Заседание
научного
общества учащихся «Интеграл»
Тема
занятия «Метод масс в геометрии»
28
апреля 2015 года
Учитель
математики: Кондратьева Татьяна Юрьевна
Аудитория:
8,9,10 класс
Актуальность темы:
В школьном курсе математики тема «Геометрия масс» не рассматривается. Решения
задач на отношение длин при решении обычными методами получаются достаточно
объёмными. Данный метод необходим для рационального решения задач.
Проблема:
поиск рационального способа решения задач
Объект исследования
– геометрические задачи на нахождение отношения длин отрезков
Цели:
познакомиться с теорией способа решения задач методом геометрии масс, повысить
уровень культуры решения геометрических задач, развитие навыков исследовательской
работы.
Задачи:
1. Дать понятие геометрии масс
2. Научиться решать задачи с
применением этого метода
3. Подготовка к ОГЭ (№26), ЕГЭ(С4)
и олимпиадам
Гипотеза:
Многие задачи на отношение длин отрезков рациональнее решать с помощью геометрии
масс
I.
ВВЕДЕНИЕ
«…Я счел нужным написать тебе и… изложить особый метод, при помощи
которого ты получишь возможность находить некоторые математические теоремы. Я
уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства
самих теорем».
Архимед.
Послание к Эратосфену «О механических теоремах»
На этом
занятии мы рассмотрим следующую тему – «Метод масс в геометрии».
Родоначальником метода был великий древнегреческий мыслитель
Архимед. Еще в III в. до н. э. он обнаружил возможность доказывать новые
математические факты с помощью свойств центра масс.
Соображения Архимеда были позднее использованы и развиты многими
геометрами (Папп, Чева, Гюльден, Люилье и др.).
Нередко приходится слышать, что рассуждения с использованием
свойства центров масс не могут дать математически строгих решений геометрических
задач (хотя, может быть, и полезны для угадывания правдоподобных ответов к этим
задачам). Однако такое мнение глубоко ошибочно. Понятия механики не только
служат ценным эвристическим средством; облеченные в строгую математическую
форму, они позволяют получать математически безупречные решения задач геометрии
и алгебры.
Первый «сюрприз» Архимеда
Во время осады Сиракуз Архимед построил
множество удивительных приспособлений. Первое — это «Лапа Архимеда»,
уникальная подъемная машина и прообраз современного крана. Внешне она была
похожа на рычаг, выступающий за городскую стену и оснащенный противовесом. Если
римский корабль пытался пристать к берегу около Сиракуз, этот «манипулятор»
захватывал его нос и переворачивал. (вес римских трирем превышал 200 тонн, а у
пентер мог достигать и всех 500), затапливая атакующих.
МАТЕРИАЛЬНАЯ точка - точка, имеющая массу. В механике понятием
материальная точка пользуются в случаях, когда размеры и форма тела при
изучении его движения не играют роли, а важна только масса.
Подскажите псу куда нужно ему пересесть, чтобы качели пришли в
равновесие?
Задача найти в этом случае ту точку, которая уравновесит данные качели.
Принцип центра масс является ничем иным, как законом рычага, с
помощью которого Архимед собирался перевернуть Землю.
II.
Решение задач
Центр масс данной системы двух точек будет такая точка О данного
отрезка, что AO*m1 = BO*m2.
Или соответственно
Таким образом, точка O разбивает наш отрезок в отношении
обратно пропорциональном тем массам, которые находятся в точках A и B.
Задача 1. Дана масса груза, расположенного в точке A - m1=1,
а масса груза, расположенного в точке B - m2=2. Найти
положение центра масс.
Решение:
Из теоремы следует, что центр данной системы – это такая точка О,
которая разделит отрезок АВ в отношении 2 к 1, считая от вершины А.
Ответ:
ЗАДАЧА 2 для самостоятельного решения:
Пусть масса, расположенная в точке A равна 400г, а масса в точке B
равна 1400г (см. рис.). Найти центр масс данного отрезка.
Решение:
из определения центра масс получаем, что точка O
делит отрезок AB в отношении = . Значит центр масс O
делит отрезок так, что 7*АO
= 2*BO.
III.
Центр масс системы
материальных точек
К примеру, дан треугольник ABC. В точках A, B и C находятся гирьки
с массами соответственно m1, m2 и m3.
Центр масс данной системы будет
Если дана система с несколькими точками, где на каждой из точек
существует груз, то вместо любой пары точек можно рассматривать их центр масс,
в котором находится суммарная масса исходных двух точек.
Таким образом: центр тяжести данной системы - это центр масс
системы из двух точек O и C. Где точка O– это центр масс отрезка AB c
массой m1+m2.
Ответ: Центр масс треугольника – это некоторая точка P на отрезке
CO.
m=m1+m2+m3.
IV.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Задача 3. Дан треугольник ABC с массами mA, mB и
mC=1. Найти центр масс данного треугольника.
Решение:
Найдем центр масс для точек A и B. В данном случае это будет точка
M, которая является серединой отрезка AB, потому что в точках A и B стоят
одинаковые массы. В точке M масса будет равна 2.
Таким образом, центр системы – точка O, которая делит отрезок MC в
отношении 2/1 от вершины C. Данную аналогию можно провести с каждой вершиной.
Ответ: В треугольнике есть единственная точка O, которая делит
каждую медиану в отношении 2/1 от вершины.
Отсюда следует известная теорема о медианах треугольника: Все
медианы треугольника пересекаются в одной точке в соотношении 2/1
Задача 4. Дан
треугольник ABC. BM – медиана, AN делит сторону BC в отношении 1/2 от вершины
B. AN пересекает BM в точке O. Найти отношение BO:OM.
Решение: Расположим в вершинах A и C массы, равные 1, а в вершину B –
массу, равную 2. Тогда точка M – центр масс для точек A и C, и концентрирует
массу, равную 2. Точка N – центр масс отрезка BC, т.к. BN:NC=1:2 (из условия),
а mB:mC=2:1.
Предположим, что точка O – центр масс для отрезка BM. Тогда она
является и центром масс для всего треугольника ABC и концентрирует в себе массу
2+2=4. Если O – центр масс треугольника, то здесь же и центр масс отрезка AN.
Проверим это. В точке A сконцентрирована масса 1, в точке N – 3, а в точке O –
4.
1+3=4 , следовательно, O – центр масс отрезка AN и всего
треугольника. Тогда отношение BO:OM = 2:2 = 1.
Ответ: BO = OM.
Задача
5. Дан треугольник ABC
(рис.7). BM – медиана. Отрезок KP
точкой K
делит AB
в отношении 2:1 от точки А, а точкой P
делит отрезок BC в отношении 2:1 от
вершины В. Отрезки KP и BM
пересекаются в точке O. В каком
отношении точка О делит отрезок KP?
Решение:
Расположим в вершинах А и С массы, равные 2. Рассмотрим отрезок BC.
Предположим, что точка Р – центр масс данного отрезка. Определим, какая масса
сконцентрирована в точке В.
Пусть она равна х, тогда:
= .
Получаем, что х = 1, а значит в точке
Р масса, равная 3.
Теперь рассмотрим отрезок АВ. Масса в
точке А равна 2. Пусть точка К – центр масс данного отрезка, тогда масса,
заключенная в точке В равна 4, а в точке К – 6. Значит для всей системы точек в
точке В сконцентрирована масса 5.
Допустим, что точка О – центр масс
всего треугольника. В точке М сконцентрирована масса 4 (mA
= mC
= 2, AM
= CM,
М – центр масс). Значит точка O
– центр масс и для отрезка ВМ, а значит в точке О сосредоточена масса 4+5=9. А
т.к. точка О принадлежит и отрезку КР, то из предположения о том, что О – центр
масс треугольника, получаем, что эта точка – центр масс и для отрезка КР (в
точке О сконцентрирована масса, равная сумме масс , расположенных в точках К и
Р). А значит, что КО:ОР = 3:6 =1:2.
Ответ: 1:2.
Задача №6.
В
треугольнике АВС проведены чевианы ВМ и АN так, что ВN: NC=1:5, а АМ: МС=1:2.
Найти ВО:ОМ и АО:ON, где О - точка пересечения чевиан.
Решение. Помещаем в вершину С массу, равную единице.
Поскольку точка М делит сторону АС в отношении 1:2, то по правилу рычага в
точку А должна быть помещена масса, равная двум. Аналогично в точку В быть
помещена масса, равная пяти, т.
к. ВN: NC=1:5
1)СМТ 2А,5В,1С с центром
масс в точке О.
2) 2A+1C=3M; 5В,3М - СМТ с
центром масс в точке О
По правилу рычага ВО:ОМ=3:5
3) 5В+1C=6N; 6N, 2А - с
центром масс в точке О
По правилу рычага
АО:ОN=6:2=3:1
Ответ: ВО:ОМ=3:5, АО:ОN=6:2=3:1
Задача №7.
В треугольнике АВС
проведены чевианы ВМ и АN так, что ВN: NC=1:7, а АМ: МС=2:5. Найти какую часть
площади АВС составляет площадь СМОN.
Решение.
Помещаем
в вершину С массу, равную двум. Тогда по правилу рычага в точку А должна быть
помещена масса, равная пяти, так как АМ: МС=2:5. Аналогично в точку В быть
помещена масса, равная 14, т.
к. ВN: NC=1:7, а в тоске С масса 2.
1)Введем
систему материальных точек 5А,14В,2С с центром масс в точке О.
2)
5A+2C=7M; 14В,7М - СМТ с ц.м. в т.О . По правилу рычага ВО:ОМ=7:14=1:2
3)
14В+2C=16N; 16N, 5А - с центром масс в точке О.. По правилу рычага
АО:ОN=16:5=3:1
4) SCMON=
Задача 8
(С4 ЕГЭ): Дан прямоугольный треугольник АВС с
катетами АВ и ВС (АВ = 5, ВС = 12). Пусть точка J
– центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Прямая, проходящая через точку
J,
параллельна одной из сторон треугольника АВС и пересекает две другие стороны в
точках К и Р. Найдите длину отрезка КР.
Решение:
Треугольник ABC
подобен треугольнику KBP, значит
= , = . Тогда
КР
= .
2-й
случай: КР = .
3-й
случай: КР = .
Задачи для самостоятельного решения:
Задача 1.
В треугольнике ABC точка к делит
сторону BC
в отношении 1:4, считая от вершины B.
В каком отношении отрезок AK
делит медиану BM?
Ответ: 1:2
Задача 2. B
треугольнике ABC точки M,
N,
K
расположены соответственно на сторонах AB,
AC,
BC
так, что AM:MB
= 1:4, AN:NC
= 2:3, CK:KB
= 3:2. Отрезки AK и MN
пересекаются в точке L. Во сколько раз LK
больше AL?
Ответ: 3
Итоги
урока: Сегодня на уроке мы
познакомились с интересным методом решения геометрических задач - методом масс.
А так же узнали интересные факты их жизни создателя этого метода - Архимеда.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.