Бинарный урок по математике на тему "Производная и ее применение" (11 класс)

         Тема: Производная и ее применение.

         Цель урока: Обобщить и систематизировать знания учащихся по теме. Повысить познавательную деятельность учащихся путем применения различных типов решения прикладных задач по математике и физике. Формировать единую научную картину мира. Развивать логическое, абстрактное мышление, поисковую активность, скорость, смекалку, умение четко выражать свое мнение; умение ориентироваться в нестандартных ситуациях. Воспитывать трудолюбие, волю, настойчивость и ответственность в сотрудничестве; чувство взаимопомощи, своей значимости в коллективе. Повысить роль знаний для самореализации и саморазвития.
         Тип урока:  систематизация и обобщение знаний (урок с использованием метода проектов).

         Оборудование: мультимедийный проектор, портреты математиков, таблицы, выставка научно-исследовательских работ, рефератов, учебники, дерево ожиданий (новогодняя елка).

Ожидаемые результаты

                После этого урока ученики смогут:

-       находить наибольшее и наименьшее значения функции;

-       исследовать функцию и построить ее график;

-       составлять уравнения касательной к графику функции;

-       решать задачи по физике.

Структура урока

1.     Организационный момент.

2.     Сообщение темы урока и ожидаемых результатов.

3.     Мотивация.

4.     Представление необходимой информации.

5.     Актуализация опорных знаний.

6.     Восприятие и усвоение знаний. Интерактивное упражнение «Защита проектов».

7.     Физкультминутка.

8.     Итог урока.

9.     Домашнее задание.

Ход урока

1.     Организационный момент. Девиз урока:

«Если человек не знает, к какой пристани он держит путь, для него ни один ветер не будет попутным»

Сенека

Интерактивное упражнение реклама «Производная».

         Раздел математики, в котором она изучается, называют дифференциальное исчисление. Остроградский М. В. о нем сказал: «Что может быть проще от дифференциального исчисления для читателей, хоть немного знакомых с математическими науками?». Исаак Ньютон называл ее флюксия. Геометрический смысл ее – касательная к графику функции, физический – мгновенная скорость.

         Открытию ее находились работы выдающихся математиков Пьера де Ферма, Декарта, Исаака Ньютона, Готфрида Вильгельма фон Лейбница, Гийома Франсуа Антуана де Лопиталя, Леонарда Эйлера, Эдмунда Галлея. Ее обозначение ввел французский математик Жозеф Луи Лагранж.

         С ее помощью исследуют функции и строят графики, находят наименьшее и наибольшее значения площадей, периметров, длин предметов, имеющих скорость, ускорение, силу, энергию тел. Все это поможет сделать ее Величество производная!

2.     Сообщение темы и ожидаемых результатов.

3.     Мотивация.

Притча «Не потерял, а нашел»

         Когда сыну исполнилось двенадцать лет, отец дал ему новую лопатку и сказал:

         - Иди, сынок в поле, измерь участок площадью сто ступеней вдоль сто ступеней поперек и вскопай.

         Пошел сын в поле, отмерил участок и стал копать. А копать он еще не умел. К концу работа пошла все лучше и лучше. Но, когда сын вонзил лопату в землю, чтобы перевернуть последнюю горсть почвы, лопата сломалась.

         Вернулся сын домой, а на душе неспокойно: «Что скажет отец за сломанную лопату?».

- Простите меня, отец, - сказал сын. - Я допустил потерю в хозяйстве. Лопата сломалась.

- А копать ты научился? Копать тебе в конце было трудно или легко?

- Научился, и копать в конце мне было легче, чем в начале.

- Значит, ты не потерял, а нашел.

- Что же я нашел, отец?

- Желание трудиться. Это величайшая находка!

4.     Представление необходимой информации.

Сегодня наша задача – систематизировать и обобщить знания по теме «Производная».

5.     Актуализация опорных знаний.

Провожу в форме интерактивной упражнения «Мозговой штурм». Ученики по очереди отвечают на вопросы или комментируют ответы устных упражнений. Рассмотрим таблицы:

1)    Определение производной.

2)    Геометрический смысл.

3)    Физический смысл.

4)    Как найти производную суммы, произведения, частного, сложной функции?

5)    Таблица производных.

6)    Уравнение касательной.

7)  Вспомним формулы по физике:  ;  ;  ;  .

6.     Восприятие и усвоение знаний. Интерактивное упражнение «Защита проектов».

Преподаватель. Вы повторили теоретический материал, чтобы воспринимать информацию, которую подготовили ваши друзья. Заранее вы объединились в группы знатоков: «Историки», «Математика», «Физики». Каждая группа получила задание: разработать дополнительную литературу, справочники, Интернет и найти задачи прикладного характера, а также исторический материал о происхождении производной. Собранный материал вы оформили в виде презентаций. Итак, слово «Историкам».

         Группа «Историки». Мы получили задание собрать сведения об исследовании дифференциального исчисления, а также об ученых, внесших вклад в его развитие. Работая над проектом, мы поняли, что

«Гений состоит из 1% вдохновения и 99% - потение»

Эдисон Т. А.

Убеждены, что производная - одно из фундаментальных понятий математики.

         Открытию производной и основ дифференциального исчисления находились работы французского математика и юриста Пьера де Ферма (17 августа 1601 - 12 января 1665), который в 1629 году предложил способы нахождения наибольших и наименьших значений функций, проведение касательных к произвольным кривых, а также Рене Декарт (31 Март 1596 - 11 февраля 1650), который разработал метод координат и основы аналитической геометрии. Только в 1670-1671 гг. Английский математик и физик Исаак Ньютон (4 января 1643 - 31 марта 1727) и чуть позже (1673-1675 гг.) Известный немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм фон Лейбниц (1 июля 1646 - 14 ноября 1716) независимо друг от друга построили теорию дифференциального исчисления. Исаак Ньютон пришел к производной, решая задачи о мгновенную скорость, а Лейбниц – рассматривая геометрическую задачу о проведении касательной к кривой.

         Производную Ньютон назвал «флюксия», а саму функцию «флюентною» (текучей).

         Термин «lim» впервые находим у Ньютона в 1686 году.

         В 1696 году француз Гийом Франсуа Антуан де Лопиталь (1661 - 1704) издал первый в мире печатный учебник по дифференциального исчисления.

В 1797 году Леонард Эйлер (4 апреля 1707 - 7 сентября 1783) написал учебник «дифференциального исчисления».

         В 1797 году французский математик Жозеф Луи Лагранж (25 января 1736 - 10 апреля 1813) ввел термин «производная», обозначение «».

         С помощью производной была решена много задач теоретической механики, физики и астрономии. Ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что стало триумфом науки XVIII века, а наши родители ее видели в 1986 году. И теперь понятие производной широко применяется в различных отраслях науки и техники.

Группа «Математики». Группа в составе 7 учеников работала под девизом

«Мало иметь хороший ум, главное – это хорошо применять его»

Р. Декарт

Проработав докладную литературу, материалы учебников, мы нашли задачи, которые решаются с помощью производной.

Наиболее характерные задачи на нахождение:

-         промежутков возрастания, убывания функции;

-         экстремумы точки, экстремумы функции;

-         наибольшего и наименьшего значения функции;

-         построение графиков функций и исследование их;

-         решение уравнений и неравенств;

-         составление уравнения касательной к графику функции;

-         приближенного вычисления чисел.

Предлагаем рассмотреть тексты задач на мультимедийной доске и решить их. 

Группа «Физики».  В нашу группу входят 7 учеников, работали под девизом

«Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает, сами науки развиваются под влиянием ее»

Чебышев П. Л.

         Проработав докладную литературу, материалы учебников, мы нашли задачи, которые решаются с помощью производной.

Наиболее характерные задачи на нахождение:

-         скорости и ускорения прямолинейного движения тела или материальной точки;

-         угловой скорости тела вращения;

-         скорости роста массы кристаллов;

-         определение освещенности электрической лампочки;

-         скорости изменения температуры в результате нагрева; теплоемкости вещества;

-         действующей силы на тело, кинетической и потенциальной энергии; выполняемой дана сила;

-         силы тока.

Предлагаем рассмотреть тексты задач на мультимедийной доске и решить их. 

7.     Физкультминутка.

-       Надеть перчатки на каждый пальчик.

-       Снять перчатки.

-       Помыть руки, встряхнуть воду.

-       Ножки на полу, на пятки, на носки.

-       Написать носиком 1 - 10 цифр.

-       Посмотреть, что делают налево, направо.

-       Закрыть глаза, сделать глубокий вдох и выдох.

-       Подумать: «У меня хорошее настроение!».

8.     Итог урока.

Устное обсуждение по вопросам:

1)    Достигли мы цели урока?

2)    Над какой темой работали на уроке?

3)    Что нового узнали?

4)    Какая же дороже находка?

5)    Какие чувства?

6)    Что оказалось сложным на уроке?

         Напишите на снежинке, где можно применить добытую информацию. Украсим нашу елку.

Выбираем и награждаем учеников званием:

-         Лучший на уроке

-         За творчество;

-         За усилия.

9.     Домашнее задание:

1)    Найти  и решить задачи на тему «Использование производной в экономике»

2)    Подготовить сообщение о выдающихся математиков и физиков.