понятие «косеканс».

Кто впервые ввел понятие «косеканс»?

·                                             Насир ад-Дина

·                                             Хабаш ал-Хасиб

·                                             Ал- Баттани

·                                             Абу-л-Вафа

Ответ: правильный ответ: Хабаш ал- Хасиб.

Большой вклад в развитие тригонометрии внесли уроженцы Средней Азии Муххамад ибн Мусса ал-Хорезми (ок. 780 - ок.880 гг.) и Ахмад ибн Абдаллах ал-Марвази. Известный под именем Хабаш ал-Хасиб (ок. 770 - ок. 870 гг.).   Хабаш ал-Хасиб относился к виднейшим астрономам своего времени. Его сочинения пользовались огромной популярностью. Особую роль в истории тригонометрии сыграли составленные ими «зиджи».

 

 

 

 

13 вопрос:

Важнейшее значение для истории математики имела замена хорды синусом. В вычислениях вместо хорды АВ, проведенной в круге с центром О и стягивающей центральный угол стали пользоваться полухордой АС, введя таким образом линию синуса угла. Это нововведение фактически превратило учение о хордах в науку о тригонометрических величинах.

Кто из математиков впервые рассмотрел тригонометрические линии через окружность?

·                                             Насир ад-Дина

·                                             Ал-Хабаш

·                                             Ал- Баттани

·                                             Абу-л-Вафа

Ответ: правильный ответ – Абу-л-Вафа.

Живший в конце 10 века в Багдаде замечательный математик Абу-л- Вафа впервые вводит в своей «Совершенной книге» (его «Алмагест»)тригонометрические линии не  через  прямоугольный треугольник, а с помощью окружности, определяя, например, тангенс как отрезок касательной к окружности. В некоторых местах Абу- л-Вафа принимает радиус за единицу.

14 вопрос.

    Термины «тангенс» и секанс были введены лишь в 1583 году датским математиком Томасом Финком. Произошло это в результате рассмотрения тригонометрических функций на окружности.

Кем был введен термин «котангенс»?

·                                             Томасом Финком

·                                             Эдмунтом Гунтером

·                                             Л. Эйлером

·                                             Франсуа Виетом

Ответ: правильный ответ – Эдмунтом Гунтером.

   Термин «котангенс» и «косеканс», образованные по аналогии с термином «косинус», встречаются впервые в 1620 году у английского ученого Эдмунта Гунтера. Этот великий астроном известен также как изобретатель счетной линейки.

 

 

15 вопрос:

Первым графиком тригонометрической функции, появившемся в печати, была синусоида. Этот график был вычерчен французским математиком де Робервалем в конце 30-х годов 17 века в связи с определением площади циклоиды.

В трудах какого ученого встречается впервые линия синуса?

·                                             Оноре Фабри

·                                             И. Ньютона

·                                             Л. Эйлера

·                                             Джона Валлиса

Ответ: правильный ответ – Оноре Фабри.

Название «линия синусов» впервые встречается  в сочинении «Геометрический труд о линии синусов и циклоиде» в 1659 г. французского математика Оноре Фабри. Не сразу и нелегко дошли ученые до полного исследования тригонометрических функций и вычерчивания их графиков. Окончательно этот вопрос разрешился в трудах Л.Эйлера.

16 вопрос:                                 

Вопрос о знаках тригонометрических функций во всех четырех квадрантах долгое время оставался открытым. Один из математиков 18 века Фридрих Майер, много содействовавший усовершенствованию тригонометрии, считал синус и тангенс тупого угла положительными, а косинус и котангенс – отрицательными.

Когда был разрешен вопрос о знаках тригонометрических функций?

·                     В 1668 г.

·         В 1670 г.

·                     В 1705 г.

·                     В 1722 г.

Ответ: правильный ответ – в 1705 г.

 Впервые вопрос о знаках тригонометрических функций был правильно изложен в 1705 году в мемуарах Парижской академии наук Т. де Ланьи. Усовершенствовал этот вопрос Леонард Эйлер, рассматривая тригонометрические функции любого аргумента.

17 вопрос:

В 1668 г. появились «геометрические этюды» замечательного английского математика Джеймса Грегори. В книге встречается часть тангенсоиды, соответствующая первому квадранту.

Кто впервые в своих трудах опубликовал графики косинуса, тангенса и котангенса?

·                                             Л. Эйлер

·                                             И. Ньютон

·                                             И. Барроу

·                                             Р. Котес

Ответ: правильный ответ – И. Барроу.

В 1670 году были опубликованы «Геометрические лекции» английского математика Исаака Барроу (учителя И. Ньютона), в которых были помещены графики косинуса, тангенса и секанса первого квадранта. Как оказалось позже, графики двух последних функций были не точными.

 

18 вопрос:

Теорема косинусов по существу была доказана (геометрически), еще в «Началах» Евклида, а именно в 12-м и в 13-м предложениях II книги. Рассматривается теорема как обобщение теоремы Пифагора.

Кто явно (словесно) сформулировал теорему косинусов?

·                                             Л. Фибоначчи

·                                             Н. Неморарий

·                                             Ф. Виет

·                                             Ж. Лагранж

Ответ: правильный ответ – Ф. Виет.

Впервые теорема косинусов явно сформулирована в 16 веке французским математиком Франсуа Виетом в известных «Математических таблицах» (1579 г.). В современных обозначениях можно так записать соответствующую формулу Виета: .

 

 

 

19 вопрос:

Применение символов в тригонометрии началось не в 16 веке как в алгебре, а лишь во второй половине 17 века. Переход от громоздкого словесного изложения тригонометрии к алгебраическим формам записи был длительным.

Кто из ученых употребил следующие обозначения: s – синус; t – тангенс; sc – косинус?

·                                             Р. Норвурд

·                                             И. Ньютон

·                                             И. Барроу

·                                             Р. Котес

Ответ: правильный ответ – Р. Норвуд.

В своей работе «Тригонометрия, или учение о треугольниках» английский математик Р. Норвуд (1590-1675) употребляет данные обозначения. В 1684 г. Дж. Валлис приводит такие обозначения: S – синус, Т – тангенс и другие. Приближалось время становления современной тригонометрии.

20 вопрос:

 Дальнейшее развитие тригонометрии шло по пути накопления и систематизации формул, уточнения основных понятий, становления терминологии и обозначений. Многие европейские математики работали в области тригонометрии. Среди них такие великие ученые, как Николай Коперник(1473–1543), (1546–1601) и Иоганн Кеплер (1571–1630). Франсуа Виет (1540–1603).

 

Какой ученый в своих трудах придал тригонометрии современный вид?

·                     Франсуа Виет

·                     Леонард Эйлер.                                                  

·                    Исаак Ньютон.

·                     Иоганн Кеплер.

·                      

Ответ: правильный ответ – Леонард Эйлер.

Леонард Эйлер(1707–1783) ввел и само понятие функции, и принятую в наши дни символику. Величины sin x, cos x и т.д. он рассматривал как функции числа x – радианной меры соответствующего угла. Эйлер давал числу x всевозможные значения: положительные, отрицательные и даже комплексные. Он также обнаружил связь между тригонометрическими функциями и экспонентой комплексного аргумента, что позволило превратить многочисленные и зачастую весьма замысловатые тригонометрические формулы в простые следствия из правил сложения и умножения комплексных чисел. Он же ввел и обратные тригонометрические функции.

К концу 18 в. тригонометрия как наука уже сложилась. Тригонометрические функции нашли применение в математическом анализе, физике, химии, технике – везде, где приходится иметь дело с периодическими процессами и колебаниями – будь то акустика, оптика или качание маятника.