Банковские задачи и школьная пргрессия

Окунев О. Б., 

Черновская СОШ

Банковские задачи и школьная прогрессия 

Часть II

Алгоритм решения задачи 17 

Математика‐ЕГЭ, профильный уровень

Экономическая задача на кредит является единственной задачей из всего задания ЕГЭ, которая несет в себе не только дидактическую нагрузку, но и имеет важную практическую пользу. В настоящее время любой человек должен уметь самостоятельно построить график погашения кредита, и это умение относится к базовому уровню финансовой грамотности.

Приведенное ниже решение полезно еще и тем, что его методика может быть легко реализована как в простейшей таблице Excel, так и на уроках изучения языков программирования.

Условие задачи:

В июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

‐ каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

‐ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

‐ в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей;

‐ выплаты в 2026 и 2027 годах равны;

‐ к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.

На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?

Решение.

Шаг 1. Построим таблицу – график погашения долга

	Начало  года	Начислили %% = 10%	Внесли до 1 июля	Долг уменьш.  на сумму:	Остаток долга на конец года
	a	b	c	d	e
1	2022
2	2023
3	2024
4	2025
5	2026
6	2027

Шаг 2. Заполним ячейки, значения которых нам известны из условия.

1)     Кредит берется в июле 2022, следовательно, e1 = 1 050 000.  Ячейки b1, с1 и d1 останутся пустыми.

2)     В январе 2023 на эту сумму e1 будет начислено 10%, следовательно, b2 = 105 000.

3)     Долг на конец 2023, 2024 и 2025 года должен быть равен 1 050 000, следовательно, e2 = e3 = e4 = 1 050 000  4) Естественно, b3 = b4 = b5 = 105 000

Вот что должно получиться после шага 2:

	Начало  года	Начислили %% = 10%	Внесли до 1 июля	Долг уменьшится  на сумму:	Остаток долга на конец года
	a	b	с	d	e
1	2022				1 050 000
2	2023	105 000			1 050 000
3	2024	105 000			1 050 000
4	2025	105 000			1 050 000
5	2026	105 000
6	2027

Шаг 3. Произведем промежуточные расчеты, о которых говорится в условии.

5)       Ячейка c2: Процент начислен и платеж внесен, а долг не изменился. Это означает, что был внесен только процент, следовательно, с2 = 105 000; и d2 = 0.

6)       Аналогично, поскольку e2 = e3 = e4, то с3 = с4 = 105 000; и d3 = d4 = 0.

	Начало  года	Начислили %% = 10%	Внесли до 1 июля	Долг уменьшится  на сумму:	Остаток долга на конец года
	a	b	c	d	e
1	2022				1 050 000
2	2023	105 000	105 000	0	1 050 000
3	2024	105 000	105 000	0	1 050 000
4	2025	105 000	105 000	0	1 050 000
5	2026	105 000
6	2027

Шаг 4. Введем искомую переменную R – платежи 2026 и 2027 года

7)       В июле 2026 внесли платеж R = это ячейка с5. 

Эта сумма R состоит из двух частей – она должна погасить проценты в размере 105 000, а также уменьшить главный долг на сумму

                                                                      d5      c5     b5      R     105 000

8)       Следовательно, главный долг на конец 2026 года (ячейка e5) должен быть равен

                             е5      е4     d5      1 050 000       R     105 000        1 155 000     R  

9)       В январе 2027 года на остаток долга е5 начисляем процент. Это ячейка b6:

                                  b6      10% от е5      0,1 1 155 000      R        115 550     0,1 R

10)   Платеж 2027 тоже равен R, т. е. с6 = R. 

Следовательно, долг должен уменьшиться на сумму

                                   d6      c6     b6      R       115 500     0,1R        1,1 R     115 500

В итоге:

	Начало  года	Начислили %% = 10%	Внесли до 1 июля	Долг уменьш.  на сумму:	Остаток долга на конец года
	a	b	C	d	e
1	2022				1 050 000
2	2023	105 000	105 000	0	1 050 000
3	2024	105 000	105 000	0	1 050 000
4	2025	105 000	105 000	0	1 050 000
5	2026	105 000	R	R – 105 000	1 155 000 – R
6	2027	115 500 – 0,1 R	R	1,1 R – 115 000	0

Шаг 5. Составим главное уравнение задачи и решим его.

11)   По требованию задачи в 2027 году долг должен быть погашен полностью, т. е.  

                                                                                               е5      d6

Уравняем их:
1 155 000         R Откуда легко получаем, что	1,1 R      115 500
2,1 R	1 270 500

                                                                                          R      605 000

12)   В ответе требуется указать разницу между последним и первым платежом:

                                                                   605 000     105 000      500 000

Ответ: 500 000

Выводы.

Рассмотренное решение представляет собой железный алгоритм, который опирается на простейшие арифметические действия и исключает вероятность ошибочного формирования главного уравнения. 

В режиме реального времени заполнение чуть более 20 взаимосвязанных ячеек в таблице должно занимать 5‐7 минут.

∎∎∎∎

[e-mail]

Январь 2021

[phone]

Краткое описание документа:

В части II настоящей статьи на примере задачи 17 раскрывается алгоритм разработки схемы погашения кредита (амортизации долга), который реально используется в практике коммерческих банков. Статья является естественным продолжением части I, в которой были изложены решения задач о простом и пополняемом депозите и показаны их связи со школьной математикой.