Авторский вариант пробного ЕГЭ (профильный) уровень 2023г

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Профильный уровень

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 18 заданий. Часть 1 содержит 11 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1–11 записываются по приведённому ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов № 1.

При выполнении заданий 12–18 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов № 2.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой или капиллярной ручки.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. З аписи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

После завершения работы проверьте, чтобы ответ на каждое задание в бланках ответов № 1 и № 2 был записан под правильным номером.

Желаем успеха!

Справочные материалы

                                                       sin²        + cos²          = 1

                                                     sin 2    = 2 sin     cos

                                                  cos 2    = cos²               sin²

sin( + ) = sin cos + cos sin cos( + ) = cos cos sin sin Часть 1

Ответом к заданиям 1–11 является целое число или конечная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предполагаются действительными, если отдельно не указано иное. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

1

В ромбе ABCD угол ABC равен 150 . Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

2

Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы – прямые).

3

то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойти до отметки 1. Ответ:   . Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна

тально была получена зависимость температуры (в K) от времени работы: T (t) = T0 + bt + at2, где t – время (в мин), T0 = 1600 K , a = 5K=мин2, b = 105K=мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1870 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах. Ответ:   .

4

            Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-                                8      Для нагревательного элемента некоторого прибора эксперимен-

            0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправ-                                 9          Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограм-

ную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

мов винограда потребуется для получения 4 килограммов изюма, если виноград содержит 82% воды, а изюм содержит 19% воды? Ответ:   .

       Ответ:                                          .

5

6

7

10 На рисунке изображён график функции f (x) = log_a x. Найдите Найдите корень уравнения x 3 = 4.

       Ответ:  .

21

4          11 Найдите значение выражения               .

Ответ:

              Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)          =

, где x – расстояние от точки отсчета в метрах,

t – время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 40 м/с?

       Ответ:  .

11

Часть 2

Для записи решений и ответов на задания 12–18 исполь- 16 В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и зуйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Запишите сначала номер BC соответственно так, что AM : MB = CN : NB = 2 : 3. выполняемого задания (12, 13 и т.д.), а затем полное обос- Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается отрезка нованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко MN в точке L . и разборчиво.

а) Докажите, что AB + BC = 4AC . p

12

           а) Решите уравнение log₂(4x⁴ + 28) = 2 + log^p ₂               5x² + 1.      б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC,

если .

       б)    Укажите    корни    этого    уравнения,     принадлежащие    отрезку

;  .

17                 

Найдите все значения a, при каждом из которых система

13

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярp

ны, а AB = BC = AC = 5               2. а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 2 : 3: Найдите площадь сечения MNB.

(                2 + (y        4)2 = 9; (x   4) y = jx aj + 1 имеет ровно три различных решения.

14

18                  Имеются каменные глыбы: 50 штук по 700 кг, 60 штук по 1000 кг Решите неравенство 12^x                  8^x                   2 6^{x+ 1} + 3 4^{x+ 1} + 32 3^x            2^{x+ 5} 6 0: и 80 штук по 1500 кг (раскалывать глыбы нельзя).

15

а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 65 грузовиках, Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик

вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 1 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше 10 млн рублей.

выбранные глыбы поместятся? б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 43 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся? в)Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

Система оценивания экзаменационной работы по математике

(профильный уровень)

Каждое из заданий 1–11 считается выполненным верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Верный ответ на каждое задание оценивается 1 баллом.

№	Правильный ответ		Р еш ение
1		15
2		15
3		0,5
4		0,059
5		67
6		121
7		6
8		3
9		18
10		4
11		55
12		p а)              б)
13		p              б) 3    6
14		(1; 0] [ [2; 3]
15		6
16		б) 3
17	f 7	p                                   p 3       2g [ f4g [ f1 + 3      2g
18		а) да б) нет в) 44

Решения и критерии оценивания выполнения заданий с развёрнутым ответом

Количество баллов, выставленных за выполнение заданий 12–18, зависит от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным; все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается 0 баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

При выполнении задания могут использоваться без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.

Вариант составил:
Р епетитор	Пежиров Иван
Образование	Аспирантура СПбГУ
С таж	Преподаю с 2014
	boosty.to/pezhirovschool
П роф иль	vk.com/pezhirov.ivan
Г руппа	vk.com/pezhirovschool
Т елеграм	t.me/pezhirovschool
Y ouT ube	youtube.com/@pezhirovschool

Содержание критерия Б аллы Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах 2 Обоснованно получен верный ответ в пункте ИЛ И получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2

Содержание критерия Б аллы Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б 3 Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛ И имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки 2 Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛ И при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛ И обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 3

Содержание критерия Б аллы Обоснованно получен верный ответ 2 Обоснованно получен верный ответ, отличающийся от верного исключением / включением граничных точек ИЛ И получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2

Содержание критерия Б аллы Обоснованно получен верный ответ 2 Верно построена математическая модель 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2

Содержание критерия Б аллы Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б 3 Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛ И имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки 2 Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛ И при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛ И обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 3

Содержание критерия Б аллы Обоснованно получен верный ответ 4 C помощью верного рассуждения получены верные значения параметра за исключением конечного числа точек или решение недостаточно обосновано 3 С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра 2 Задача сведена с графическому или аналитическому решению 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 4

Содержание критерия Б аллы Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты 4 Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 3 Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 2 Верно получен один из следующих результатов: –                     обоснованное решение пункта а; –                     обоснованное решение пункта б; –                     искомая оценка в пункте в; –                     пример в пункте в, обеспечивающий точностьпредыдущей оценки 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 4