Возведение в степень двучлена. Бином Ньютона.

Возведение двучлена в степень.

Эта тема для тех, кто любит решать задания повышенной сложности, кто интересуется алгеброй или для тех, кто собирается продолжить своё обучение в заведениях с углублённым изучением математики.

Начнём с простого. Первая формула, которую мы разобрали ранее, это квадрат суммы или разности. Вывод этой формулы сводился к умножению двух одинаковых двучленов и приведению подобных слагаемых. Здесь всё просто.

Следующая формула – куб суммы или разности двух выражений. Напомним, как она выводится.

Итак, получили формулу:

Таким же образом выведем формулы четвёртой и пятой степени двучлена:

Таким же образом можно вывести и другие формулы любой степени, но способ этот трудоёмкий. Попробуем найти закономерность в этих формулах. Во-первых, замечаем, что если в степень возводится сумма двух слагаемых, то все знаки будут положительные, а если в степень возводится разность двух слагаемых, то знаки чередуются, начиная со знака «плюс». Во-вторых, что степени первого слагаемого уменьшаются от п до 0, а степени второго слагаемого увеличиваются от 0 до п. Трудности возникают при определении коэффициентов. Первый и последний коэффициент всегда единица. Второй и предпоследний коэффициент равен показателю степени, в которую возводится двучлен. А вот дальше мы видим, что закономерность пока неясна.

Выпишем коэффициенты для  Напомним, что .

В этом треугольнике есть ещё одна интересная закономерность. Попробуйте найти сумму всех коэффициентов для каждого значения п. Заметили? Посмотрим вместе.

Сумма всех коэффициентов равна степени с основанием 2 и показателем, равным показателю степени, в которую возводится двучлен.

Этот треугольник впервые построил Блез Паскаль, поэтому он называется треугольником Паскаля. Попробуйте составить коэффициенты при

Теперь посмотрим с практической точки зрения. Если нам нужно раскрыть формулу седьмой, восьмой или более высокой степени, то строить треугольник хоть и не сложно, но долго. Существует формула для разложения степени двучлена в многочлен, вывел её Ньютон.

Формула бинома Ньютона для натуральных n имеет вид

где  - биномиальные коэффициенты, представляющие из себя сочетания из   по   а  – это знак факториала  и так далее.

К примеру, известная формула сокращённого умножения "квадрат суммы" вида 

где     -  есть частный случай бинома Ньютона при . Запишем с помощью этой формулы шестую степень двучлена.

      

Формула на первый взгляд кажется сложной, но, применив её несколько раз, приходит понимание и она уже не кажется такой сложной.

Например, представить в виде многочлена, используя бином Ньютона:

Находим биномиальные коэффициенты:

Сумма всех коэффициентов должна равняться . Проверим это:

Значит, коэффициенты посчитаны верно.

Рассмотрим ещё один пример. Найти произведение и частное сочетаний:

1. Используя треугольник Паскаля, представьте в виде многочлена:

1)	2)		3)		4)
5)	6)		7)		8)
9)		10)		11)		12)

2. Используя формулу бинома Ньютона, представьте в виде многочлена:

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)	11)	12)

3. Выполнить действия с сочетаниями:

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)	11)	12)

4. Представить в виде многочлена  выражения:

1)

2)

3)

Краткое описание документа:

Данная разработка будет полезна тем, кто интересуется математикой и собирается продолжать обучение в учебных заведениях, напрямую связанных с математикой. Хотя эта тема разбирается в 7 классе, но она в большей степени может быть использована в 10-11 классах. Теоретическая часть содержит подробное описание и вывод формул для возведения в степень двучлена, разобран бином Ньютона. Практическая часть содержит несколько заданий для закрепления умений.