Задания базового уровня ЕГЭ и их решения

Базовый уровень ЕГЭ

Начиная с 2015 года, выпускники выбирают форму сдачи государственного экзамена по математике. ЕГЭ по данному предмету разделено на 2 уровня – базовый и профильный.

«Модель ЕГЭ по математике базового уровня предназначена для государственной итоговой аттестации выпускников, не планирующих продолжение образования в профессиях, предъявляющих специальные требования к уровню математической подготовки. Так как в настоящее время существенно возрастает роль общематематической подготовки в повседневной жизни, в массовых профессиях, в модели ЕГЭ по математике базового уровня, усилены акценты на контроль способности применять полученные знания на практике, развитие логического мышления, умения работать с информацией.

Выполнение заданий экзаменационной работы свидетельствует о наличии у участника экзамена общематематических умений, необходимых человеку в современном обществе. Задания проверяют базовые вычислительные и логические умения и навыки, умение анализировать информацию, представленную на графиках и в таблицах, использовать простейшие вероятностные и статистические модели, ориентироваться в простейших геометрических конструкциях. В работу включены задания базового уровня по всем основным предметным разделам: геометрия (планиметрия и стереометрия), алгебра, начала математического анализа, теория вероятностей и статистика.»[1]

Задание №1, 2, 4, 5

         Первое, второе, четвертое, пятое задания экзаменационной работы можно объединить, так как все они проверяют умения и навыки учащихся выполнять вычисления и преобразования. Первое задание предполагает действия с дробями, второе – со степенями, четвертое – на нахождение неизвестных компонент уравнения, пятое – решение уравнений. Причем, стоит отметить, что последнее из названных может включать в себя как линейное, квадратное, рациональное, так и показательное или логарифмическое выражения. Поэтому 1,2,4 задания посильны и ученикам 6-7 классов, а вот 5 – в зависимости от сложности уравнения может быть выполнено учеником 7-11 класса.

Приведем примеры заданий

1.   Найдите значение выражения:  .

Пояснение.

Выполним преобразования: .

Ответ: −500.

2.     Найдите значение выражения  .

Пояснение.

Преобразуем выражение, используя свойства степени:  .

Ответ: 40.

3.     Найдите m из равенства F = ma, если F = 84 и a = 12.

Пояснение.

Подставляя значения F и a получаем: , откуда  . 

Ответ: 7.

4.   Найдите значение выражения  .

Пояснение.

Выполним преобразования:

Ответ: -1.

Задание №3, 6

Третье и шестое задания экзаменационной работы – задачи, которые проверяют умение учащихся применять полученные знания в обыденных житейских ситуациях. Третье задание связано с процентами. В данных заданиях представлены задачи, посильные ученику 5-6 класса.

Примеры заданий.

Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15 школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу? 

Пояснение.

1.     Билет для ребенка стоит 720  0,5 = 360 руб. Стоимость билетов на 15 школьников и двух взрослых составляет 
360  15 + 720  2 = 5400 + 1440 = 6840 руб.

Ответ: 6840.

1.     Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 65 миль в час? Ответ округлите до целого числа. 

Пояснение.

Если спидометр показывает скорость 65 миль в час, значит, в километрах это будет 65  1,609 = 104,585 км в час. 

Ответ: 105.

Задание №7

Седьмое задание экзаменационной работы предполагает проверку умений учащихся решать уравнения, при этом в данном задании могут встретится:

·        линейные, квадратные, кубические уравнения;

·        рациональные уравнения;

·        иррациональные уравнения ;

·        показательные уравнения;

·        логарифмические уравнения;

·        тригонометрические уравнения.

Первые три типа уравнений изучаются в курсе основной школы, а вот последние – в курсе старшей школы.

Приведем пример задания.

Решите уравнение  . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Пояснение.

Решим уравнение:  .

Значению k=0 соответствует x=-1. Положительным значениям параметра соответствуют положительные значения корней, отрицательным значениям параметра соответствуют меньшие значения корней. Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число −1. 

Ответ:  −1.

Задание №8

         Данное задание представляет собой простейшую задачу геометрического содержания, для решения которых необходимо уметь описывать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем. Задание посильно ученику 7-9 класса.

Примеры заданий.

Два садовода, имеющие прямоугольные участки размерами 35 м на 40 м с общей границей, договорились и сделали общий прямоугольный пруд размером 20 м на 14 м (см. чертёж), причём граница участков проходит точно через центр. Какова площадь (в квадратных метрах) оставшейся части участка каждого садовода?

Пояснение.

Площадь каждого из участков равна 35 · 40 = 1400 кв. м, а площадь пруда равна 20 · 14 = 280 кв. м. На каждом участке находится половина пруда, занимая 140 кв. м. Поэтому площадь оставшейся части каждого из участков равна 1400 − 140 = 1260 кв. м. 

Ответ: 1260.

Задание №9, 11, 14

Данные задания связаны с анализом  таблиц. Учащиеся должны уметь пользоваться основными единицами массы, длины, времени, скорости, площади и объема, выражать более крупные единицы через мелкие и наоборот. Такое задание посильно ученикам 5-6 классов.

Примеры заданий.

1.     Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца. 

Пояснение.

Рост ребёнка может быть равен 110 см, толщина листа бумаги может составлять 0,2 мм, длина автобусного маршрута — 32 км, высота жилого дома — 30 м. 

Ответ: 4312.

2.     На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 18 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линиями. Определите по рисунку, какой была наименьшая среднесуточная температура в период с 6 по 16 июля. Ответ дайте в градусах Цельсия. 

Пояснение.

Наименьшая температура с 6-го по 16-ое июля была 16-го июля и составила 16°С. 

Ответ: 16.

3.     На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику процесса разогрева двигателя на этом интервале. 

 В таблице под каждой буквой, соответствующей интервалу времени, укажите номер характеристики процесса. 

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Пояснение.

На интервале 0−2 минуты температура возросла от примерно 18 °С до примерно 38 °С.

На интервале 2−4 минуты температура возросла от примерно 38 °С до примерно 45 °С.

На интервале 4−6 минут температура возросла от примерно 45 °С до примерно 74 °С.

На интервале 8−10 минут температура упала от 90 °С до примерно 78 °С.

Таким образом, получаем соответствие: A — 4, Б — 1, В — 3, Г — 2.

 Ответ: 4132.

Задание №10

Данное задание экзаменационной работы посвящено элементам комбинаторики, теории вероятности и статистики. Для успешного выполнения данного задания от учащихся требуется знание классического определения вероятности, теорем о вероятностях событий, и умение применять их на практике. Комбинаторика как отдельный, самостоятельный раздел не изучается в курсе основной школы. Умение решать комбинаторные задачи вырабатывается при изучении математики 5-6 классов, где комбинаторика представлена фрагментарно. Понятие вероятности и задачи, посвященные ее классическому определению, разбираются в курсе 9 класса, а вот теоремам о вероятностях событий отводится время в курсе изучения алгебры 11 класса. Целесообразнее данное задание разбирать с одиннадцатиклассниками, которые уже изучили начала теории вероятности в полном объеме школьной программы. Приведем примеры заданий:

Игральную кость с 6 гранями бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, большее 3.

Пояснение.

Возможность появления числа в первом и втором броске не зависят друг от друга. Вероятность того, что на игральной кости выпадет число меньше, либо равное трёх: 1 − 0,5 =  0,5. Поэтому вероятность того, что ни разу оба раза число меньше либо равное трём равна 0,5 · 0,5 = 0,25. Следовательно, вероятность того, что хотя бы раз выпадет число большее трёх равна 1 − 0,25 = 0,75.

Ответ: 0,75.

Задание №12

Вычислительные навыки, умение работать с рациональными числами, анализировать, читать графики, формируемые в курсе математики 5-6 классов и алгебры 7 класса, - достаточная база, которая позволяет выполнить данное задание ЕГЭ. Приведем пример задания.

Для обслуживания международного семинара необходимо собрать группу переводчиков. Сведения о кандидатах представлены в таблице.

Пользуясь таблицей, соберите хотя бы одну группу, в которой переводчики вместе владеют четырьмя иностранными языками: английским, немецким, французским и испанским, а суммарная стоимость их услуг не превышает 12 000 рублей в день. В ответе для собранной группы укажите номера переводчиков без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Пояснение.

Заметим, что стоимость услуг переводчиков, знающих только английский и французский языки меньше стоимости услуг переводчика, знающего одновременно английский и французский языки, поэтому при подборе вариантов четвёртого переводчика можно не учитывать. Переводчика, знающего только немецкий язык нет, поэтому в группу необходимо взять либо первого, либо второго переводчика.

В первом случае необходимо включить в группу переводчиков, знающих английский и французский языки; дешевле выбрать переводчиков 3 и 5, тогда стоимость услуг составит 12 000 рублей в день. Остальные варианты дороже.

Во втором случае необходимо включить в группу переводчиков, знающих французский и испанский языки; дешевле выбрать переводчиков 5 и 6, тогда стоимость услуг составит 12 000 рублей в день. Остальные варианты дороже.

Таким образом, группа переводчиков, удовлетворяющая всем условиям, может быть собрана из переводчиков 1, 3 и 5 или из переводчиков 2, 5 и 6. 

Ответ: 135 или 256.

Задание №13

Задание № 13 связано с умением решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов) и использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы. Эти умения вырабатываются в курсе изучения стереометрии 10-11 класса.

Пример задания.

В цилиндрический сосуд налили 2000 см³ воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.

Решение.

Объём детали равен объёму вытесненной ею жидкости. Объём вытесненной жидкости равен 9/12 исходного объёма: 

.

Ответ: 1500.

Задание №15

         Пятнадцатое задание экзаменационной работы – планиметрическая задача. Для успешного выполнения данного номера учащемуся необходимо владеть основными геометрическими фактами, теоремами и аксиомами, изученными в 7-9 классах.

Пример задания.

 В треугольнике ABC угол A равен 30˚, CH – высота, угол BCH равен 22˚. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Пояснение. 

Ответ: 38.

Задание №16

Задание № 16 связано с умением решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов) и использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы. Эти умения вырабатываются в курсе изучения стереометрии 10-11 класса. Данное задание во многом схоже с №13, но более сложное. Приведем пример задания.

Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π.

Пояснение.

Объем данной фигуры равен разности объемов цилиндра с радиусом основания 5 и высотой 5 и цилиндра с той же высотой и радиусом основания 2:

 Ответ: 105.

Задание №17

         Это задание на сопоставление проверяет умение учащихся решать уравнения и неравенства. Согласно спецификации, в нем могут встретится линейные, квадратные, рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, а также их системы. Изучаемые разделы -представлены в курсе алгебры  7-11 класса.

Пример задания.

На координатной прямой точками отмечены числа a, b, с, d и m. Установите соответствие между указанными точками и числами из правого столбца. 

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Пояснение.

Заметим, что  примерно равно . Следовательно,  .  Таким образом, точка a соответствует числу 3m, b — числу  , c — числу  , d — числу 

Задание №18

В данном задании проверяется умение строить и исследовать простейшие математические модели. Здесь представлены задачи логического содержания. Их нельзя отнести к какому –либо классу, так как на протяжении всего изучения математики развивается логическое мышление учащихся.

Пример задания.

Пять жильцов многоквартирного дома — Андрей, Борис, Виктор, Денис и Егор — имеют различный возраст. При этом известно, что возраст Андрея больше, чем сумма возрастов Бориса и Виктора, Виктор старше Дениса, но младше Егора. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.

1) Андрей самый старший из жильцов

2) Егор старше Бориса

3) Андрей старше Дениса

4) Борис старше Егора 

В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Пояснение.

Пусть А, Б, В, Д и Е — соответственно возрасты Андрея, Бориса, Виктора, Дениса и Егора. Из условия получаем неравенства: А > Б + В,  В > Д,  В < Е. Откуда получаем: Д < В < Е, А > Б, А > В.

1) Из условия не следует, что Андрей старший из жильцов. Например, Егор может быть старше Андрея.

2) Из условия не следует, что Егор старше Бориса.

3) Из полученных уравнений следует, что Андрей старше Дениса.

4) Борис не обязательно старше Егора.

 Таким образом, верным является утверждение 3. 

Ответ: 3.

Задание №19

В данном задании проверяется умение строить и исследовать простейшие математические модели. Здесь представлены задачи логического содержания. Их нельзя отнести к какому –либо классу, так как на протяжении всего изучения математики развивается логическое мышление учащихся. Если ориентироваться на спецификацию и демоверсию 2015 года, данное задание больше ориентировано на знание признаков и свойств делимости чисел, которые изучаются в 5-6 классах. Приведем пример задания.

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 0 и делится на 24.

Пояснение.

Чтобы число делилось на 24 оно должно делится на 3 и на 8.

Число делится на 8, если три его последние цифры образуют число, делящееся на 8. Искомое число записывается только нулями и единицами, значит, оно заканчивается на 000.

Число делится на 3, если его сумма цифр числа делится на 3. Поскольку три последние цифры числа нули, первые три должны быть единицами.

Таким образом, единственное число, удовлетворяющее условию задачи, это число 111 000.

 Ответ: 111 000.

Задание №20

         Последнее задание экзаменационной работы также проверяет умение учащихся строить и исследовать простейшие математические модели. Данный номер предполагает, что учащиеся умеют преобразовывать выражения, содержащие арифметические операции, степени корни, знакомы с арифметическими и геометрическими прогрессиями, что формируется к 9 классу основной школы. Приведем пример задания.

Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он должен принять 3 капли, а в каждый следующий день — на 3 капли больше, чем в предыдущий. Приняв 30 капель, он ещё 3 дня пьёт по 30 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает приём на 3 капли. Сколько пузырьков лекарства нужно купить пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Пояснение.

На первом этапе приёма капель число принимаемых капель в день представляет собой возрастающую арифметическую прогрессию с первым членом, равным 3, разностью, равной 3 и последним членом, равным 30. Следовательно,

этап, когда число капель в день возрастает продолжается дней. Суммарное число капель, принятых в этот период, представляет собой сумму арифметической прогрессии:  капель.

 Затем в течение трёх дней пациент принимает ещё  капель.  Последний этап приёма капель длится дней. Аналогично первому этапу:  капель.

  Таким образом, за весь курс приёма пациенту нужно принять 165 + 90 + 135 = 390 капель. То есть нужно приобрести не меньше   пузырьков лекарства. Минимальное количество пузырьков лекарства — 2.

 Ответ: 2.

Общие выводы по базовому уровню ЕГЭ

Общие выводы по структуре ЕГЭ можно представить в таблице, где номеру задания соответствует класс, в котором данный тип изучается.

Из таблицы можно увидеть, что большая часть работы содержит задания, посильные для выпускника 9 класса. Пять заданий экзаменационной работы требуют знаний, полученных в старшей школе. И имеются два задания логического характера, аналоги которым либо не встречаются в школьных учебниках, либо освещены достаточно мало.