Инфоурок / Математика / Конспекты / Заседание НОУ "Интеграл" по теме "Метод масс в геометрии"

Заседание НОУ "Интеграл" по теме "Метод масс в геометрии"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Заседание hello_html_m38d02aef.pngинтеграл1

научного общества учащихся «Интеграл»

Тема занятия «Метод масс в геометрии»

28 апреля 2015 года





Учитель математики: Кондратьева Татьяна Юрьевна

Аудитория: 8,9,10 класс

Актуальность темы: В школьном курсе математики тема «Геометрия масс» не рассматривается. Решения задач на отношение длин при решении обычными методами получаются достаточно объёмными. Данный метод необходим для рационального решения задач.

Проблема: поиск рационального способа решения задач

Объект исследования – геометрические задачи на нахождение отношения длин отрезков

Цели: познакомиться с теорией способа решения задач методом геометрии масс, повысить уровень культуры решения геометрических задач, развитие навыков исследовательской работы.

Задачи:

1. Дать понятие геометрии масс

2. Научиться решать задачи с применением этого метода

3. Подготовка к ОГЭ (№26), ЕГЭ(С4) и олимпиадам

Гипотеза: Многие задачи на отношение длин отрезков рациональнее решать с помощью геометрии масс

  1. ВВЕДЕНИЕ

«…Я счел нужным написать тебе и… изложить особый метод, при помощи которого ты получишь возможность находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем».

Архимед.

Послание к Эратосфену «О механических теоремах»

На этом занятии мы рассмотрим следующую тему – «Метод масс в геометрии».

Родоначальником метода был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в. до н. э. он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс.Описание: http://specural.com/sites/default/files/styles/slovar_max/public/images/slovar/arhimeda_zakon_3.jpg?itok=YDxhZPs7

Соображения Архимеда были позднее использованы и развиты многими геометрами (Папп, Чева, Гюльден, Люилье и др.).

Нередко приходится слышать, что рассуждения с использованием свойства центров масс не могут дать математически строгих решений геометрических задач (хотя, может быть, и полезны для угадывания правдоподобных ответов к этим задачам). Однако такое мнение глубоко ошибочно. Понятия механики не только служат ценным эвристическим средством; облеченные в строгую математическую форму, они позволяют получать математически безупречные решения задач геометрии и алгебры.

Первый «сюрприз» Архимеда

Во время осады Сиракуз Архимед построил множество удивительных приспособлений. Первое — это «Лапа Архимеда», уникальная подъемная машина и прообраз современного крана. Внешне она была похожа на рычаг, выступающий за городскую стену и оснащенный противовесом. Если римский корабль пытался пристать к берегу около Сиракуз, этот «манипулятор» захватывал его нос и переворачивал. (вес римских трирем превышал 200 тонн, а у пентер мог достигать и всех 500), затапливая атакующих. hello_html_m492d2200.png

МАТЕРИАЛЬНАЯ точка - точка, имеющая массу. В механике понятием материальная точка пользуются в случаях, когда размеры и форма тела при изучении его движения не играют роли, а важна только масса.

Подскажите псу куда нужно ему пересесть, чтобы качели пришли в равновесие?



hello_html_m66f7dd30.png



Задача найти в этом случае ту точку, которая уравновесит данные качели.

hello_html_m151d69f0.png

Принцип центра масс является ничем иным, как законом рычага, с помощью которого Архимед собирался перевернуть Землю.

  1. Решение задач

Центр масс данной системы двух точек будет такая точка О данного отрезка, что AO*m1 = BO*m2.
Или соответственно
http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/14037/ed516d804140114be15bde03b399f182.png

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/14036/5959d86306626c2aa29ec024c25ec59d.png





Таким образом, точка O разбивает наш отрезок в отношении обратно пропорциональном тем массам, которые находятся в точках A и B.





Задача 1. Дана масса груза, расположенного в точке A - m1=1, а масса груза, расположенного в точке B - m2=2.  Найти положение центра масс.

Решение:

Из теоремы следует, что центр данной системы – это такая точка О, которая разделит отрезок АВ в отношении 2 к 1, считая от вершины А.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/14038/959705a2c914ce4ddd3359d058c53c76.png

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/13315/c338d33b1168467c68521f81d0329cc3.png

Ответ: http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/14039/3dac45411bc55ed17c04ba37a64509be.pnghello_html_m1f5dcdaa.png

ЗАДАЧА 2 для самостоятельного решения:

Пусть масса, расположенная в точке A равна 400г, а масса в точке B равна 1400г (см. рис.). Найти центр масс данного отрезка.

Решение: из определения центра масс получаем, что точка O делит отрезок AB в отношении hello_html_m16422a2f.gif = hello_html_289d5bdc.gif . Значит центр масс O делит отрезок так, что 7*АO = 2*BO.



  1. Центр масс системы материальных точек

К примеру, дан треугольник ABC. В точках A, B и C находятся гирьки с массами соответственно m1m2 и m3. Центр масс данной системы будет

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/14042/00a9e66e737011c4265f39b1e29bf315.png

Если дана система с несколькими точками, где на каждой из точек существует груз, то вместо любой пары точек можно рассматривать их центр масс, в котором находится суммарная масса исходных двух точек.

Таким образом: центр тяжести данной системы - это центр масс системы из двух точек O и C. Где точка O– это центр масс отрезка AB c массой m1+m2.

Ответ: Центр масс треугольника – это некоторая точка P на отрезке CO.
m=m1+m2+m3.


  1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Задача 3. Дан треугольник ABC с массами mA, mи mC=1. Найти центр масс данного треугольника.

Решение:

Найдем центр масс для точек A и B. В данном случае это будет точка M, которая является серединой отрезка AB, потому что в точках A и B стоят одинаковые массы. В точке M масса будет равна 2.

Таким образом, центр системы – точка O, которая делит отрезок MC в отношении 2/1 от вершины C. Данную аналогию можно провести с каждой вершиной.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/14044/6003c8f5902554e846adf4df6743e015.png

Ответ: В треугольнике есть единственная точка O, которая делит каждую медиану в отношении 2/1 от вершины.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/14048/3a33d1e14ba04f9674921b0c32c1e609.png

Отсюда следует известная теорема о медианах треугольника: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке в соотношении 2/1

Задача 4. Дан треугольник ABC. BM – медиана, AN делит сторону BC в отношении 1/2 от вершины B. AN пересекает BM в точке O. Найти отношение BO:OM.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/14049/ca8543b826460f6a42c2a7a2187a13e8.png

Решение: Расположим в вершинах A и C массы, равные 1, а в вершину B – массу, равную 2. Тогда точка M – центр масс для точек A и C, и концентрирует массу, равную 2. Точка N – центр масс отрезка BC, т.к. BN:NC=1:2 (из условия), а mB:mC=2:1. hello_html_m581f13f1.png

Предположим, что точка O – центр масс для отрезка BM. Тогда она является и центром масс для всего треугольника ABC и концентрирует в себе массу 2+2=4. Если O – центр масс треугольника, то здесь же и центр масс отрезка AN. Проверим это. В точке A сконцентрирована масса 1, в точке N – 3, а в точке O – 4.

1+3=4 , следовательно, O – центр масс отрезка AN и всего треугольника. Тогда отношение BO:OM = 2:2 = 1.

Ответ: BO = OM.

Задача 5. Дан треугольник ABC (рис.7). BM – медиана. Отрезок KP точкой K делит AB в отношении 2:1 от точки А, а точкой P делит отрезок BC в отношении 2:1 от вершины В. Отрезки KP и BM пересекаются в точке O. В каком отношении точка О делит отрезок KP?hello_html_437be54e.png

Решение: Расположим в вершинах А и С массы, равные 2. Рассмотрим отрезок BC. Предположим, что точка Р – центр масс данного отрезка. Определим, какая масса сконцентрирована в точке В.

Пусть она равна х, тогда:

hello_html_m405df2ec.gif= hello_html_m588cbec4.gif.

Получаем, что х = 1, а значит в точке Р масса, равная 3.

Теперь рассмотрим отрезок АВ. Масса в точке А равна 2. Пусть точка К – центр масс данного отрезка, тогда масса, заключенная в точке В равна 4, а в точке К – 6. Значит для всей системы точек в точке В сконцентрирована масса 5.

Допустим, что точка О – центр масс всего треугольника. В точке М сконцентрирована масса 4 (mA = mC = 2, AM = CM, М – центр масс). Значит точка O – центр масс и для отрезка ВМ, а значит в точке О сосредоточена масса 4+5=9. А т.к. точка О принадлежит и отрезку КР, то из предположения о том, что О – центр масс треугольника, получаем, что эта точка – центр масс и для отрезка КР (в точке О сконцентрирована масса, равная сумме масс , расположенных в точках К и Р). А значит, что КО:ОР = 3:6 =1:2.

Ответ: 1:2.

Задача №6.

В треугольнике АВС проведены чевианы ВМ и АN так, что ВN: NC=1:5, а АМ: МС=1:2. Найти ВО:ОМ и АО:ON, где О - точка пересечения чевиан.

img3.gif (1826 bytes) 

Решение. Помещаем в вершину С массу, равную единице. Поскольку точка М делит сторону АС в отношении 1:2, то по правилу рычага в точку А должна быть помещена масса, равная двум. Аналогично в точку В быть помещена масса, равная пяти, т. к. ВN: NC=1:5

1)СМТ 2А,5В,1С с центром масс в точке О.

2) 2A+1C=3M; 5В,3М - СМТ с центром масс в точке О

По правилу рычага ВО:ОМ=3:5

3) 5В+1C=6N; 6N, 2А - с центром масс в точке О

По правилу рычага АО:ОN=6:2=3:1

Ответ: ВО:ОМ=3:5, АО:ОN=6:2=3:1

Задача №7.

В треугольнике АВС проведены чевианы ВМ и АN так, что ВN: NC=1:7, а АМ: МС=2:5. Найти какую часть площади АВС составляет площадь СМОN.

http://festival.1september.ru/articles/581753/img4.gif

Решение.

Помещаем в вершину С массу, равную двум. Тогда по правилу рычага в точку А должна быть помещена масса, равная пяти, так как АМ: МС=2:5. Аналогично в точку В быть помещена масса, равная 14, т. к. ВN: NC=1:7, а в тоске С масса 2.

1)Введем систему материальных точек 5А,14В,2С с центром масс в точке О.

2) 5A+2C=7M; 14В,7М - СМТ с ц.м. в т.О . По правилу рычага ВО:ОМ=7:14=1:2

http://festival.1september.ru/articles/581753/Image702.gif

3) 14В+2C=16N; 16N, 5А - с центром масс в точке О.. По правилу рычага АО:ОN=16:5=3:1

4) SCMON= http://festival.1september.ru/articles/581753/Image703.gif

Задача 8 (С4 ЕГЭ): Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ и ВС (АВ = 5, ВС = 12). Пусть точка J – центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Прямая, проходящая через точку J, параллельна одной из сторон треугольника АВС и пересекает две другие стороны в точках К и Р. Найдите длину отрезка КР.

Решение:hello_html_23ea72b3.png

Треугольник ABC подобен треугольнику KBP, значит

hello_html_1a41b5e6.gif= hello_html_m5a730082.gif, hello_html_mb44ebc6.gif = hello_html_3053a029.gif. Тогда

КР = hello_html_m5dfa24c0.gif.

2-й случай: КР = hello_html_m70857662.gif.

3-й случай: КР = hello_html_7591c566.gif.


Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1. В треугольнике ABC точка к делит сторону BC в отношении 1:4, считая от вершины B. В каком отношении отрезок AK делит медиану BM?

Ответ: 1:2

Задача 2. B треугольнике ABC точки M, N, K расположены соответственно на сторонах AB, AC, BC так, что AM:MB = 1:4, AN:NC = 2:3, CK:KB = 3:2. Отрезки AK и MN пересекаются в точке L. Во сколько раз LK больше AL?

Ответ: 3



Итоги урока: Сегодня на уроке мы познакомились с интересным методом решения геометрических задач - методом масс. А так же узнали интересные факты их жизни создателя этого метода - Архимеда.













Краткое описание документа:

Актуальность темы:   В школьном курсе математики тема «Геометрия масс» не рассматривается. Решения задач на отношение длин  при решении обычными методами получаются достаточно объёмными. Данный метод необходим для рационального решения задач.

Проблема:  поиск рационального способа решения задач

Объект исследования – геометрические задачи на нахождение отношения длин отрезков

Цели: познакомиться с теорией способа решения задач методом геометрии масс, повысить уровень культуры решения геометрических задач, развитие навыков исследовательской работы.

Задачи:

 1.   Дать понятие геометрии масс

 2.   Научиться решать задачи с применением этого метода

 3.   Подготовка к ОГЭ (№26), ЕГЭ(С4) и олимпиадам

Гипотеза: Многие задачи на отношение длин отрезков рациональнее решать с помощью геометрии масс

I.                    ВВЕДЕНИЕ

«…Я счел нужным написать тебе и… изложить особый метод, при помощи которого ты получишь возможность находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем».

Архимед.

 

Послание к Эратосфену «О механических теоремах»

 

Общая информация

Номер материала: 502157

Похожие материалы