Задачи на круги Эйлера
1. Рассказ
о кругах Эйлера.
Очень
часто бывает так, что решение задачи помогает найти рисунок. Использование
рисунка делает решение задачи простым и наглядным.
Рассмотрим
такую задачу.
1).
В классе 35 учеников. Из них: 19 ребят занимают в математическом кружке, 10 - в
биологическом, 9 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются
математикой?
Решение.
Для решения задачи изобразим в виде "кругов" учащихся,
занимающихся
математикой и биологией.
Обозначим
их буквами М и Б соответственно. Круги М и Б содержатся в прямоугольнике,
которым мы изображаем всех учащихся класса.
Нам
очевидно, что общая часть кругов М и Б состоит из тех ребят, которые
одновременно увлекаются и математикой, и биологией. Теперь давайте посчитаем.
Всего внутри прямоугольника 35 ребят. Внутри двух маленьких кругов М и Б будет
35-9= 26 ребят, поскольку нам известно, что 9 ребят не посещают кружки. Внутри
"математического" круга 19 ребят, значит, в той части
"биологического" круга, которая расположена вне круга М, находится
26-19= 7 биологов, не посещающих математический кружок. Остальные биологи, их
10-7= 3, находятся в общей части кругов МБ. Таким образом, 3 биолога увлекаются
математикой.
Изображение
различных множеств в виде кругов широко использовал в своих научных трудах
великий математик ХVIII
века Леонард Эйлер. Именно поэтому рисунки, подобные в задаче, которую
разобрали выше, обычно называют "кругами Эйлера". Эйлер отмечал, что
изображение множеств в виде кругов "очень подходит для того, чтобы
облегчить наши рассуждения".
Круги
Эйлера - геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить
отношения между подмножествами.
2).
В киоске около школы продается мороженое двух видов: "Спортивное" и
"Мальвина". На перемене 24 ученика успели купить мороженое. При этом
15 из них купили "Спортивное", а 17 - мороженое "Мальвина".
Сколько человек купили мороженое обоих сортов?
Решение.
Попробуем изобразить данные задачи с помощью кругов.
Общая
часть кругов состоит из тех школьников, которые купили мороженое обоих сортов.
Всего мороженое купили 24 ученика. Внутри круга М 17 учеников, а в круге С - 15
учеников. Возьмем, например, учащихся, купивших мороженое "Мальвина".
Получим 24-17=7 учащихся, которые купили мороженое "Спортивное", но
не купили мороженое "Мальвина". Остальные учащиеся: 15-7= 5 купили и
мороженое "Спортивное", и "Мальвина". Таким образом, мы
получили 5 учеников, которые купили оба вида мороженого.
3).
Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком
владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским и немецким
одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, немецким и
французским - 5, всеми тремя языками - 3. Сколько туристов не владеют ни одним
языком?
Всеми
тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число
3. Английским и французским языками владеют 10 человек, а 3 из них владеют еще
и немецким. Следовательно, только английским и французским владеют 10-3=7
человек. Аналогично получаем, что только английским и немецким владеют 8-3=5
человек, а немецким и французским 5-3=2 туриста. Вносим эти данные в
соответствующие части.
Определим
теперь, сколько человек владеют только одним из перечисленных языков. Немецкий
знают 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, следовательно, только
немецкий знают 20 человек. Аналогично получаем, что одним английским владеют 13
человек, а одним французским - 30 человек. По условию задачи всего 100
туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы один язык,
следовательно,20 человек не владеют ни одним из данных языков.
Ответ:
только английским владеет 13 человек, только французским - 30, только немецким
- 20 человек.20 человек не знают ни одного из этих языков.
4).
В классе 30 человек.20 из них каждый день пользуются метро, 15 - автобусом, 23
- троллейбусом, 10 - и метро, и троллейбусом, 12 - и метро, и автобусом, 9 - и
троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя
видами транспорта?
Решение:
Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера.
Пусть
х - человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только
метро и троллейбусом - (10 − х) человек, только автобусом и троллейбусом - (9 −
х) человек, только метро и автобусом - (12 − х) человек. Найдем, сколько
человек пользуется одним только метро: 20 − (12 − х) − (10 − х) − х = х − 2.
Аналогично получаем: х − 6 - только автобусом и х + 4 - только троллейбусом,
так как всего 30 человек, составляем уравнение: х + (12 − х) + (9 − х) + (10 −
х) + (х + 4) + (х − 2) + (х − 6) = 30, отсюда х = 3.
Задачи
для самостоятельного решения:
1) В
трех шестых классах 70 ребят. Из них 28 занимаются в драмкружке, 32 поют в
хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6
спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов, 3 спортсмена посещают и драмкружок и
хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в
драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?
2) В
классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в футбол.
Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и
футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни
баскетболом, ни хоккеем, ни футболом, а 2 школьника увлекаются сразу тремя
видами спорта. Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта?
3).
Из 100 человек 85 знают английский язык.80 - испанский, 75 - немецкий. Сколько
человек знают только один язык, если все три знают 10 человек?
4).
В классе 30 человек.20 из них каждый день пользуются метро, 15 - автобусом, 23
- троллейбусом, 10 - и метро, и троллейбусом, 12 - и метро, и автобусом, 9 - и
троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя
видами транспорта?
5). Контрольная работа по
математике состояла из задачи, уравнения и неравенства. Контрольную работу
писали 40 человек. Правильно решили только задачу 2 ученика, только неравенство
- 4 человека, только уравнение - 3 человека. Не решили только задачу 7 человек,
только уравнение - 5 человек, только пример - 6 человек. Остальные выполнили всю работу правильно. Сколько таких учащихся?
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.