Задачи на проценты, сплавы и смеси Подготовка к ОГЭ по математике №22

ОГЭ 9 класс

№22 Задачи на проценты, сплавы и смеси

1. Задание 22 

Смешав 60%−ый и 30%−ый рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 5 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 20%−ый рас­твор кислоты. Если бы вме­сто 5 кг воды до­ба­ви­ли 5 кг 90%−го рас­тво­ра той же кислоты, то по­лу­чи­ли бы 70%−ый рас­твор кислоты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 60%−го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

Решение.

Пусть  кг и  кг — массы пер­во­го и вто­ро­го растворов, взя­тые при смешивании. Тогда кг — масса по­лу­чен­но­го раствора, со­дер­жа­ще­го  кг кислоты. Кон­цен­тра­ция кис­ло­ты в по­лу­чен­ном рас­тво­ре 20 %, откуда

 

Решим си­сте­му двух по­лу­чен­ных уравнений:

  

Замечание. Ре­ше­ние можно сде­лать не­сколь­ко проще, если заметить, что из по­лу­чен­ных урав­не­ний следует: , от­ку­да . Пер­вое урав­не­ние при­ни­ма­ет вид ,от­ку­да .
Ответ: 2 кг.

2. Задание 22

Име­ет­ся два спла­ва с раз­ным со­дер­жа­ни­ем меди: в пер­вом со­дер­жит­ся 60%, а во вто­ром — 45% меди. В каком от­но­ше­нии надо взять пер­вый и вто­рой спла­вы, чтобы по­лу­чить из них новый сплав, со­дер­жа­щий 55% меди?

Решение.

Пусть пер­вый сплав взят в ко­ли­че­стве x кг, тогда он будет со­дер­жать 0,6x кг меди, а вто­рой сплав взят в ко­ли­че­стве y кг, тогда он будет со­дер­жать 0,45y кг меди. Со­еди­нив два этих спла­ва, по­лу­чим сплав меди мас­сой x + y, по усло­вию за­да­чи он дол­жен со­дер­жать 0,55(x + y) меди. Сле­до­ва­тель­но, можно со­ста­вить урав­не­ние:

 

Выразим x через y:  

Следовательно, отношение, в ко­то­ром нужно взять сплавы:      Ответ: 

3. Задание 22

При сме­ши­ва­нии пер­во­го рас­тво­ра кис­ло­ты, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 20%, и вто­ро­го рас­тво­ра этой же кис­ло­ты, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 50%, по­лу­чи­ли рас­твор, со­дер­жа­щий 30% кис­ло­ты. В каком от­но­ше­нии были взяты пер­вый и вто­рой рас­тво­ры?

Решение.

Пусть пер­вый рас­твор взят в ко­ли­че­стве  грамм, тогда он со­дер­жит 0,2 грамм чи­стой кислоты, а вто­рой рас­твор взят в ко­ли­че­стве  грамм, тогда он со­дер­жит 0,5 грамм чи­стой кислоты. При сме­ши­ва­нии двух этих рас­тво­ров по­лу­чит­ся рас­твор мас­сой  +  грамм, по усло­вию задачи, он со­дер­жит 0,3( + ) чи­стой кислоты. Следовательно, можно со­ста­вить уравнение:

 

Выразим  через :  Следовательно, отношение, в ко­то­ром были взяты растворы:  Ответ: 

4. Задание 22

На пост главы ад­ми­ни­стра­ции го­ро­да пре­тен­до­ва­ло три кан­ди­да­та: Жу­равлёв, Зай­цев, Ива­нов. Во время вы­бо­ров за Ива­но­ва было от­да­но в 2 раза боль­ше го­ло­сов, чем за Жу­равлёва, а за Зай­це­ва — в 3 раза боль­ше, чем за Жу­равлёва и Ива­но­ва вме­сте. Сколь­ко про­цен­тов го­ло­сов было от­да­но за по­бе­ди­те­ля?

Решение.

Заметим, что по­бе­ди­те­лем на вы­бо­рах ока­жет­ся Зайцев. Пусть ко­ли­че­ство голосов, от­дан­ных за Зай­це­ва равно . Тогда за Журавлёва и Ива­но­ва вме­сте от­да­ли . Про­цент голосов, от­дан­ных за Зай­це­ва         Ответ: 75%.

5. Задание 22 

Первый сплав со­дер­жит 5% меди, вто­рой — 13% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 4 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 10% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го сплава.

Решение.

Пусть масса пер­во­го спла­ва x кг. Тогда масса вто­ро­го спла­ва (x + 4) кг, а тре­тье­го — (2x + 4) кг. В пер­вом спла­ве со­дер­жит­ся 0,05x кг меди, а во вто­ром — 0,13(x + 4) кг. По­сколь­ку в тре­тьем спла­ве со­дер­жит­ся 0,1(2x + 4) кг меди, со­ста­вим и решим уравнение:

    Откуда 

Масса тре­тье­го спла­ва равна 16 кг.

Ответ:16 кг.

6. Задание 22 

Све­жие фрук­ты со­дер­жат 80% воды, а вы­су­шен­ные — 28%. Сколь­ко сухих фрук­тов по­лу­чит­ся из 288 кг све­жих фрук­тов?

Решение.

Свежие фрук­ты со­дер­жат 20% пи­та­тель­но­го вещества, а вы­су­шен­ные — 72%. В 288 кг све­жих фрук­тов со­дер­жит­ся 0,2 · 288 = 57,6 кг пи­та­тель­но­го вещества. Такое ко­ли­че­ство пи­та­тель­но­го ве­ще­ства будет со­дер­жать­ся в  кг вы­су­шен­ных фруктов.     Ответ: 80.

7. Задание 22 

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 10-про­цент­но­го рас­тво­ра­ не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 12-про­цент­но­го рас­тво­ра ­это­го же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Решение.

Пусть взяли  г 10-процентного раствора, тогда взяли и  г 12-процентного раствора. Кон­цен­тра­ция рас­тво­ра — масса вещества, разделённая на массу всего раствора. В пер­вом рас­тво­ре со­дер­жит­ся  г, а во вто­ром —  г Кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра равна  или 11%.       Ответ: 11%.

8. Задание 22 

Свежие фрук­ты со­дер­жат 86 % воды, а вы­су­шен­ные — 23 %. Сколь­ко тре­бу­ет­ся све­жих фрук­тов для при­го­тов­ле­ния 72 кг вы­су­шен­ных фруктов?

Решение.

Заметим, что сухая часть све­жих фрук­тов со­став­ля­ет 14%, а вы­су­шен­ных — 77%. Значит, для при­го­тов­ле­ния 72 кг вы­су­шен­ных фрук­тов тре­бу­ет­ся  кг свежих.    Ответ: 396 кг.

9. Задание 22 

Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора — х, концентрация второго раствора — y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

Таким образом, в первом растворе содержится  килограмма кислоты.

Ответ: 8,7.

10. Задание 22

Имеются два сосуда, содержащие 4 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 57% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора - х, концентрация второго раствора - y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

 

Таким образом, в первом растворе содержится  кг кислоты    Ответ: 2,6

11. Задание 22 

Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 73% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 72% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора - х, концентрация второго раствора - y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

 

Таким образом, во втором растворе содержится  кг кислоты.  Ответ: 19,5

12. Задание 22 

Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 33% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора — х, концентрация второго раствора — y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

 

Таким образом, во первом растворе содержится  кг кислоты.  Ответ: 2.

13. Задание 22

Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 65% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора - х, концентрация второго раствора - y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

Таким образом, во втором растворе содержится  кг кислоты.    Ответ: 2,8

14. Задание 22

Имеются два сосуда, содержащие 24 кг и 26 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 39% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора - х, концентрация второго раствора - y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

 

Таким образом, в первом растворе содержится  кг кислоты. Ответ: 15,6.

15. Задание 22 

Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 81% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 83% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора - х, концентрация второго раствора - y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

 

Таким образом, во втором растворе содержится  кг кислоты.  Ответ: 18,6

16. Задание 22 

Имеются два сосуда, содержащие 22 кг и 18 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 30% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора - х, концентрация второго раствора - y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

 

Таким образом, в первом растворе содержится  кг кислоты.   Ответ: 11.

17. Задание 22 

Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 40% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 37% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора - х, концентрация второго раствора - y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

 

Таким образом, во втором растворе содержится  кг кислоты Ответ: 23,1

18. Задание 22

Имеются два сосуда, содержащие 48 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 42% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора - х, концентрация второго раствора - y. Составим систему уравнений согласно условию задачи: 

 

Таким образом, во втором растворе содержится  килограмма кислоты

Ответ: 4,2

19. Задание 22 

Свежие фрук­ты со­дер­жат 88 % воды, а вы­су­шен­ные — 30 %. Сколь­ко тре­бу­ет­ся све­жих фрук­тов для при­го­тов­ле­ния 6 кг вы­су­шен­ных фруктов?

Решение.

Заметим, что сухая часть све­жих фрук­тов со­став­ля­ет 12%, а вы­су­шен­ных — 70%. Значит, для при­го­тов­ле­ния 6 кг вы­су­шен­ных фрук­тов тре­бу­ет­ся  кг свежих.

Ответ: 35 кг.

20. Задание 22

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 21-про­цент­но­го рас­тво­ра­ не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 95-про­цент­но­го рас­тво­ра ­это­го же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Решение.

Пусть взяли  г 21-процентного раствора, тогда взяли и  г 95-процентного раствора. Кон­цен­тра­ция рас­тво­ра — масса вещества, разделённая на массу всего раствора. В пер­вом рас­тво­ре со­дер­жит­ся  г, а во вто­ром —  г Кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра равна  или 58%.

Ответ: 58.

21. Задание 22 

Све­жие фрук­ты со­дер­жат 93% воды, а вы­су­шен­ные — 16%. Сколь­ко сухих фрук­тов по­лу­чит­ся из 252 кг све­жих фрук­тов?

Решение.

Свежие фрук­ты со­дер­жат 7% пи­та­тель­но­го вещества, а вы­су­шен­ные — 84%. В 252 кг све­жих фрук­тов со­дер­жит­ся 0,07 · 252 = 17,64 кг пи­та­тель­но­го вещества. Такое ко­ли­че­ство пи­та­тель­но­го ве­ще­ства будет со­дер­жать­ся в  кг вы­су­шен­ных фруктов.

Ответ: 21.