Бинарный урок математики и искусства «Золотое сечение в математике и искусстве»

Бинарный урок математики и искусства в 10 классе

Тема: «Золотое сечение в математике и искусстве»

Учителя: Титова Елена Владимировна(математик)

                 Александрова Алла Васильевна(МХК)

г.Ялта  2016

Цель:

рассмотрение на обширном материале от античных времён до наших дней путей взаимодействия и взаимообогащения двух великих сфер человеческой культуры – науки (математики, биологии, анатомии) и искусства.

Задачи:

 формулировать  основные свойства золотого сечения;

 расширение представлений о сферах применения математики: показ фундаментальных закономерностей математики как формообразующими в архитектуре, поэзии, живописи, повседневной жизни и т.д.;

осознание связи мира искусства и мира чисел;

проведение эксперимента по интуитивному восприятию феномена золотого сечения;

обобщение полученных данных.

Практический материал: публикации по теме, картины, скульптурные и архитектурные изображения, поэтические произведения.

Организационный момент:

Учитель М Здравствуйте сегодня у нас с вами необычный урок  вместе мы проведём исследование взаимосвязи закона Вселенной в природе, искусстве и математике определив понятие «золотого сечения»

Учитель МХК:Тайну золотого сечения пытались осмыслить Платон, Евклид, Пифагор, Леонардо да Винчи, Кеплер и многие другие крупнейшие мыслители человечества. Они неразрывно связывали золотое сечение с понятием всеобщей гармонии, пронизывающей вселенную от микромира до макрокосмоса. Созданное давно Золотое сечение до сих пор волнует умы многих ученых.

Учитель М Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a:b=b:c или с:b=b:а

Учитель МХК:Древнейшим литературным памятником, в котором встречается деление отрезка в отношении золотого сечения, являются «Начала» Евклида(3 век до н. э.) Но золотое сечение было известно и до Евклида. О нем знали Пифагор и его ученики (6 век до н. э.) (показ египетских пирамид)Эта фигура – символ здоровья служила опознавательным знаком для пифагорийцев. Например, архитектура.

Учитель М:Афинский скульптор Фидий (5 век до нашей эры) считал самым гармоничным отношением золотое сечение, которое использовал для возведения величественных греческих храмов.И среди первое место по праву принадлежит Парфенону.

Золотое сечение в пропорциях Парфенона 

Это древнее сооружение с его гармоническими пропорциями дарит нам эстетическое наслаждение.Даже сейчас, когда он стоит в развалинах, Парфенон в Афинах –это одно из самых знаменитых сооружений в мире. Он был построен в эпоху расцвета древнегреческой математики.Мы видим на рисунке, каким образом фасад Парфенона вписывается в прямоугольник, стороны которого образуют так называемое «золотое сечение.»

Учитель МХК:Золотое сечение – длина прямоугольника больше его ширины в 1,618 раза. Вычислить точно значение нельзя, так как это иррациональная дробь. Греки же умели строить золотые прямоугольники, а на их основе архитектурные сооружения, но не умели находить длины их сторон Давайте попробуем с вами сейчас построить так называемый золотой прямоугольник.

Практическая работа № 1

«Построение «золотого прямоугольника» Прямоугольник.

Любой прямоугольник, стороны которого относятся как 1:1,618 называется золотым! И его вы построили.

Ученик:К началу эпохи Возрождения усилился интерес к золотому сечению. Автором книги «Божественная пропорция» был крупнейший математик 15 века итальянец Лука Пачоли. Иллюстрировал книгу великий Леонардо да Винчи. Именно он ввел термин «золотое сечение».Посмотрите на Джаконду. Это самая прославленная картина во всей истории живописи. Написанная почти пять столетий назад она  стала сенсацией XX века. Посмотрите на ваших партах распечатанные репродукции «Моны Лизы». Посмотрим на другие произведения: там, где присутствует золотое сечение - лицо гармонично и привлекательно. Золотая пропорция отвечает не только делению тела на две неравные части линией талии. Оно обозначается через Ф по первой букве афинского скульптора Фидия. 

Что есть человек? Он только частица, Только атом в громадной природе. А чем частица может гордиться? Нечем частице гордиться вроде. Когда человек творит вдохновенно, Он в это время один в целом свете, И в эти часы и в минуты эти Он равен всей бесконечной  вселенной.

Ученик 2: Любой человеческой деятельности присущи три отличительных особенности: форма и отношения, - и все они подчиняются последовательности Фибоначчи.                                                                                                                                             Эллиотт

    С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика Фибоначчи. Ряд чисел 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том что каждый её член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так 21:34=0,617, а 34:55=0,618.

Учитель М:Задача :Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет др. пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения. Ясно, что если считать первую пару кроликов новорожденными, то на второй месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц- 1+1=2; на 4-й- 2+1=3 пары ( ибо из двух имеющихся пар потомство дает лишь одна пара); на 5-й месяц- 3+2=5 пар (лишь 2 родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на 5-й месяц); на 6-й месяц- 5+3=8 пар (ибо потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и т. д. Таким образом, выстраивается последовательность Фибоначчи. «Золотое сечение» встречается в растительном мире. Рассматривая расположение трёх подряд идущих пар листьев на  общем стебле растения, можно заметить, что между первой и третьей  парой вторая  находится в месте « золотого сечения».(показ рисунка ветки, моллюска и морской звезды)

Учитель МХК:Пропорции человеческого тела. Сечение выражает среднестатистический закон : деление тела точкой пупа- один из основных показателей золотого сечения. Немецкий профессор Цейзинг в середине 18 столетия проделал огромную работу :  он измерил более 2000 тел и высказал  предположение, что  золотые пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения    13:8=1,625. Пропорции золотого сечения проявляются  и  в отношении других частей тела – длина плеча , предплечья и кисти, кисти и пальцев  и т. д.

Учитель М:Закон золотого сечения просматривается в количественном членении человеческого тела, соответствующем числам ряда Фибоначчи. Морфогенез кисти приближается к золотому сечению 1,618, поскольку 8:5=1,6. Сопоставляя длины фаланг пальцев и кисти руки в целом, а также расстояния между отдельными частями лица, можно найти «золотые» соотношения.

Учитель МХК:Пропорции в поэзии. Одно из последних стихотворений Пушкина "Не дорого ценю я громкие права …" состоит из 21 строки и в нем выделяется две смысловые части: в 13 и 8 строк.

Не дорого ценю я громкие права,

 От коих не одна кружится голова.

 Я не ропщу о том, что отказали боги

 Мне в сладкой участи оспаривать налоги

 Или мешать царям друг с другом воевать;

 И мало горя мне, свободно ли печать

 Морочит олухов, иль чуткая цензура

 В журнальных замыслах стесняет балагура.

 Все это, видите ль, слова, слова, слова.

 Иные, лучшие, мне дороги права:

 Иная, лучшая, потребна мне свобода:

 Зависеть от царя, зависеть от народа -

 Не все ли нам равно? Бог с ними.

 Никому

 Отчета не давать, себе лишь самому

 Служить и угождать; для власти, для ливреи

 Не гнуть ни совести, ни помыслов, ни шеи;

 По прихоти своей скитаться здесь и там,

 Дивясь божественным природы красотам,

 И пред созданьями искусств и вдохновенья

 Трепеща радостно в восторгах умиленья,

 Вот счастье! Вот права ...

 Характерно, что и первая часть этого стиха (13 строк) по смысловому содержанию делится на 8 и 5 строк, то есть все стихотворение построено по законам золотой пропорции.

Экспериментально-аналитическая (практическая)часть

Учитель М: Гипотеза об истоке золотого сечения. Пентаграмма – пятиконечная звезда.В истории математики тесно связаны золотое сечение и правильные пятиугольники. Последний в житейской практике называют пятиконечной звездой, а в науке - пентаграммой.В III в. до н. э. Евклид рассматривал пропорцию, которую мы ныне называем золотым сечением, во II книге своих "Начал", а в следующих книгах использовал эту Пропорцию для построения правильного пятиугольника, десятиугольника, а также таких многогранников, как додекаэдр и икосаэдр.

Учитель МХК:И. Кеплер (1571-1630) в произведе­нии "О шестиугольных снежинках" писал: "Построение пятиугольника невозможно без той пропорции, которую современные математики называют божественной"

Во времена Кеплера эпитетами "боже­ственная", "чудесная", "превосходнейшая" награждали именно золотое сечение.

Попробуем построить пентаграмму – пятиконечную звезду.

Учитель М:1.  Начертим окружность, разделим ее на пять равных  частей

       2.  Соединим последовательно точки деления,

       3.  Полу­чим пятиугольник АВСОЕ с равными сторонами  и углами.

        4.  Проведем в нем диагонали.

        5.  А теперь обнаруживаем, что получили пятиконечную звезду.

Теперь заметим, что если из вершины каждого из равнобедренных треугольников ДАС, ЕВД, АСЕ, БДА, СЕВ провести биссектрису (медиану, высоту), то все они пересекаются в одной точке О - центре описанной окруж­ности.

Рассмотрим отрезки АК,КЛ,АЛ.

По рисунку видим , что точка К делит отрезок АЛ в золотом отношении, т.е

АЛ : АК = АК : КЛ = 1,6….

Получили , что эти отрезки связаны золотым отношением.

Все отрезки на сторонах пентаграммы составлены по закону золотого сечения, причем оно на каждой стороне присутствует двоекратно.

Проведение эксперимента.Анализ результатов измерений.

Рефлексия. Выводы.

Учитель МХК:Сегодня мы выявили основные математические истоки пропорции «золотого сечения» и способы ее воплощения в искусстве, культуре, науке. В ходе работы  познакомились с понятием «золотого сечения», гармоничными основами строения живого мира, классическими принципами построения в искусстве .

Учитель М: «Там где красота там действуют законы математики»Г.Харди. Многие предметы неживой природы, представители живой природы, произведения искусства,  отвечают принципам «золотого сечения».И с чего мы делаем вывод, что сам закон Вселенной подчиняется «золотому сечению».И сейчас вы в этом убедитесь просмотр видеоролика

Домашнее задание.  Выставление оценок учащимся.

Литература:

1. Учебник по геометрии для 10-11 класса. М.: Мнемозина,2007   
2. Васильченко К.В. «Путешествие в страну «Я». –Д.: Сталкер, 1998. – 448с.
3. Виленкин Н.Я., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.Математика: учебник для 5 класса.- М.: Мнемозина,2007.-280с.
4. Леман И.Увлекательная математика. Пер.с нем.– М.: Знание,  1985.-272с.
5. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся. –М.: Просвещение, 1984. -160с.
6. Шуба М.Ю. Занимательные задания в обучении математике: Книга для учителя. – М.:Просвещение,1994.-222с.

                 7. Книга для учителя «Я иду на урок математики» 11 класс.

                 8. Приложение к газете «Первое сентября» «Математика» 2000 г.

                 9. Журнал «Завуч. Управление современной школой» № 2 2006 г.

 

Краткое описание документа:

рассмотрение на обширном материале от античных времён до наших дней путей взаимодействия и взаимообогащения двух великих сфер человеческой культуры – науки (математики, биологии, анатомии) и искусства.

формулировать основные свойства золотого сечения;

расширение представлений о сферах применения математики: показ фундаментальных закономерностей математики как формообразующими в архитектуре, поэзии, живописи, повседневной жизни и т.д.;

осознание связи мира искусства и мира чисел;

проведение эксперимента по интуитивному восприятию феномена золотого сечения;

обобщение полученных данных.