Беседа по заданию 8класс

«Докажите, чтоне является рациональным числом».

(По учебнику «Алгебра-8» под ред. Теляковского)

Данное задание рассматривается в теме «Иррациональные числа» (на которую отводится 1 час)  более общей темы «Действительные числа» (на которую отводится 2 часа по программе Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка и др.).

Ученикам уже известно: понятие рациональных чисел, понятие рациональных дробей, их свойства.

При изучении темы, в которой приводится данное задание, ученикам предстоит узнать понятие рациональных чисел.

Цель задания: Данное задание используется учителем на уроке как мотивационное к изучению темы «Иррациональные числа». После его выполнения у учеников возникает вопрос: «А каким же тогда является число , если оно не является рациональным?»

Это задание учитель выполняет совместно с учащимися, используя фронтальную работу.

Метод обучения, используемый при выполнении задания – беседа аналитико-синтетического характера (эвристическая беседа).

Задание: Докажите, что   не является рациональным числом» (формулировка задания записана на доске).

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

-Ребята, прежде чем начать доказательство, скажите, какое число называется рациональным? (спрашивает одного из учащихся) -Переформулируйте наше задание, используя определение рационального числа (спрашивает одного из учащихся, если учащиеся затрудняются, помогает им переформулировать задание) -Верно ребята. Доказательство того, что   нельзя представить в виде несократимой дроби , где m-целое число, n-натуральное число, мы произведем новым для вас методом, который называется методом доказательства «от противного». Метод доказательства «от противного» включает в себя несколько этапов: (этапы записаны на боковой доске): 1. Делают утверждение «противное», или противоположное тому утверждению, которое требуется доказать. (Этим обусловлено название метода доказательства) 2. Осуществляют доказательство, опираясь на это противоположное утверждение, и приходят к противоречию со сделанным предположением. 3. Делают вывод: если сделанное «противоположное» утверждение неверно, значит исходное утверждение истинно. Рассмотрим пример: задание стоматологу: «Доказать, что у пациента не болит зуб». Врач проводит доказательство методом от «противного»: 1. (делает предположение, «противное» исходному утверждению) - Предположим, у вас болит зуб. 2.(Осуществляет доказательство на основе сделанного предположения и приходит к противоречию)  -Если у вас болит зуб, то это сопровождается болью, температурой,  иногда головной болью. У вас нет температуры и болей,  значит, предположение о том, что у вас болит зуб – неверно. 3.(делает вывод) -Следовательно, верно исходное утверждение о том, что у вас не болит зуб. -Чаще всего метод «от противного» используется для того, чтобы доказать, что объекта с заданными свойствами не существует. Следует заметить, что прямое (т.е. «не от противного») доказательство таких утверждений гораздо сложнее. (Далее идет беседа аналитико-синтетического характера, в ходе которой учитель спрашивает отдельных  учеников и делает необходимые записи на доске) - Итак, ребята, докажем, что   нельзя представить в виде несократимой дроби , где m-целое число, n-натуральное число, методом «от противного». Какое предположение мы сделаем? -Как это утверждение можно записать, используя определение рационального числа? -Выразим 7 из этого равенства? - Возведем выражение, стоящее в скобках, в квадрат: -Выразим : -делится на 7? -Почему? -А  делится на 7? -Почему? -А если  делится на 7, то  делится на 7? -Давайте представим в виде произведения двух множителей, каждый из которых равен : . Если произведение делится на некоторое число, то один из его множителей делится на это число, значит, в нашем случае  делится на 7. - Пойдем дальше. Если  делится на 7, то его можно представить в виде: (по свойству делимости) Подставим  в равенство . -Возведем выражение, стоящее в скобках, в квадрат и разделим обе части равенства на 7. -7 делится на 7? -Почему? -А  делится на 7? -Почему? -Если  делится на 7, то  делится на 7? Рассуждайте как в случае с . -Ребята, в ходе доказательства мы получили, что  и  делятся на 7, а это значит, что дробь  сократима. Это противоречит нашему предположению о том, что   нельзя представить в виде несократимой дроби , где m-целое число, n-натуральное число. Значит наше предположение неверно. Тогда какое утверждение является истинным? -Верно. Доказательство закончено.

-Рациональным называется число, которое можно представить в виде несократимой дроби , где m-целое число, n-натуральное число. - Докажите, что   нельзя представить в виде несократимой дроби , где m-целое число, n-натуральное число. -Предположим, что   является рациональным числом.  =, где m-целое число, n-натуральное число. 7= 7= Да. Если один из множителей делится на какое-то число, то и все произведение делится на это число. Да. Если одна часть равенства делится на некоторое число, то и другая часть равенства делится на это число. Дети высказывают свои предположения. Да. Если один из множителей делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число. Да. Если одна часть равенства делится на некоторое число, то и другая часть равенства делится на это число. Если  делится на 7, то  делится на 7.  Мы можем представить  в виде произведения двух множителей, каждый из которых равен : . Если произведение делится на какое-то  число, то один из его множителей делится на это число, значит в нашем случае  делится на 7.   не является рациональным числом.

В ходе беседы с учащимися учитель одновременно оформлял запись

доказательства на доске, проговаривая обоснование каждого шага доказательства (оно приводится выше в таблице), а учащиеся у себя в тетрадях:

Доказательство:

Метод -  «от противного»:

1. Предположим, что   -  рациональное число, тогда

2. ,  ,  .

3.  делится на 7, значит,  делится на 7.

4.  делится на 7, значит и  делится на 7

5.  делится на 7, значит  

6. Подставим , в :

   

    

    

7.  делится на 7, значит,  делится на 7.

8.  делится на 7, значит и  делится на 7.

9. из п.4 и п. 8:  делится на 7 и  делится на 7, значит - сократимая дробь. Получили противоречие, следовательно,   не является рациональным числом.                                                                                                                                   Что и требовалось доказать.