«Арифметическая и геометрическая прогрессии в решении практических задач»

Муниципальное образовательное учреждение Воскресенская средняя школа Воскресенского района Нижегородской области

Проект урока по теме

«Арифметическая и геометрическая прогрессии в решении практических задач»

Учитель математики

Кротова Т.Б.

р.п.Воскресенское

Арифметическая и геометрическая прогрессии в решении практических задач

Урок	Алгебра, 9 класс
Тема урока	«Арифметическая и геометрическая прогрессии в решении практических задач»
Тип урока	Урок рефлексии
Цель урока	Закрепление понятий арифметической, геометрической прогрессий; формул n-го члена, суммы n первых членов; развитие умения видеть и применять изученные формулы в решении задач с практическим содержанием
Задачи урока	1.Образовательные (познавательные): - совершенствовать навыки работы учащихся с формулами по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»; -научиться применять формулы в решении задач с практическим содержанием 2. Развивающие: - развивать самостоятельность учащихся; логическое мышление, грамотную речь; -способствовать формированию интеллектуальных умений и владению мыслительными операциями, анализом и синтезом, умением делать выводы, обобщением; -продолжить формирование умения, самоконтроля, взаимоконтроля, развить навыки продуктивного общения со сверстниками 3.Воспитательные:  - воспитывать стремление детей к совершенствованию знаний; - культуру учебного труда; -навыки коммуникативной деятельности
Средства обучения	Учебник А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М, С. Якир «Алгебра» 9 класс. - М.: Вентана-Граф, 2020.
Формы учебной деятельности	Фронтальная, индивидуальная, групповая
Оборудование	Компьютер, мультимедийный проектор, презентация, раздаточный материал

Структура и ход урока

Цель/задачи этапа	Деятельность учителя	Деятельность ученика
Мотивационно-ориентировочная часть
1) Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности  Продолжительность: 1 минута
Включение учащихся в учебную деятельность	Приветствует и мотивирует учащихся на работу словами древнегреческого учёного и философа Аристотеля: «Ум заключается не только в знании, но и в умении прилагать знания на деле».	Слушают слова учителя и настраиваются на работу на уроке.
2) Актуализация знаний и осуществление первичного действия Продолжительность: 5 минут
1) Актуализация изученных способов действий 2) Подготовка мышления учащихся и осознание ими потребности к выявлению причин затруднений при решении заданий	Почитайте высказывания математического диктанта и ответьте истинно оно или ложно? Заполните карту самоконтроля, каждый правильный ответ 0,5 балла.  В арифметической прогрессии 2,4; 2, 6; … разность равна 2 (ложно). В геометрической прогрессии 0,3; 0, 9; … третий член равен 2,7 (истинно). Для нахождения любого члена арифметической прогрессии достаточно знать: a1, d и n (истинно). Последовательность чисел, кратных 5, является геометрической прогрессией (ложно). Последовательность степеней числа 3 является арифметической прогрессией (ложно). 6.Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии равна (ложно).	Выполняют математический диктант. Затем проверяют ответы с выявлением проблем неправильных ответов и их устранением. Заполняют карточку самоконтроля о качестве выполненных заданий. (Приложение 1)
3) Выявление индивидуальных затруднений в реализации нового знания и умения. Продолжительность: 2 минуты
Выявление места и причины затруднений и уточнение в этой связи индивидуальной цели урока	Прочитайте условия задач Задача 1 Семья Маши купила дачный участок, где нет центрального водоснабжения. После покупки осталось 40 тысяч рублей, поэтому они решили выкопать колодец. Работникам за первый выкопанный в глубину метр нужно заплатить 1350 р, а за каждый следующий – на 300 р больше, чем за предыдущий. Хватит ли оставшейся суммы заплатить работникам, если рекомендуемая глубина колодца 12 метров? Задача 2 Бригада сотрудников предприятия «Рельеф» завершила проект по монтажу оборудования для детских площадок в нашем поселке. Директор решить поощрить сотрудников, выплатить премии. Премиальный фонд составляет 16250р. Надо разделить его между четырьмя сотрудниками, согласно доле участия каждого так, чтобы каждый следующий получил в 1,5 раза больше предыдущего. Какую премию получит каждый сотрудник? Какие предложения по их решению? О каких математических понятиях идет речь? Какой способ более рациональный? -Какую тему урока вы бы предложили? - И какие цели поставите?	Отвечают на вопросы учителя, высказывают свое мнение - по действиям - сумма денег за каждый выкопанный метр — это арифметическая прогрессия, значит можно применить формулы Формулируют тему и задачу урока: «Арифметическая и геометрическая прогрессии в решении практических задач» Научиться применять изученные формулы в решении задач с практическим содержанием
Операционально-исполнительная часть
4) Построение плана по разрешению возникших затруднений (поиск способов разрешения проблемы, выбор оптимальных действий, планирование работы, выработка стратегии). Продолжительность 8 минут
Построение проекта выхода из затруднений через усвоение способов действий с проговариванием	Давайте обсудим и запишем решение задач Составим алгоритм решения задач	Обсуждают и записывают решение задач Задача 1. Сумма денег за каждый выкопанный метр — это арифметическая прогрессия Дано: a1 = 1350, d =300, S12 –? Найти . Решение: Sn= n     S12= 12      S12=   36000<40000 Ответ: денег хватит. Задача 2. Сумма премии каждого сотрудника — это геометрическая прогрессия Дано: q=1,5; S4=16250. Найти b1, b2, b3, b4 Решение: 1)    2) b1= 2000, b2= 3000, b3= 2000, b4= 2000 Ответ: премиальный фонд распределится следующим образом: 2000р, 3000р, 4500р, 6750 Алгоритм решения задачи: 1)Определить, какая прогрессия в задаче; 2) Определить, что дано (a1, d, q, an или Sn) 3) Что надо найти (a1, d, q, an или Sn); 4) Записать формулы для соответствующего вида прогрессии. 5) Произвести вычисления для величин, описывающих ситуацию задачи; 6)Вернуться к условию задачи, сделать вывод.
5) Этап включения в систему знаний и повторения. Продолжительность 15 минут
Включение рассматриваемого способа действий в систему изученного, выделение границ применения, установление связей, повторение и закрепление ранее изученного	Примеров на применение прогрессий в разных областях жизни много. Они встречаются повсюду. Но мы даже этого не замечаем. Рассмотрим эти примеры Сейчас вы работаете в группах. Каждая группа получает по одной задаче (5 групп) (Приложение 2) 1 группа Задача №1 (из учебника Магнитского) Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была по дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды. Рассказывает он домашним: «Вот и на мою деньгу денежка бежит. Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. Предложил выгодное дельце, что у меня дух захватывает». «Сделаем, - говорит, - такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить – смешно сказать – всего 1 копейку. А за вторую сотню тысяч – 2 копейки. И так целый месяц, каждый день вдвое больше предыдущего. Находим выгодность сделки. 2 группа Задача №2. Первоначальная цена детских качелей на торгах повышалась несколько раз на одно и то же количество рублей. После третьего повышения цена равнялась 1200 р., а после двенадцатого повышения - 1650 р. Через сколько повышений первоначальная цена удвоилась? 3 группа Задача №3. При поступлении на работу в «Рельеф» будущий сотрудник был ознакомлен с условиями оплаты: в первый год его годовой заработок составит 420000руб, а затем в каждый следующий год будет увеличиваться в 1,2 раза по сравнению с предыдущим. Сотрудник планирует проработать на этом месте не менее 4 лет. Сколько он заработает за 4 года? 4 группа Задача №4: Валерий Петрович приболел, ушел на больничный. Врач прописал принимать лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить Валерию Петровичу, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)? 5 группа Задача №5. К новогоднему празднику Ольга и Андрей решили привести себя в форму. Ольга, вес которой составляет 48 кг при росте 165 см, всегда считала себя чуть полноватой и решила сесть на диету, которая позволяет терять ежедневно 0,3 кг.  Она не знала, что критической массой тела для её роста являются 45 кг. Достигнет ли Ольга этой отметки за двухнедельный   курс диеты? Андрей решил ежедневно выполнять комплекс упражнений с гирей, повторяя упражнения по 16 раз в день. Однако Андрей в первый день выполнил упражнения всего лишь один раз, но каждый следующий день увеличивал количество повторов вдвое по сравнению с предыдущим. На какой день он достигнет планируемой цели?	Обсуждают в группах решение данных задач, записывают на доске найденные решения, представляют решение для другой части класса. Заполняют карточку самоконтроля
6) Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону Продолжительность: 10 минут.
Организация самостоятельного выполнения обучающимся типовых заданий; организация соотнесения работы с эталоном для самопроверки	Задачи с практическим содержанием на прогрессии включены в ОГЭ Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону (Приложение3) Вариант 1 1)В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 28 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в двенадцатом ряду амфитеатра? 2) У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 270 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 10 см? Вариант 2 1) В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображён случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 15 квадратных столиков вдоль одной линии? 2) У Яны есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 320 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 6 см?	Самостоятельно по вариантам решают в тетрадях    предложенные задачи. Проверяют решение и ответы по эталону. Заполняют карточку самоконтроля
Рефлексивно-оценочная часть
7) Этап рефлексии деятельности на уроке. Продолжительность: 2 минуты
Организация оценивания учащимися собственной деятельности	А теперь закончите заполнение таблицы рефлексии. Давайте вернемся к учебной задаче. Выполнили ли мы ее в полном объеме? Где мы можем применить полученные знания? Так как мы ограниченны во времени, то не можем показать все разнообразие задач по прогрессиям на одном уроке.	Анализируют свои успехи и деятельность на уроке. Заполняют таблицу рефлексии, оценивают свою деятельность отметкой. Дети соотносят учебную задачу и её результаты. Отвечают на поставленные вопросы.
8) Информация о домашнем задании Продолжительность: 2 минуты
Организовать обсуждение и записать домашнего задания	1)№880,882(приложеие4) 2)решить задачу с недостающими данными Человек, заболевший гриппом, может заразить четырех человек. Через сколько дней заболеет все население нашего поселка? 3)Индивидуальное домашнее задание (для наиболее мотивированного ученика). В банке предлагают открыть вклад в сумме a рублей под р% годовых на t лет. Есть две стратегии поведения: снимать проценты по вкладу в конце каждого года хранения денег, т. е. полученную прибыль в размере ∙а рублей или прийти в банк один раз - в конце срока хранения вклада. Какой доход можно получить в том и в другом случае. Составить математические модели обоих ситуаций. Решить задачу с конкретными данными: Сбербанк в конце года начисляет 8 % к сумме, находящейся на счету в начале года. Какова будет прибыль по вкладу в 12000 рублей на срок в 4 года, если снимать проценты в конце каждого года; по истечении срока хранения вклада? Спасибо всем за активную работу на уроке!	Воспринимают информацию, записывают в дневники домашнее задание

Приложение 1

Лист самоконтроля

№ п/п	Элементы проверки	Максимальное количество баллов, критерии оценивания	Полученное количество баллов
1	Математический диктант	3 (каждый правильный ответ 0,5 балла)
2	Самостоятельная работа Задача 1	2 (задача решена правильно-2 балла, с вычислительной ошибкой-1 балл)
3	Самостоятельная работа Задача 2	2 (задача решена правильно-2 балла, с вычислительной ошибкой-1 балл)
4	Работа в группе	3 (задача решена правильно, без помощи учителя-3 балла, с вычислительной ошибкой-2 балла, с консультацией учителя – 1балл)
5–6 баллов «3»; 7–8 баллов «4»; 9–10 баллов «5»

Приложение 2

Задачи для работы в группах

Группа №1 (из учебника Магнитского)

Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была по дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды. Рассказывает он домашним: «Вот и на мою деньгу денежка бежит. Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. Предложил выгодное дельце, что у меня дух захватывает». «Сделаем, - говорит, - такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить – смешно сказать – всего 1 копейку. А за вторую сотню тысяч – 2 копейки. И так целый месяц, каждый день вдвое больше предыдущего. Находим выгодность сделки.

Решение: Деньги, отданные богачом незнакомцу, составляют геометрическую прогрессию

 b₁=1, b₂=2, b₃=4, q= 2

Богач-миллионер заплатил незнакомцу:

S₃₀=   =10737418,23копеек 11000000 (рублей)

Незнакомец заплатил богачу: 30∙100000 = 3000000 = 3000000 (рублей)

Убыток 11000000 – 3000000=8000000 (рублей)

Ответ: убыток 8000000 рублей.

Группа №2 Первоначальная цена детских качелей на торгах повышалась несколько раз на одно и то же количество рублей. После третьего повышения цена равнялась 12000 р., а после двенадцатого повышения - 16500 р. Через сколько повышений первоначальная цена удвоилась?

Решение: Деньги, повышаемые каждый раз – арифметическая прогрессия

   b₁+12d=16500

   b₁+3d=12000

   d=500

   b₁=10500

Так как цена товара увеличилась в два раза, то она стала равна 21000 рублей.

21000 = 10500+500(n-1)

500(n-1) = 10500

  n-1 = 21

 n = 20

Ответ: через 20 повышений.

Группа №3. При поступлении на работу в «Рельеф» будущий сотрудник был ознакомлен с условиями оплаты: в первый год его годовой заработок составит 420000руб, а затем в каждый следующий год будет увеличиваться в 1,2 раза по сравнению с предыдущим. Сотрудник планирует проработать на этом месте не менее 4 лет. Сколько он заработает за 4года?

Решение: Ежегодный заработок-геометрическая прогрессия

b₁=420000, q= 1,2, S₄ –?    

S₄=   =2254560(рублей)

Ответ:2254560 рублей

Группа №4. Валерий Петрович приболел, ушел на больничный. Врач прописал принимать лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить Валерию Петровичу, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Решение: количество капель- арифметическая прогрессия
 = 5, d=5,  =?  
: 5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5
а_n = а₁+d(n-1)  
40=5+5(n-1)     

n=8 

S_n= n    
S₈ = (5+40) ·8:2=180; 180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400 (капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

Ответ: 2 пузырька. 

Группа №5. К новогоднему празднику Ольга и Андрей решили привести себя в форму. Ольга, вес которой составляет 48 кг при росте 165 см, всегда считала себя чуть полноватой и решила сесть на диету, которая позволяет терять ежедневно 0,3 кг.  Она не знала, что критической массой тела для её роста являются 45 кг. Достигнет ли Ольга этой отметки за двухнедельный   курс диеты? Андрей решил ежедневно выполнять комплекс упражнений с гирей, повторяя упражнения по 16 раз в день. Однако Андрей в первый день выполнил упражнения всего лишь один раз, но каждый следующий день увеличивал количество повторов вдвое по сравнению с предыдущим. На какой день он достигнет планируемой цели?

Решение:

Ольга: количество потерянных граммов-арифметическая прогрессия

 = 48, d=-0,3, a₁₄-?

a₁₄=48-0,3(14-1) =44,1 

Ольга будет весить 44,1кг, цель достигнет

Андрей: количество упражнений-геометрическая прогрессия

b₁=1, q= 2, b_n=16, n-?

n =5

Андрей на 5 день достигнет планируемой цели.

Приложение 3

Эталон

Вариант 1
1)В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 28 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в двенадцатом ряду амфитеатра?
Дано:             а1=28                         d=3                             Найти:                      а12	Решение: аn=а1+d(n-1)   а12=28+3(12–1) =28+33=61 Ответ 61.
2) У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 270 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 10 см?
Дано: b =270 q= bn <10 Найти: n-?	Решение:           При n=3; При n=4; При n=5; n=5 Ответ n=5 Проверка: b1 =270 b2 =90 b3 =30 b4 =10 b5 =<10 n =5
Вариант 2
1) В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображён случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 15 квадратных столиков вдоль одной линии?
Дано:  а1=4    а2=6 а3=8 Найти: а15 -?	Решение: d= а2- а1 d=6-4=2 аn=а1+d(n-1) а15=4+2(15–1) =4+28=32 Ответ 32.
2) У Яны есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 320 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 6 см?
Дано: b =320 q= bn <6 Найти: n-?	Решение:           При n=6; При n=7; n=7 Ответ n=7 Проверка: b1 =320 b2 =160 b3 =80 b4 =40 b5 =20 b6 =10 b7 =5 n =7

Приложение 4