«Задачи с параметрами на ЕГЭ».

Доклад  на ШМО

 «Задачи с параметрами  на ЕГЭ».

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Что означает «решить задачу с параметром»?

Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

Более прозрачное понимание того, что означает решить задачу с параметром, у читателя сформируется после ознакомления с примерами решения задач на последующих страницах.

 Какие основные типы задач с параметрами?

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Обращаю внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Комментарий. Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

Наиболее массовый класс задач с параметром — задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.

 Каковы основные способы (методы) решения задач с параметром?

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Комментарий.  Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Перейду теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром, так как это мой любимый метод решения заданий данного типа.

Проанализировав все задания с параметрами, решаемыми графическим методом, я знакомство с параметрами начинаю с заданий ЕГЭ   2018 года :

 При каком целом значении к уравнение 45х – 3х² – х³ + 3к = 0 имеет ровно два корня ?

Эти задания позволяют, во первых, вспомнить как строить графики с использованием производной, а во-вторых, объяснить смысл прямой у = к.

Подготовку такого ученика учитель проводит в несколько этапов, выделяя для тренировки отдельных навыков, необходимых для поиска и реализации длинных решений, отдельные уроки. Эта подборка подходит для стадии формирования представлений о плавающих рисунках в зависимости от параметра.. Задачи выстроены в порядок возрастания их сложности.

Задание  из ЕГЭ-2020

При каких значениях параметра a уравнение имеет не менее двух корней.

Решим эту задачу графически. Построим график левой части уравнения:   и график правой части:   и сформулируем вопрос задачи так: при каких значениях параметра  a графики функций  и  имеют две или более общих точки.

В левой части исходного уравнения параметр отсутствует, поэтому мы можем построить график функции .

Будем строить это график с помощью линейных преобразований графика функции :

1. Сдвинем график функции  на 3 единицы вниз вдоль оси OY, получим график функции :

2. Построим график функции . Для этого часть графика функции , расположенную ниже оси ОХ, отобразим симметрично относительно этой оси:

Итак, график функции  имеет вид:

График функции  представляет собой семейство прямых с переменным коэффициентом наклона, равным а, сдвинутых на 1 единицу вниз вдоль оси OY. То есть точка с координатами (0;1) представляет собой центр вращения этого семейства прямых:

Рассмотрим положения прямой , в которых она имеет более одной точки пересечения с графиком функции :

Прямые АВ и АС имеют две точки пересечения с графиком функции. Все прямые, расположенные между ними имеют 3 точки пересечения с графиком функции  .

Чтобы найти коэффициент наклона прямой АВ, найдем абсциссу  точки  В.

Точка В – это точка пересечения графика функции  с осью ОХ. В этой точке у=0. Получим уравнение: , отсюда . Коэффициент а наклона прямой АВ равен тангенсу угла BAD треугольника ABD и равен 

Найдем коэффициент наклона прямой АС. Точка С – это точка, в которой прямая  касается графика функции  (точка С принадлежит части графика функции , отображенной симметрично относительно оси ОХ). То есть это точка, в которой графики функции    и  имеют одну общую точку.

Теперь нам нужно найти значение параметра а, при котором уравнение   имеет одно решение.

Умножим обе части уравнения на х и перенесем все слагаемые влево. Получим квадратное уравнение  Это уравнение  имеет единственный корень, если дискриминант равен нулю.

,    Таким образом, уравнение  имеет два решения, если  или

Уравнение имеет три решения, если 

 Задание из ЕГЭ 2021

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Решение:

Корнями исходного уравнения являются корни уравнения для которых выполнено условие 
Поскольку уравнение задаёт
на плоскости Oxa пару прямых l₁ и l₂, заданных уравнениями a=2x и a=−2x соответственно. Значит, это уравнение имеет один корень при a=0 и имеет два корня при a≠0.
Поскольку

уравнение задаёт пару прямых m₁ и m₂,заданных уравнениями a=x+3 и a=−x−3 соответственно.
Координаты точки пересечения прямых l₁ и m_1, являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₁ и m₁ пересекаются в точке (3;6).
Координаты точки пересечения прямых l₁ и m₂ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₁ и m₂ пересекаются в точке (−1;−2).
Координаты точки пересечения прямых l₂ и m₁ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₂ и m₁ пересекаются в точке (1;−2).
Координаты точки пересечения прямых l₂ и m₂ являются решением системы уравнений:

Значит, прямые l₂ и m₂ пересекаются в точке (3;−6).
Следовательно, условие выполнено для корней уравненияпри всех a , кроме a=−6, a =−2, a=2 и a=6 . Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня при 

Ответ: