Дипломная работа: «Формирование у младших школьников умения обобщать при обучении решению задач»

Дипломная работа:

«Формирование у младших школьников умения обобщать при обучении решению задач»

Уважаемая комиссия! Тема моего исследования «Формирование у младших школьников умения обобщать при обучении решению задач».

Умение обобщать - важнейшее познавательное универсальное действие, поскольку оно является одним из основных методов познания действительности. Обобщение позволяет изучать отношения между объектами в целом, видеть общие закономерности процесса, не рассматривая каждый случай отдельно. Владение общими способами действий, исследование общих моделей экономит время, снижает нагрузку на память, позволяет прогнозировать результаты однородных процессов с большой степенью точности. Поэтому формирование этого действия является одной из важнейших задач начального курса математики.  Этот факт отмечали в своих исследованиях В.В. Давыдов, А.К. Запорожец, Л.В. Занков и др.

Однако наши наблюдения  показывают, что многие обучающиеся не владеют умениями выполнять обобщения, например, не умеют переносить сформированные у них узкие приемы действий в незнакомые условия. Возможными причинами такого положения дел является построение учебного материала в  действующих учебниках математики. Так, умения решать задачи разных видов в них формируются отдельно друг от друга, выполнение заданий не предусматривает акцентирование внимания учащихся на взаимосвязь между разными видами задач и общность их решения. Именно этим обусловлена актуальность нашего исследования.

Исходя из актуальности, мы сформулировали цель, объект,  предмет и задачи нашего исследования Вы можете видеть эти характеристики на слайдах. Слайды 2-3.

В процессе исследования была сформулирована гипотеза, она на слайде. Слайд 4.

Для проверки сформулированной гипотезы мы проанализировали литературные источники и выявили следующие теоретические положения, легшие в основу разработки комплекса заданий, направленных на формирование общего способа решения задачи и, в конечном счете, умения обобщать. Кратко прокомментируем эти положения. Они представлены на слайдах.

Процесс формирования обобщений подчиняется закономерностям, которые представлены на слайде. Слайд 5.

Для согласования методических рекомендаций мы сделали следующие выводы:

-       Для формирования умственного действия целесообразно выявить его операционный состав;

-       В операционном составе действия определить основные операции;

-       Задания, направленные на формирование действия, разделить на два блока. Учебной задачей первого блока будет являться формирование отдельных операций из состава действия; задача второго блока – формирование действия в целом.

Поэтому нами были выявлены виды обобщений Слайд 6, используемых в начальном курсе математики и их операционные составы Слайд 7. Далее были, в соответствии с закономерностью Артемова, определены основные операции  каждого вида обобщений. На слайде они выделены жирным шрифтом.

С учетом этих фактов мы проанализировали общий алгоритм решения задачи и выявлены этапы ее решения, наиболее благоприятные для формирования операций из состава эмпирического и теоретического обобщений и действия обобщения в целом. Фрагмент сравнительной таблицы приведен на слайде. Слайд 8

На основе выявленных теоретических положений был разработан комплекс заданий, учебной задачей которого было формирование общего способа действия при решении задачи и, в конечном счете, обобщений. Слайд 9.

Время не позволяет привести примеры всех видов задач Слайд 10. Приведем лишь два из них: цель первого задания – формирование у обучающихся умения преобразовывать и конкретизировать модель как составляющей теоретического обобщения (задание первого блока). Второе задание – на осознание общности структуры задач с пропорциональными величинами. 

Для проверки эффективности разработанной нами методики по формированию обобщения как универсального учебного действия в обучении решению задач мы провели эксперимент. До и после формирующего эксперимента обучающимся предлагался тест с заданиями, выполнение которых проверялось по критериям правильности и обобщенности. Результаты эксперимента вы можете видеть на слайдах Слайды 11-12.

По результатам эксперимента можно утверждать, что в ЭК существенно повысился уровень овладения умением решать задачи. В контрольном классе изменения были незначительны.

При решении задач большинство обучающихся экспериментального класса строили различные варианты кратких записей (графические и знаковые модели), которые помогали им получать верные ответы. Это говорит о сформированности умения моделировать (а оно входит в операционный состав теоретического обобщения)

- В процессе проведенного нами эксперимента большинство обучающихся практически овладели умением решать задачи с обобщенными данными ( то есть сформировано действие обобщения в целом).

- Наш эксперимент способствовал формированию умения анализировать содержание задачи, что повлияло на умение младших школьников решать задачи двумя и более способами.

Следовательно, можно сделать вывод о том, что у учеников практически сформировалось общее умение решать задачи. Это означает, что ученики выполнили обобщение способов действий при решении задач разного вида. Все это говорит об эффективности предложенных нами заданий.

Следовательно, можно считать, что гипотеза доказана, а поставленные задачи исследования решены.

Оглавление

Введение. 3

Глава 1 Теоретические основы формирования у младших школьников обобщений в обучении решению задач. 6

1.1 Универсальные учебные действия в структуре познавательной деятельности  6

1.2 Обобщение как универсальное учебное действие. 10

1.3 Механизмы и закономерности формирования обобщений у младших школьников. 14

1.4 Возможности содержательной линии «Текстовые задачи» для формирования обобщений. 23

Выводы по I главе. 31

Глава 2 Методические аспекты формирования у младших школьников умения обобщать при решении задач. 32

2.1 Сравнительный анализ различных подходов к обучению решения задач в начальной школе. 32

2.2 Комплекс заданий по формированию умения младших школьников обобщать на материале арифметических задач. 35

2.3 Эксперимент и его результаты.. 53

Заключение. 70

Библиографический список. 71

 

Введение

Умение обобщать - важнейшее познавательное универсальное действие, поскольку оно является одним из основных методов познания действительности. Обобщение позволяет изучать отношения между объектами в целом, видеть общие закономерности процесса, не рассматривая каждый случай отдельно. Владение общими способами действий, исследование общих моделей экономит время, снижает нагрузку на память, позволяет прогнозировать результаты однородных процессов с большой степенью точности. Поэтому формирование этого действия является одной из важнейших задач начального курса математики.  Этот факт отмечали в своих исследованиях В.В. Давыдов, А.К. Запорожец, Л.В. Занков и др.

Однако наши наблюдения  показывают, что многие обучающиеся не владеют умениями выполнять обобщения, например, не умеют переносить сформированные у них узкие приемы действий в незнакомые условия. Этот факт подтверждается проведенным нами констатирующим экспериментом (см. раздел 2.3).  Возможными причинами такого положения дел является построение учебного материала в  действующих учебниках математики (см. раздел 2.1). Так, умения решать задачи разных видов в них формируются отдельно друг от друга, выполнение заданий не предусматривает акцентирование внимания учащихся на взаимосвязь между разными видами задач и общность их решения. Моделирование процесса решения задачи позволило нам установить, что вскрытие учениками взаимосвязи между разными способами решения одной задачи, структурами задач разного вида возможно в случае, если создать такие условия, в которых ученики будут вынуждены выполнять сравнение, анализ, моделирование, обобщение, то есть активно задействовать мышление, а не память. 

Таким образом, актуальность нашего исследования определяется следующими фактами:

-       целесообразностью формирования умения обобщать как универсального учебного действия, входящего в состав умения учиться;

-       недостаточной разработанностью методики обучения, нацеленной на формирование умения обобщать при решении задач и малым количеством соответствующих заданий в школьных учебниках.

Поэтому целью нашего исследования является разработка методических рекомендаций по обучению  младших школьников обобщениям в процессе решения задач.

Задачи исследования:

1)         изучить состояние обозначенной проблемы в литературных                   источниках и школьной практике;

2)         выявить методические условия успешного формирования у младших школьников обобщений в процессе решения задач;

3)         с учетом выявленных условий разработать  методические рекомендации и комплекс заданий по формированию у учащихся обобщений в процессе решения задач;

4)         проверить экспериментально эффективность и действенность разработанного комплекса упражнений и методических рекомендаций.

Объектом исследования выступает процесс формирования обобщений при решении задач.

Предметом исследования являются методические условия успешного формирования у младших школьников умения обобщать при решении задач.

В процессе исследования у нас возникла следующая гипотеза:

Если в процессе обучения решению задач у младших школьников использовать комплекс заданий, направленных на формирование у них умения обобщать, учитывая при этом психологические закономерности процесса усвоения учебного материала, то уровень сформированности обобщенного решения задач и умения обобщать, а, следовательно, качество математической подготовки учащихся повышается.

Методологическaя основa исследования:

·        исследование по вопросам обучения универсальным учебным действиям в курсе математики начальной школы (Л.П. Стойлова, А.М. Пышкало, С.Е.Царева и др.);

·        исследования психологии мышления детей младшего школьного возраста (Л.С. Рубинштейн, Л.С.Выготский и др.)

Поставленные цель и задачи обусловили выбор следующих методов исследования:

-       теоретические:   анализ психолого-педагогической и методической литературы, моделирование, дедукция;

-       эмпирические: наблюдение, эксперимент

Прaктическaя знaчимость исследования: разработан комплекс заданий по формированию у младших школьников умения обобщать в обучении решению задач.

Исследования проводились по этапам.

  На 1-м этапе проводились изучение и анализ психологической, математической литературы с целью выделения теоретических основ формирования обобщений у младших школьников.

    На 2-м этапе анализировалась методическая литература по проблеме формирования обобщений у обучающихся начальных классов, особенности и структура этого приема, разрабатывались комплексы заданий по формированию у учащихся общего способа решения задач.

На 3-м этапе проводились эксперименты: констатирующий и формирующий с целью проверки эффективности разработанной методики.  

Апробация результатов исследования осуществлялась в учебном году на уроках математики во 2»А» и 2 «Б»  классах  МБОУ Школы № 176 г.о. Самара.

Глава 1 Теоретические основы формирования у младших школьников обобщений в обучении решению задач

 

1.1 Универсальные учебные действия в структуре познавательной деятельности

 

Термин «универсальные учебные действия» был введен в практику образования  авторами-разработчиками  федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования. Ими же была разработана концепция формирования универсальных действий (А.Г. Асмолов, Г.В. Бурменская, О.А. Карабанова, И.А.Володарская, Н.Г.Салмина). Эта концепция разработана на базе  системно-деятельностного подхода.

Дадим подробную характеристику таким действиям.  Для этого рассмотрим понятие деятельности, поскольку действия являются структурными компонентами деятельности. 

Деятельность – это реакция субъекта на внутренние и внешние раздражители. Деятельность человека отличается от поведения животных следующими качествами: деятельность всегда целенаправленна (то есть имеет цель, причем, субъект, осуществляя деятельность, эту цель осознает); она предметна (то есть, направлена на определенный предмет, который может быть как материальным, так и идеальным), деятельность осуществляется с помощью отдельных действий.

В состав деятельности входят следующие компоненты: потребность, мотив, цель, действия, результат (продукт). В зависимости от продукта обычно выделяют игровую, трудовую, учебную деятельности. Для нашего исследования интерес представляет учебная деятельность. Ее продуктом являются новые знания и способы деятельности. В этом она сходна с исследовательской деятельностью, но отличие учебной деятельности от исследовательской в том, что новизна ее результата часто субъективна, то есть знания, способы действий, являющиеся продуктами учебной деятельности, новые только для субъекта учения.  Таким образом, учебная и исследовательская деятельности не являются тождественными понятиями. Их отношение показано на рис.1.

 
 

Рис. 1 – Соотношения понятий «учебная деятельность» и «исследовательская деятельность»

Пересечением этих понятий является учебно-исследовательская деятельность. Она осуществляется с помощью действий, одинаковых как для ученого-исследователя, так и для ученика. В этом случае такие действия играют роль средств получения нового знания.

В литературных источниках отмечается, что в процессе учения дети  выполняют действия двух видов: универсальные и специальные (Е.Н. Кабанова-Меллер, А.В. Усова, Н.Ф.Талызина и др.) Специальными или предметными действиями называются действия, которые используются обучающимися при изучении конкретного содержания. Например, счет предметов является специальным математическим действием. Специальные действия различаются широтой  предметной области, в которой они выполняются. В этом случае их можно назвать узкими или обобщенными предметными действиями. Например, действие образования числа из предыдущего и единицы может быть узким (образование числа в пределах десяти: два, да еще один – получится следующее число 3) и широким, когда ребенок может выполнить его для любого числа. Из приведенных примеров видно, что понятие обобщенности является относительным. Одно и то же действие по отношению к разным условиям может быть узким (частным) и обобщенным. В любом случае узкие или обобщенные специальные (предметные) действия применяются только на одной предметной области.

Универсальные учебные  действия – это действия, которые формируются и применяются учениками во многих предметах и в повседневной жизни. Универсальные действия – это универсальные для многих учебных предметов способы получения и применения знаний, «гибкие по своим свойствам, обладающие свойством широкого переноса действия» (В.В.Краевский, А.В. Усова), в отличие от предметных действий, которые являются специфическими для той или иной предметной области. Они необходимы при решении любых задач, независимо от их конкретного содержания.

Такие действия в некоторых источниках называются метапредметными или надпредметными. Например, умение анализировать используется при изучении литературы (разные виды анализа текста), языка (анализ слова, словосочетания, предложения), математики (анализ содержания задачи) и т.п.

Обе группы умений проявляются при изучении конкретного предметного содержания в единстве (одновременно). При этом универсальные учебные действия остаются незаметными (если на них не обратить специального внимания, что обычно наблюдается в традиционном обучении), они как бы растворяются в предметных действиях. Однако именно они имеют приоритетное значение в развитии обучающихся.

А.К. Артемов приводит следующую психологическую закономерность: «Интеллектуальные действия в обучении выполняют функцию средства и остаются незаметными» [3, с.19]. Это означает, что разделить предметные и универсальные учебные действия достаточно сложно. В то же время игнорирование такого деления в силу приведенной закономерности делает невозможным управление формированием универсальных учебных умений. Поэтому, определяя направления совершенствования содержания образования, в числе перспективных векторов, И.Я. Лернер назвал «включение в состав содержания образования учебных действий, постановку задач подготовки к самообразованию и самостоятельному добыванию и переработки новой информации»

А.Г.Асмолов делит универсальные учебные действия на следующие виды: личностные, регулятивные, познавательные (общеучебные и логические) и коммуникативные [4, с. 73].

Кратко охарактеризуем каждый вид универсальных учебных действий.

Личностные универсальные учебные действия позволяют сделать учение осмысленным, обеспечивают ученику значимость решения учебных задач, увязывая их с реальными жизненными целями и ситуациями. Личностные действия направлены на осознание, исследование и принятие жизненных ценностей и смыслов, позволяют сориентироваться в нравственных нормах, правилах, оценках, выработать свою жизненную позицию в отношении мира, окружающих людей, самого себя и своего будущего. К этому виду действий относятся: смыслообразование, то есть действие установления личностного смысла действия; нравственно-этическое оценивание усваиваемого содержания.

Регулятивные универсальные учебные действия обеспечивают возможность управления познавательной и учебной деятельности с помощью постановки целей, планирования, контроля, коррекции своих действий и оценки успешности усвоения.

Теоретические основы формирования этой группы действий были разработаны С.Л.Рубинштейном, В.А.Сластениным, М.И.Лисиной, Р.С.Немовым и другими.

Познавательные универсальные учебные действия включают действия исследования, поиска и отбора необходимой информации, ее структурирования; моделирования изучаемого содержания, логические действия и операции, способы решения задач.

 Познавательные действия делятся на общеучебные универсальные действия (самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели; поиск и выделение необходимой информации; структурирование знаний; выбор рациональных способов решения задач в зависимости от конкретных условий, постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера; действия со знаково-символическими средствами (замещение, кодирование, декодирование, моделирование)) и логические универсальные учебные действия, которые направлены на установление связей и отношений в любой области знания (анализ, синтез, сравнение, обобщение, классификация, аналогия).

Коммуникативные универсальные учебные действия обеспечивают возможности сотрудничества – умение слышать, слушать и понимать партнера, планировать и согласованно выполнять совместную деятельность, распределять роли, взаимно контролировать действия друг друга, уметь договариваться, вести дискуссию, правильно выражать свои мысли в речи, уважать в общении и сотрудничества партнера и самого себя.

Овладение обучающимися универсальными учебными действиями вооружают обучающихся инструментом поиска нового. Они представляют собой целостную систему, поскольку взаимосвязаны и овладение этой системой обеспечивает самостоятельность в приобретении нового знания, формирование умения учиться.

1.2 Обобщение как универсальное учебное действие

Важнейшим познавательным действием является обобщение. Действительно, любое понятие есть результат обобщения. Поясним этот факт на примере.

Любой предмет обладает бесконечным набором признаков. Если из этих признаков отобрать конечный набор, то мы получим множество объектов, которые обладают данными признаками. При отождествлении всех таких объектов (то есть в этом случае объекты становятся неотличимыми друг от друга) по этим признакам получим понятие, которое обычно обозначается словом (термином). Например, фигура, приведенная на рисунке, обладает бесконечным набором признаков:

 

1.     Геометрическая фигура;

2.     Плоская;

3.     Стороны являются отрезками;

4.     Имеет 4 стороны;

5.     Имеет 4 угла;

6.     Противоположные стороны равны;

7.     Смежные стороны равны;

8.     Все углы прямые;

9.     Фигура красная;

10. Стороны равны 3 см;

11. Фигура нарисована на бумаге

12. ……

Отбросим 10, 11, 12 и т.д. признаки. Получим множество объектов, которые обладают признаками с 1 по 9. Объекты, обладающие всеми этими признаками, будут объединяться одним термином «квадрат». Если отбросить еще признак 7, то получим более широкое множество – множество прямоугольников. При отбрасывании еще и признака 8 получается еще более широкое понятие – «параллелограмм».

Таким образом, мы получили понятия квадрат, прямоугольник, параллелограмм, используя логическую операцию, которая называется «расширением понятия». С точки зрения психологии она называется обобщением.

Поэтому особое  значение в процессе обучения отводится формированию обобщений как «особого способа отражения действительности в сознании человека», как  «словесного акта мысли» [9, с. 64] отражающего действительность совершенно  иначе, чем в непосредственных ощущениях и восприятиях (Л.С. Выготский).

С.Л.Рубинштейн определяет   обобщение как отбрасывание единичных признаков при сохранении общих, с раскрытием  существенных связей.  Обобщение может совершаться путём сравнения,  при котором, выделяются общие признаки [41, с. 34].

А.К. Артемов рассматривает обобщение в математике как мысленное выделение общих и существенных признаков математических объектов (или способов действий с ними) и объединение их на этой основе в пределах заданной области (темы, раздела, и т.д.) В обучении  математике результат обобщения внешне фиксируется в понятиях, предложениях (суждениях), различных правилах. Обобщить - значит зафиксировать общее, что имеется в каждом объекте рассматриваемой совокупности  (А.К. Артёмов) [3, с. 45]. 

В психолого-педагогической науке существуют разные подходы к классификации обобщений. Так, например,  все виды обобщений делятся на аналитические и синтетические в зависимости от того, используется непосредственно чувственный опыт или нет.     

Под аналитическими понимают обобщения, осуществляемые без непосредственного обращения к опыту – на основе понимания языковых выражений, на основе определений, не опирающихся непосредственно на опыт, и применяющихся к ним правил дедукции. Аналитическое обобщение очень важно, так как оно позволяет отвлечься от старого материала и продолжить обучение на более высоком уровне. Примером аналитического обобщения может служить расширение понятия «натуральное число» до понятия «целое число». 

Синтетические обобщения осуществляются в результате анализа опыта, в том числе и путём применяющихся к нему индуктивных процедур, которые часто называют правилами обобщения. Синтетические способы обобщения в свою очередь делятся на статистическое, основанное на теории и явно использующее статистические методы анализа, и  приблизительное обобщение, основанное на наблюдении, не предполагающем в явной форме применение таких методов исследования. В начальной школе используются приблизительные обобщения, так как для  статистических  у детей накоплен небольшой эмпирический опыт.

         Существенный интерес представляет классификация видов обобщения на творческие и нетворческие. Это деление опирается на сопоставление исходного знания и обобщенного. Если обобщённое знание отличается от исходного уровнем абстракции, степенью идеализации, уровнем объяснения и истолкования, то  это творческое обобщение, в противном случае, когда эти условия отсутствуют,  - нетворческое обобщение.

         В.В. Давыдов приводит несколько иную классификацию обобщений: теоретическое (содержательное, понятийное)  и эмпирическое. Основной операцией эмпирического обобщения является приём сравнения предметов по обобщённым признакам, существующим в данной ситуации.  Теоретическое обобщение  осуществляется путём анализа данного объекта, направленного на выявление всеобщего свойства, отношения, присущего всем предметам данной совокупности.

         Теоретическое обобщение раскрывает сущность вещей как закономерность их развития,  как то, что определяет их развитие. Произвести такое обобщение – значит открыть некоторую закономерность, связь единичных явлений внутри некоторого целого, закон становления этого целого.

     Формирование понятийного обобщения предполагает не только переход от конкретного и единичного к абстрактному и общему, но и обратный переход от общего и абстрактного к единичному. Последнее есть движение мысли от абстрактного к частным и единичным проявлениям общего, доступным чувственному опыту [15, с. 112].   

Отметим, что обобщенное понятие или обобщенный способ есть результат. Обобщением также называется процесс получения этого результата. Процесс осуществляется с помощью действия обобщения и может выполняться с помощью разного набора операций. Для нашего исследования представляют интерес синтетические обобщения, которые могут быть как теоретическими, так и эмпирическими. Причем результат зависит от того, как организован процесс.

Таким образом, обобщение в учебном процессе целесообразно понимать как познавательное действие, так как, во-первых, оно позволяет получить новые знания (новое понятие или новый способ действия), во-вторых, как и любое действие, имеет свою цель, свой операционный состав.

Более того, это действие является универсальным, надпредметным, поскольку может использоваться не только в математике, но и  в других образовательных областях.

1.3 Механизмы и закономерности формирования обобщений у младших школьников

Формирование обобщений как универсальных учебных действий в процессе обучений подчиняется психологическим закономерностям процесса усвоения. Приведем эти закономерности:

1.  Закономерность возрастания роли несущественных компонентов математических объектов – если некоторые индивидуальные признаки изучаемых математических объектов многократно сочетаются с общими существенными признаками того же объекта, то эти индивидуальные признаки начинают восприниматься как существенные, что влечёт за собой ошибки учащихся (Н.А. Менчинская,  Е.Н. Кабанова-Меллер);

2. Обобщение успешно идет по тем признакам, которые входят в ориентировочную основу формируемого действия с данными объектами (Н.Ф.Талызина).

2. Успех формирования действия зависит от степени сформированности операций из его состава (Л.А. Регуш).

3. При формировании умственного действия целесообразно формировать 2-3 операции из его состава, все остальные операции будут формироваться вместе с основными операциями.

Из приведенных закономерностей можно сделать следующие методические выводы:

-       Для формирования умственного действия целесообразно выявить его операционный состав;

-       В операционном составе действия определить основные операции;

-       Задания, направленные на формирование действия, разделить на два блока. Учебной задачей первого блока будет являться формирование отдельных операций из состава действия; задача второго блока – формирование действия в целом.

Поэтому  учителю для проектирования учебных задач с целью формирования УУД необходимо знать операционные составы формируемых действий и подбирать задания и системы вопросов к ним так, чтобы обучающиеся, отвечая на вопросы, выполнял операции, входящие в состав УУД.

Рассмотрим операционные составы эмпирического и теоретического обобщений.

Обобщение и абстрагирование. Обобщение - нахождение существенно общего в заданных предметах или явлениях. Этим общим могут быть их признаки или части, отдельные элементы. Выделение некоторого признака как общего и существенного включает его отчленение от других признаков.

Специальное отчленение, общего существенного и его противопоставление частному несущественному составляет содержание абстрагирования. Абстрагирование и обобщение осуществляются в тесной связи.

В зависимости от того, какая операция является основной, обобщение делится на эмпирическое и теоретическое.

Эмпирическое обобщение имеет следующий операционный состав:

1.     Постановка цели действия.

2.     Сравнение объектов с целью нахождения общих признаков.

3.     Объединение объектов в группу по общим признакам.

4.     Отвлечение от отличительных признаков объектов в группе.

5.     Фиксирование общего в выводе.

6.     Распространение общего вывода на все  похожие объекты

Теоретическое обобщение  осуществляется путём анализа данного объекта, направленного на выявление всеобщего свойства, отношения, присущего всем предметам данной совокупности.

Операционный состав теоретического обобщения.

1.Постановка цели действия.

2. Анализ объекта с целью выделения существенного отношения.

3. Абстрагирование от несущественного.

4. Построение модели существенного отношения.

5. Формулирование вывода.

Охарактеризуем операции из состава эмпирического обобщения. Основными операциями здесь являются сравнение частных случаев с целью нахождения общего и фиксирование общего в выводе.

Сравнение

Сравнение – сопоставление предметов с целью выявления признаков сходства или различия между ними (или того и другого вместе).

Сравнить – это значит найти, выявить, чем похожи и чем отличаются данные предметы.

Сравнение должно осуществляться в отношении однородных предметов.

Основания для сравнения – такие признаки (свойства, качества, особенности), по которым предметы могут быть сопоставлены (эти признаки соответствуют друг другу). Успех сравнения зависит от того, насколько правильно выбраны основания для сравнения.

Сравнение - одна из важнейших операций мышления. Она состоит в выделении общих и различных признаков у двух или нескольких объектов. Сравнение бывает разных видов:

-   в зависимости от того, будет ли сделан вывод или нет, сравнение бывает полным или неполным.

-   в зависимости от того, звучат ли в задании слова «сравни», «найди отличие», «найди сходство» или нет, сравнение бывает явным или неявным.

- в зависимости от того, выделяются сходные или различные признаки, сравнение называется сопоставлением или противопоставлением.

Сравнение   входит   в   состав   более   сложных   действий: классификацию, обобщение, рассуждение по аналогии, внимание.

Умение сравнивать формируется постепенно. Можно сравнивать по одному или нескольким признакам. Эти признаки называются основанием сравнения.

Пример. Эти два круга можно сравнить по разным признакам (основаниям); цвету, форме, размеру.

 

- по форме они одинаковые (круги);

- по цвету они разные (один красный, другой - синий);

- по размеру они разные (один больше, другой меньше).

Заметим, что при сравнении одномоментно выделяется только одно основание сравнения; от всех других признаков нужно отвлечься. Нельзя сравнивать так; один круг красный, а другой маленький. Детям 5-6 лет отвлечься от других признаков, выделяя только один, трудно. Поэтому для облегчения сравнения необходимо учить их вслух проговаривать признак, по которому будут сравнивать предмет.

Действие формируется постепенно, по мере формирования операций, которые входят в состав сравнения. Важнейшая операция – выделение основания сравнения, то есть некоторого общего признака. Для детей этого возраста основание сравнения  есть абстракция. Пока еще разные признаки предметов дети не могут отделить от самих предметов.  Например, сравнивая предметы по цвету, ребенок быстро определяет сходство или отличие по этому признаку (этот мяч красный, а тот – зеленый), но с трудом называет сам признак – цвет. К школе ребенок уже должен не только сравнивать предметы по разным признакам, но и говорить, что он сравнивает предметы по форме, по цвету, по размеру, по количеству, по расположению и т.п. Именно формированию умения выделять основание сравнения и посвящено четвертое занятие.

Сравнение  обычно производится по существенным признакам. Его необходимо проводить последовательно, сохраняя от начала до конца основание, выбранное для сравнения.

А.И. Раев выделяет в составе сравнения такие операции:

а) определение возможных линий сравнения в соответствии с поставленной целью и обнаруженными признаками;

б) установление общих признаков по каждой из намеченных ли­ний               

сравнения;

в) установление особенных признаков по каждой из намеченных линий сравнений;

г) определение степени существенности общих и особенных признаков по каждой линии сравнения;

д) соотнесение полученных данных по всем линиям;

е) формулировка вывода о сходстве и различии данных объектов в соответствии с поставленной целью.

Операционный состав сравнения по его видам показано в схеме на  рис. 1. 

                                                                                                                 

	Нет неполное

 

Рис. 1 - Операционный состав сравнения

Таким образом, сравнение само по себе является сложным действием. Поэтому для формирования умения обобщать целесообразно начинать с формирования умения сравнивать.

Действие сравнения включает в себя анализ.

Анализ. Анализ – это действие, которое заключается в расчленении предмета на части, выделении отдельных характеристик изучаемого объекта.

Анализ – очень важная операция, так как она входит в состав всех более сложных действий. Это  «кирпичики», из которых строится любой способ действия.

Анализ бывает разных видов в зависимости от того, что анализируется. Если анализируемый предмет материальный, то анализ называется вещественным. Например, ломая свои игрушки, чтобы посмотреть, что у нее внутри, ребенок выполняет именно этот, самый простой вид анализа. Однако без выполнения такого анализа овладеть более сложным, мысленным анализом невозможно. Формирование анализа должно пройти все стадии – от предметного до мысленного действия.

В возрасте 5,5-6 лет ребенок уже в состоянии выполнить простейший односторонний анализ (то есть выделить один какой-либо признак: цвет, форму, размер, количество). Задача обучения таких детей – осознание ребенком выполняемого действия. Для этого предлагаются такие задания, как  срисовывание по клетчатой бумаге. Для того, чтобы срисовать без ошибок, ребенок должен мысленно расчленить на части             (проанализировать) фигуру, выявить отдельные части (отрезки, лучи, элементарные фигуры).

Анализ – это операция, которые являются «кирпичиками» для построения других действий. Операционный состав этих действий обычно не выделяется.

Анализ имеет разные виды:

−       в зависимости от объекта (материального или идеального) анализ и синтез бывает предметным или мысленным;

−       в зависимости от того, сколько признаков выделяется, анализ может быть односторонним, разносторонним или всесторонним;

−       в зависимости от того, какие признаки выделяются, анализ бывает существенным или несущественным.

Для понимания сути логических универсальных действий необходимо знать, что такое общие и отличительные, существенные и несущественные свойства, признаки предметов.

Окружающие человека предметы (вещи, объекты, явления) имеют разнообразные признаки и находятся в различных отношениях. При всем многообразии своих конкретных признаков и отношений предметы могут быть чем-либо похожи или отличаются друг от друга. Признаки, которые одинаковы у всех рассматриваемых предметов, это общие признаки. Признаки, которыми предметы отличаются друг от друга, – отличительные признаки.

Кроме того, в предметах можно выделить признаки, которые в одних условиях ему принадлежат, в других – не принадлежат. При этом данный предмет не перестает существовать как таковой. Другими словами: если изменить такой признак, предмет будет относиться по-прежнему к тому же классу. Например, автомобиль остается автомобилем независимо от того, в какой цвет покрашен его кузов. Но в предмете можно выделить и такие признаки, которые обязательно принадлежат ему при любых условиях. Без них данный предмет не существует, при их изменении он становится другим.

Первые признаки – второстепенные, несущественные; вторые – основные, существенные.

Существенные признаки являются неотъемлемыми (неотделимыми) от определенного круга предметов. Они  однозначно отличают эти предметы от каких-либо других предметов. Существенные - это признаки постоянные, устойчивые, сохраняющиеся у данной группы предметов при изменении несущественных.

Всякий существенный признак является вместе с тем и общим для данной группы предметов. Но не всякий общий признак является существенным. Общие признаки бывают двух видов: 1) общие как сходные признаки и 2) общие как существенные признаки.

При выполнении эмпирического обобщения выделяются общие признаки. Они могут быть как существенными, так и несущественными. При выполнении теоретического обобщения анализ является существенным. В этом есть главное отличие этих видов обобщений.

Для теоретического обобщения основными операциями являются анализ (выделение существенных характеристик) и моделирование.

Операция анализа рассмотрена ранее. Поэтому охарактеризуем действие моделирования. Оно тоже является сложным действием.

Оно имеет следующий операционный состав:

Анализ ситуации. Выполняя эту операцию, ученики выделяют те свойства или отношения изучаемого объекта, которые затем будут использоваться при построении модели.

Кодирование выделенных свойств. Здесь каждому выделенному свойству присваивается свой символ, который может быть либо знаком (знаково-символьная модель), либо отрезком заданной длины (графическая модель), либо словом (словесная модель).

Построение модели. При выполнении этой операции восстанавливаются (вскрываются) взаимосвязи между выделенными элементами. В результате появляется некоторая целостность, которая называется моделью.

Преобразование модели. Здесь  выявляются новые свойства изучаемого объекта, которые ранее были скрыты несущественными деталями.

Конкретизация модели. На этом этапе  построенная модель соотносится с реальными объектами. Выявленные при преобразовании модели новые свойства «переносятся» на реальные объекты.

Действие моделирования имеет свою цель – заменить реальный объект моделью, сохраняющей все его существенные свойства и освобожденной от всех других несущественных свойств для оптимизации процесса изучения таких реальных объектов. Кроме того, это действие  имеет свой объект – это модель.

Таким образом, для формирования умения обобщать целесообразно различать эмпирическое и теоретическое обобщения, определить их операционный состав и разработать задания, направленные на формирование основных операций из состава: для эмпирического обобщения анализа и сравнения, для теоретического обобщения – анализа и моделирования.

Создание условий для формирования обобщений осуществляется как путем специального подбора заданий, так и с по­мощью  переконструирования традиционных заданий и составления к ним специальных вопросов.

1.4 Возможности содержательной линии «Текстовые задачи» для формирования обобщений

Рассмотрим, какие этапы решения задачи оптимальны для формирования операций из состава обобщения. Обучение по действующим программам любых учебных предметов предполагает применение разных знаково-символических средств (цифры, буквы, схемы и др.), которые, как правило, не являются специальным объектом усвоения с точки зрения их характеристик как знаковых систем. Использование разных знаково-символических средств для выражения одного и того же содержания выступает способом отделения содержания от формы, что всегда рассматривалось в педагогике и психологии в качестве существенного показателя понимания учащимися задачи. Из разных видов деятельности со знаково-символическими средствами наибольшее применение в обучении имеет моделирование. Это означает, что при решении задач моделирование занимает важное место. Следовательно, эту операцию целесообразно формировать именно в обучении решению задач. Рассмотрим общий способ решения задач, выделив в нем операции из состава обобщения.

А.Г. Асмолов выделяет компоненты общего способа решения задачи критерии для проверки, которые представлены в таблице 1 [3, с. 58].

Таблица 1 – Компоненты общего способа решения задачи

Компоненты общего способа решения задачи	Содержание компонентов общего способа решения задачи	Критерии оценки сформированности общего способа решения задачи
I. Анализ текста задачи	1.Семантический анализ 2. Логический анализ 3. Математический анализ	1. Умение логически рассуждать. 2. Умение выбирать смысловые единицы текста и устанавливать отношения между ними. 3. Умение выделять обобщенные схемы типов отношения и действий между единицами. 4. Умение создавать структуры взаимосвязей смысловых единиц текста (выбор и организация элементов информации). 5. Умение выделять формальную структуру задачи. 6. Умение мыслить свернутыми структурами.
II. Перевод текста на язык математики с помощью вербальных и невербальных средств	1. Выбрать вид графической модели, адекватной выделенным смысловым единицам; 2. Выбрать знаково-символические средства для построения модели; 3. Последовательно перевести каждую смысловую единицу и структуру их отношений в целом на знаково-символический язык.	1. Умение выражать смысл ситуации различными средствами (рисунки, символы, схемы, знаки). 2. Умение выражать структуру задачи разными средствами.
III. Установление отношений между данными и вопросом	Установление отношений между: - данными условия, - данными требования (вопроса), - данными условия и требованиями задачи.
IV. План решения	- определить способ решения задачи; - выделить содержание способа решения; - определить последовательность действий.
V. Осуществление плана решения	- выполнение действий; - запись решения задачи. Запись решения задачи может осуществляться в виде последовательных конкретных действий (с пояснениями и без) и в виде выражения (развернутого или сокращенного).	Умение выполнять операции со знаками и символами, которыми были обозначены элементы задачи и отношения между ними.
VI. Проверка и оценка решения задачи	1.Составление и решение задачи, обратной данной; 2.Установление рациональности способа: выделение всех способов решения задачи, сопоставление этих способов по количеству действий, по сложности вычислений, выбор наиболее оптимального способа.	1. Умение составлять задачу, обратную данной, и на основании ее решения сделать вывод о правильности решения исходной задачи. 2. Умение выбирать, сопоставлять и обосновывать способы решения. 3. Умение проводить анализ способов решения с точки зрения их рациональности и экономичности. 4. Умение выбирать обобщенные стратегии решения задачи.

В программе формирования УУД четко рассмотрена структура общего способа решения задачи[16, с.78]:

1.     Анализ текста задачи (семантический, логический, математический) является центральным компонентом при решении задачи. Заключается в выделение и осмысление, выделение существенной информации для решения задачи.

2.     Перевод текста на математический язык (вид графической модели, выбор средств для построения моделей, перевод на знаково-символьный язык).  В результате анализа задачи текст выступает как совокупность определенных смысловых единиц. Однако текстовая форма выражения этих величин сообщения часто включает несущественную для решения задач информацию. Чтобы можно было работать только с существенными смысловыми единицами, текст задачи записывается кратко с использованием условной символики. После того как данные задачи специально вычленены в краткую запись, следует перейти к анализу отношений и связей между этими данными. Для этого осуществляется перевод текста на язык графических моделей, понимаемый как представление текста с помощью невербальных средств – моделей различного вида: чертежа, схемы, графика, таблицы, символического рисунка, формулы, уравнений и др. Перевод текста в форму модели позволяет обнаружить в нем свойства и отношения, которые часто с трудом выявляются при чтении текста.

3.     Установление отношений между данными и вопросом (установление отношений между: данными условия, данными требования, данными условия и требования) На основе анализа условия и вопроса задачи определяется способ ее решения (вычислить, построить, доказать), выстраивается последовательность конкретных действий. При этом устанавливается достаточность, недостаточность или избыточность данных. Выделяются четыре типа отношений между объектами и их величинами: равенство, часть/целое, разность, кратность – сочетание которых определяет разнообразие способов решения задач. Анализ практики обучения показывает, что особую трудность для учащихся представляют задачи с отношением кратности.

4.      Составления плана решения задачи (определение способа решения задачи, определение последовательности действий). На основании выявленных отношений между величинами объектов выстраивается последовательность действий – план решения. Особое значение имеет составление плана решения для сложных, составных задач.

5.     Осуществление плана решения  (выполнение действий, запись решения задачи);

6.      Проверка и оценка решения задачи (составление и решение задачи обратной данной, установление рациональности способа: выделение всех способов решения задачи, сопоставление этих способов по кол-ву действий. По сложности вычислений, выбор наиболее оптимального способа). Проверка проводится с точки зрения адекватности плана решения, способа решения, ведущего к результату (рациональность способа, нет ли более простого). Одним из вариантов проверки правильности решения, особенно в начальной школе, является способ составления и решения задачи, обратной данной.

Общий способ решения задач должен быть предметом специального усвоения с последовательной отработкой каждого из составляющих его компонентов. Овладение этим приемом  позволит учащимся самостоятельно анализировать и решать различные типы задач.

Теория П.Я. Гальперина гласит, что формирование любого действия проходит ряд этапов. Формирование общего способа решения задач тоже подчиняется этой закономерности. Приведем примеры работы над задачами некоторых видов на этих этапах.

Задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц (в несколько раз).

Знакомство с задачами начинается с решения задач практическим образом.

Этапы знакомства с задачами на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц[19, с.15].

1.     Предметные действия.

Обучающиеся работают с индивидуальными наглядными пособиями. Задачи решаются практическим путем.

- Положите на парту 3 треугольника. Положите под кружками столько же квадратов. Сколько квадратов вы положили?

- 3.

- Положите еще 4 квадратика. Сколько квадратов вы всего положили?

- 7.

- Как сосчитали?

- 3, да еще 4 будет 7.

- Каких фигурок больше?

- Квадратиков.

- Как можно сказать, сколько квадратиков, не называя их число?

- Столько же, сколько треугольников и еще 4.

- В этом случае говорят, что квадратиков больше на 4, чем треугольников. Задания на закрепление:

Положите треугольников больше на 2, чем квадратов.

Как будете действовать? (Столько же, сколько квадратов, да еще 2)

2.     Перцептивные действия.

Используются схемы, схематические рисунки.

У Иры 2 куклы, а у Ани на 3 куклы больше. Сколько кукол у Ани?

         Учитель предлагает выполнить рисунок, заменить кукол звездочкой(*).

И. **

А. *****

         - Как узнать, сколько у Ани кукол? Сколько звездочек надо нарисовать?

         - Столько же сколько у Иры да еще 3.

         - А как найти, сколько кукол у Ани?

         - Столько, сколько у Иры да еще 3.

         - Как решим?

         2+3=5 (к.)- всего у Ани 5 кукол.

3.     Громкоречевые действия

Решение задачи без помощи рисунков, схем, но с  проговариванием по алгоритму: читаю условие, читаю вопрос, выбираю действие, записываю решение, пишу ответ.

4.     Мыслительные действия

На этом дети могут сразу сказать ответ, но могут развернуть решение.

Те же самые этапы включает в себя обучение решению задач любого вида. На этапе предметных действий ученики усваивают ориентировочную основу способа решения задачи. Заметим, что при выборе действий при решении простой задачи ученики выполняют такую операцию из состава общего способа решать задачи, как актуализацию теоретических знаний, необходимых при выборе арифметического действия (вспоминают теоретическую основу выбора действия). Приведем рассуждения учащихся на этом этапе для задач разных видов.

Задачи на уменьшение числа на несколько единиц.

- В одной связке 6 бананов, а во второй на 2 банана меньше, т.е. во второй связке столько же, сколько в первой, но без двух, значит надо вычесть.

Задачи на увеличение числа в несколько раз.

Лиза прочитала 3 книги, а Толя в 3 раза больше. Сколько книг прочитал Толя?

- Лиза прочитала 3 книги, а Толя в 3 раза больше, т.е. столько же, сколько Лиза, но в 3 раза больше, значит надо умножить.

Задачи на уменьшение числа в несколько раз объясняются на основе задач на увеличение числа в несколько раз. Таня помыла 9 тарелок, а Зина в 3 раза меньше. Сколько тарелок помыла Зина?

Зина помыла в 3 раза меньше, если Таня в 3 раза больше. Если Таня помыла в 3 раза больше тарелок, чем Зина, то Зина помыла в 3 раза меньше тарелок. Значит, нужно делить.

Работа над простой задачей была бы неполной, если ограничиваться просто их решением. Целесообразно проводить работу над уже решенной простой задачей с целью дальнейшего исследования ее решения.

Задачи на разностное сравнение

Зина помыла 3 тарелки, а Таня 4 тарелки. На сколько больше тарелок помыла Таня?

Чтобы найти ответ, на сколько одно число больше (меньше) другого, нужно из большего вычесть меньшее. Значит, нужно из 4 вычесть 3.

Задачи на кратное сравнение

Артем съел 3 пирожка, а Коля 6 пирожков. Во сколько раз больше пирожков съел Коля?

Чтобы найти, во сколько раз одно число больше другого, нужно большее число разделить на меньшее. Значит, нужно 6 разделить на 3.

Прием решения задач, осваиваемый, как правило, на материале математики, должен выступать как универсальный метод мышления в других предметных областях. По отношению к предметам естественного цикла содержание приема не требует существенных изменений – различия будут касаться специфического предметного языка описания элементов задачи, их структуры и способов знаково-символического представления между ними.

При решении задач гуманитарного цикла учебных предметов конкретная ситуация, как правило, анализируется не с целью абстрагирования от ее особенностей, а, наоборот,  с целью выделения специфических особенностей этих ситуаций для последующего обобщения полученной предметной информации. Кроме того, задачи гуманитарного цикла требуют отработки компонента обобщенного приема, связанного с семантическим и логическим анализом текста с целью его понимания.

Таким образом, мы видим, что общий способ решения задач предполагает выполнение всех операций из состава обобщения, как эмпирического, так и теоретического. Поэтому мы считаем, что эта содержательная линия благоприятна для формирования у младших школьников умения обобщать.

Выводы по I главе

В ходе теоретического анализа литературы и моделирования процесса решения задач мы получили следующие выводы.

1. Умение обобщать является одним из важнейших познавательных универсальных учебных действий, поскольку понятийное (теоретическое) мышление оперирует понятиями, которые являются результатами проведенных обобщений.

2. Процесс формирования обобщений подчиняется определенным закономерностям процесса усвоения. Учет этих закономерностей предполагает, во-первых, необходимость выявления операционных составов эмпирического и теоретического обобщения, во-вторых, определения основных операций из этих составов действий, в третьих, разработки заданий, направленных на формирование как отдельных операций обобщения, так и действия обобщения в целом.

3. При изучении математики обучающиеся решают задачи различного рода: учебные и математические. Задачи указанных видов решаются в единстве. Одна из основных задач обучения математике в начальной школе – формирование у учащихся общего умения решать задачи. Общее умение решать задачи предполагает выполнение как отдельных операций из состава эмпирического и теоретического обобщения, так и этих действий в целом. Поэтому содержательная линия «Текстовые задачи» является благоприятной для формирования у младших школьников умения обобщать.

4. Наиболее значимым из методических условий успешного обучения общему способу решения задач является вовлечение учащихся в творческую работу по исследованию решения задачи.

5. Возникает необходимость в разработке соответствующей методики обучения.  

Глава 2 Методические аспекты формирования у младших школьников умения обобщать при решении задач

 

2.1 Сравнительный анализ различных подходов к обучению решения задач в начальной школе

В настоящее время существуют разные подходы к обучению решению задач. В этом разделе мы попытались сравнить методические подходы, принятые в наиболее распространенных учебниках начального курса  математики (авторы: Петерсон Л.Г.[39]; Моро М.И, Бантова М.А., Бельтюкова Г.В.[30]; Е.Э. Кочурова, В.Н. Рудницкая [42]).

Таблица 2 - Анализ содержания разных программ по математике

Программа, автор	Класс	Содержание программы
Образовательная программа «Школа России» Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Математика. Учеб. для 2 кл. нач. шк.	2	Тема: «Текстовые задачи» Содержание темы: 1.Простые и составные текстовые задачи, при решении которых используется: ·         смысл действий сложения, вычитания, умножения и деления; ·         разностное сравнение;
Программа УМК «Начальная школа XXI века» под редакцией Н.Ф. Виноградовой; Е.Э. Кочурова, В.Н. Рудницкая Математика, 2 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений в 2 ч. – М.: Вентана – Граф, 2010	2	Содержание темы: 1.Числа 10, 20, 30, ….100. Решение задач. 2. Метр. Соотношения между единицами длины. Решение задач 3.Многоугольник и его элементы. Решение задач. 4.Сложение и вычитание вида 26+2, 26-2, 26+10, 26-10.Решение задач. 5. Запись вычитания столбиком. Решение задач. 6. Работа над ошибками. Решение задач. 7. Умножение и деление на 5. Решение задач. Умножение на 6. Решение задач 8. Умножение на 7. Решение задач. 9. Решение задач на увеличение и уменьшение числа в несколько раз
УМК «Перспектива», программы курса «Математика» 2 класс, под редакцией Л. Г. Петерсон. М., «Просвещение», 2013 год	2	Тема: «Текстовые задачи» Содержание темы: 1.Краткая запись задачи 2. Сюжетная арифметическая задача как особый вид математического задания 3. Решение задач на нахождение значения суммы 4. Решение задач на нахождение значения разности 5. Составление  задач по схемам 6. Решение задач по схемам 7. Графическое моделирование  задач 8. Задачи на разностное сравнение чисел 9. Решение задач на сравнение с помощью действия вычитания 10. Составление  задач по схеме на разностное сравнение 11. Задачи на разностное сравнение 12. Задачи, раскрывающие смысл умножения 13. Решение задач действием умножения 14. Решение задач на увеличение числа в несколько раз 15. Решение задач с применением таблицы умножения 16. Составные задачи 17. Преобразование простой задачи в составную за счет изменения требований 18. Преобразование простой задачи в составную за счет изменения условия 19. Преобразование составной задачи в простую  за счет изменения требования 20. Способы изменения составной задачи в простую за счет изменения условия 21. Разбиение составных задач на несколько простых. Введение дополнительных требований 22. Запись решения задачи в виде одного выражения 23. Запись решения составных задач по «шагам» (действиям) и в виде одного выражения 24. Разные способы решения записи задач 25. Задачи  на нахождение доли числа 26. Понятие об обратной задаче 27.Решение обратной задачи как способ проверки правильности решения данной. 28.Моделирование и решение простых арифметических сюжетных задач с помощью уравнений

Делая вывод по данным таблицы, можно сказать, что подробнее всего задачи, их виды и способы решения изучаются в образовательной программе «Перспектива» (Петерсон Л.Г.), на эту тему автор отводит  большое количество часов. В данном учебнике практически после каждой темы приводятся задачи по изученной теме. В учебниках М.И.Моро формирование умения решать текстовые задачи не раскрывается в полной мере. Таким образом, можно сделать вывод, что большее количество часов отводится по образовательной программе «Перспектива» Л.Г. Петрсона.

Проанализируем задания из разных учебных программ, направленных на формирование общего способа решения задач. Данные представлены в таблице 4.

Таблица 3 – Анализ заданий, направленных на формирование общего способа решения задач в разных учебных программах

Учебные программы по математике	УМК «Перспектива», программы курса «Математика» 2 класс, под редакцией Л. Г. Петерсон. М., «Просвещение», 2013 год	Образовательная программа «Школа России» Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Математика. Учеб. для 2 кл. нач. шк. 2013г.	УМК «Начальная школа XXI века» под редакцией Н.Ф. Виноградовой; Математика, 2 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений в 2 ч. – М.: Вентана – Граф, 2010г.
Умения направленные на формирование общего способа решения задач
Выделять отдельные части задачи (анализ)	74	40	15
Умение выбирать смысловые единицы текста и устанавливать отношения между ними (анализ)	15	8	4
Умение выделять обобщенные схемы типов отношения и действий между единицами (моделирование, обобщение)	20	10	7
Умение создавать структуры взаимосвязей смысловых единиц текста (моделирование)	24	15	11
Умение выделять формальную структуру задачи (анализ, моделирование)	3	0	2
Умение выражать структуру задачи разными средствами.	5	3	1
Умение выполнять операции со знаками и символами, которыми были обозначены элементы задачи и отношения между ними (преобразование модели)	15	9	10
Умение составлять задачу, обратную данной, и на основании ее решения сделать вывод о правильности решения исходной задачи (преобразование модели)	10	4	2
Умение выбирать, сопоставлять и обосновывать способы решения	9	5	3
Умение проводить анализ способов решения с точки зрения их рациональности и экономичности	0	0	0
Умение выбирать обобщенные стратегии решения задачи.	0	0	0
Общее количество задач	413	354	278

Как видно из таблицы, во всех проанализированных учебниках большинство заданий носит репродуктивный характер, малый процент, менее половины способствуют формированию общего способа решения задач и являются продуктивными. В учебной программе «Перспектива» процент продуктивных заданий значительно выше, чем в других учебных программах. Но даже в учебнике Л.Г. Петерсон приведены задания, не охватывающие формирование всех умений по решению задач общим способом.

Таким образом, упускаются возможности арифметических задач как математического содержания для формирования у младших школьников универсального учебного действия обобщения.

2.2 Комплекс заданий по формированию умения младших школьников обобщать на материале арифметических задач

Любая задача решается в несколько этапов. Рассмотрим их подробнее на конкретном примере: «Две марки стоят 8 рублей. Сколько стоит 5 таких марок?».

Данные приведены в таблице 4.

Таблица 4 - Этапы решения составной задачи

Обобщенные действия по решению любой задачи	Конкретизированные действия для конкретной задачи
I.                    Анализ содержания
1.Выделение условия и вопроса.		- Прочитайте только условие задачи. - Прочитайте только вопрос задачи.
2.Выделение величины данной задачи.		- Какую краткую запись будем составлять в виде таблицы? Как назовем колонки таблицы (опорные слова)? Цена Количество Стоимость одинаковая 2 м. 8р. 5 м. ?
3.Выделение числовых характеристик  величин и количественных отношений между ними.		- Что известно о цене? - Что значит «таких же марок»? (Они имеют одинаковую цену.) - Что известно о количестве марок? - Что известно о их стоимости? Результатом этого этапа является составление краткой записи. Она чаще всего необходима для поиска путей решения задачи.
II.Поиск пути решения
1 способ – синтетический (от данных к вопросу) Данные задачи   Искомое задачи Синтетический путь зависит от того, какие данные мы выбираем. Ключевой вопрос: «Зная … и …, что мы можем найти?» Сколько действий содержит задача, столько и ключевых вопросов.		- Что такое 2,8? (Учитель задавая этот вопрос, должен показать в краткой записи на эти числа, чтобы с ее помощью искать пути решения задачи.) 2 – это количество, 8 – это стоимость - Зная количество и стоимость , что мы можем найти?(Цену) - Каким действием? Вычленяется простая задача и задается к ней вопрос. (Стоимость 8 р. Разделим на количество 2м. и получим цену.) - Узнав цену одной марки и, зная, что во второй раз их было 5, что можем узнать? (Стоимость 5 марок) - Каким действием? (Цену, которую мы узнали, умножим на количество.)
2 способ – аналитический (от вопроса к данным). Вопрос задачи расчленяется на 2 маленьких вопроса. Учащиеся строят «дерево рассуждений». Искомое задач                                  СТ. С.   ×   К.   Ц.   Данные задачи  Целесообразно и удобно нарисовать «дерево рассуждений» в тетради, т.к. оно помогает младшим школьникам при рассуждении и решении других задач, например, при работе с домашней задачей. Синтетический способ более прост и доступен для детей, однако, не дает широкого простора для творческой деятельности учащихся, т.к. учитель «ведет» их за собой при выстраивании рассуждений. Аналитический же способ более сложный для восприятия, зато дает простор для творческой деятельности.		Анализ содержания заканчивается вопросом: «Что нужно найти в задаче?». - Что для этого нужно знать? (Цену и количество) - Если бы мы это знали, то каким бы действием нашли бы стоимость? - Что из этого нам известно, а что необходимо найти? (Количество нам известно, а цену необходимо найти.) - Что нам нужно для этого знать? (Количество и стоимость.) - Что из этого мы знаем? (Стоимость 8р., количество 2 м.)
Существует третий способ – комбинированный (Сочетает в себе анализ и синтез).
Составление плана решения (подведение итога поиска пути решения).		- Во сколько действий задача? (в два действия) - Какое первое действие? Второе? (Первое действие деления, второе умножение.)
III.Осуществление плана решения задачи
Этот этап посвящен оформлению решения задачи. Существуют разные системы записи решения задачи. Их следует различать со способами решения задачи: разные способы решения – это нахождение разных связей между данными и искомым задачи, отсюда, разный порядок выполнения действий при решении задачи арифметическим способом. Существуют следующие формы записи решения: а) по действиям с пояснением б) по действиям без пояснений в) по вопросам г) выражением д) с помощью уравнения		1)8:2=4(р.) – цена одной марки 2)4*5=20(р.) Ответ: 20 рублей стоит 5 марок. 1)8:2=4(р.) 2)4*5=20(р.) Ответ: 20 рублей стоит 5 марок. 1)Какова цена марки? 8:2=4(р.) 2)Какова стоимость 5 марок? 4*5=20(р.) Ответ: 20 рублей. (8:2)*5=20 (м.) Ответ: 20 рублей стоит 5 марок. Х:5=8:2 Х=(8:2)*5 Х=20 (р.) Ответ: 20 рублей стоит 5 марок.
IV.Исследование решения задачи
Проверка решения (4 способа). Соотнесение ответа с вопросом задачи. 4 способа проверки решения. 1.Прикидка ответа(установление границ ответа). Этот способ считается неточным, т.к. является действенным только в том случае, если полученный ответ не сильно отличается от реального. Выполняется до решения задачи. 2.Составление и решение обратной задачи. Если получили такое же данное, как и в прямой задаче, то задача решена верно. 3.Решение задачи другим способом. Если получится такой же ответ, то задача решена верно. 4.Соотнесение полученного результата с данными задачи. Чаще всего употребляются 1 и 3 способы, 2 используют только с простыми задачами (по традиционной методике). Работа по исследованию решения задачи (творческие виды работы с задачей). 1.Преобразование задачи. 2.Исследование зависимости решения от данных задачи. 3.Составление аналогичной задачи. а) по выражению б) по «дереву рассуждений» в) по буквенному выражению г) по краткой записи		Прикидка ответа: в предложенной задаче ответ должен получиться больше 8, т.к. во второй раз купили больше марок, но не больше 24, т.е. от 8 до 24. Обратная задача: 5 марок стоят 20 рублей. Сколько стоит 2 таких марки? Решение: (20:5)*2=8(р.) Получилось 8 рублей, что совпадает с данными прямой задачи, значит, задача решена верно. (Можно составить и решить другую обратную задачу.) В начальном курсе математики рассматриваемая нами задача решается только одним способом, т.к. младшие школьники на этом этапе не умеют выполнять деление на множестве рациональных чисел (5:2). Если бы были подобранны другие числовые данные, в которых одно бы делилось нацело на другое, то задачу можно было бы решить, используя прямую пропорциональную зависимость между количеством и стоимостью при условии одинаковой цены (во сколько раз больше купили марок, во столько же раз выросла стоимость). а) Изменить условие задачи так, чтобы ее можно было решить двумя способами. б) преобразовать задачу таким образом, чтобы была такая задача, но с другими величинами, например, скорость – время – расстояние. Сделать вывод о способе решения задачи (решение аналогичное, т.к. структура задачи та же самая). в) Поставить другой вопрос к задаче. Например, сколько всего денег заплатили? а) Как изменится ответ задачи, если стоимость 8 рублей увеличить (уменьшить) в 2 раза? б) Как можно изменить данные задачи, чтобы ответ увеличился в 3 раза? а) Составьте похожую задачу по выражению 15:3*6; б) Составьте задачу по «дереву рассуждений»; в) Составьте похожую задачу по выражению a:b*c; г) Составьте похожую задачу по краткой записи: Скорость Время Расстояние Одинаковая 5ч. 25км ? 30км

В литературе известна психологическая закономерность: «Успех формирования умственного действия зависит от сформированности операций из его состава».

С учетом этой закономерности мы разработали блок заданий, направленных на формирование каждой их приведенных операций. Он состоит из двух частей. 1-я часть – подготовительный этап, цель которого – формирование отдельных операций из состава действий обобщения и общего способа решения задачи. Вторая часть – основная, где формируются общий способ решения задачи и, соответственно, обобщения в целом.

На подготовительном этапе для более глубокого анализа взаимосвязи между данными и искомым в задаче целесообразно проводить творческую работу над задачей уже после ее решения. В этом случае ученики вынуждены осуществлять поиск, используя в качестве его инструмента УУД, входящие в состав общего способа решения задачи. В таблице 5 показаны способы деятельности учеников при выполнении того или иного творческого задания.

Таблица 5 – Способы деятельности учеников при выполнении творческих заданий

Деятельность учителя (приёмы организации деятельности учащихся).	Деятельность учащихся	Продукт (новые знания и способы действий).
Установите соответствие между содержанием задачи и схематическим рисунком и, наоборот, между рисунком и содержанием задачи.	сравнение, кодирование, перекодирование (операции моделирования)	Установлено соответствие между содержанием задачи и схематическим рисунком.
Составьте задачу, обратную данной.	анализ и синтез	Составлена задача, обратная данной.
При каких условиях данная задача не имела бы решения?	анализ	Выявлены условия, при которых задача не имеет решения.
Выберите из данных задач  ту, которая соответствует данному чертежу.	Сравнение.	Выбрана задача, соответствующая данному чертежу.
Исключите из задачи лишние данные (лишнее условие).	Эмпирическое обобщение	Из задачи исключены лишние данные – появилось новое знание о соотношении величин в данной задаче.
Уберите лишние данные в рисунке, чертеже, таблице и т. п.	Эмпирическое обобщение	Найдены и убраны лишние данные с рисунка, чертежа, таблицы – появилось новое знание о соотношении реальных объектов и символов, кодирующих их на схеме
Измените вопрос так, чтобы задача решалась в два действия.	аналогия	Вопрос задачи изменён, она решается в 2 действия – получилась новая задача.
Решите задачу разными способами.	обобщение	Задача решена разными способами – найдены новые способы решения задачи.

Для усвоения общего способа решения задач, целесообразно предложить детям комплекс специальных упражнений, представленных в таблице 6.

Таблица 6 – Комплекс заданий по формированию общего способа решения задач

Первый блок. Задания подготовительного характера	Учебная задача - формирование понятия о величине и ее измерении.	· задания по осознанию существенных признаков понятия величины; · задания по формированию общего алгоритма измерения величин; · задания по формированию умения находить соотношения между разными мерками величины.
Второй блок. Основной	Учебная задача - формирование общего способа решения математических задач	· задания по осознанию взаимосвязи между разными мерками одной величины; · задания по осознанию общности структуры задач разного вида; · задания по формированию общего способа решения задач в целом.

Комплекс включает два блока. Учебной задачей первого блока является формирование понятия о величине и ее измерении. В   него входят задания следующих видов: задания по осознанию существенных признаков понятия величины, задания по формированию общего алгоритма измерения величин, задания по формированию умения находить соотношения между разными мерками величины. Учебной задачей второго блока является формирование общего способа решения математических задач. Этот блок включает в себя задания по осознанию взаимосвязи между разными мерками одной величины и задания по осознанию общности структуры задач разного вида и задания по формированию общего способа решения задач в целом.

Приведем примеры заданий каждого вида.

Задания по осознанию существенных признаков понятия величины.

1) Выберите из следующих слов величины: зелёный, деревянный, высокий, прозрачный, круглый, крутой, узкий. Ответ объясни.

2) Расскажите, что нарисовано на картинке, пользуясь словами: длиннее – короче, шире – уже, выше – ниже, ближе – дальше:

   1.

 

                                                                     уже - шире

2.                                    длиннее - короче

 

3. 

                                           выше - ниже

 

4.                                           Ближе - дальше      

 3)  По каким величинам можно сравнить полоски:

 

Задания по осознанию общего алгоритма измерения величин

1)   Измерьте длины сторон прямоугольников:

 

2)  Подчеркните названия единиц длины:

М, ч, км, г, см, дм, т, мм.

3) Начертите отрезок длиной 6см. Выбери мерку длиной 2см и измерь ею отрезок. Найди длину отрезка в выбранных мерках двумя способами.

Задания по формированию умения находить соотношения между разными мерками величины

1)Площадь фигуры Катя измерила в таких единицах:         

 

      ,    а Таня в таких:                .

У Кати получается результат: 6, у Тани 12. Почему получилось разные результаты? Сколько раз укладывается Танина мерка в Катиной?

2)   Длина шага папы 1м, а длина шага Вовы 70см. Чей шаг длиннее? На сколько шаг папы длиннее шага Вовы?

3) Дима бросил мяч на 8м 45см, Витя – на 85дм, а Андрей 8м 4дм. Кто из мальчиков бросил мяч дальше?

4) Длина красной проволоки 2м 4дм, длина синей – 25дм. Какая проволока длиннее и на сколько?

5)  Закончите запись:

2035кг = …  ц… кг;             5ч =… мин;

6м 4дм = …           см;          2нед =… сут.;

6405кг = …т… кг;         100мин = …ч…мин

6) Определи:

Во сколько раз 1ц больше 1кг?

Чему равна половина часа?

Во сколько раз 1м меньше 1км?

Упражнение на выделение условия и вопроса  задачи:

1)  Даны величины:

 цена                     количество              стоимость

    Ñ                                 ∆                               ?

Составьте задачу с этими величинами. Составь задачу, обратную данной.

2) Поставьте вопрос к задаче.

         «    ∆  мешков весят  ☺ кг»

3) Подберите условие к вопросу.

«Сколько стоит один шкаф?»

4) Задачи с недостающими данными:

«Коля купил 4 ручки. Сколько денег он заплатил?»

«Сколько весит один мешок картофеля, если купили 5 таких мешков?»

«Скорость автомашины 60 кг/ч. До обеда она проехала 300 км, после обеда она ехала с такой же скоростью. Сколько всего часов проехала автомашина?»

5) Задачи с лишними данными:

«Маша купила 5 пирожков с картофелем и заплатила за них 15 рублей. Сколько денег заплатила Маша за 10 таких же пирожков, если цена одного пирожка 3 рубля?» Составьте из этой задачи две и реши их.

Задания на выделение величин и установление связи между ними:

1) «В магазине осталось 5 ящиков с яблоками и 7 ящиков с апельсинами. Ящики с апельсинами весят 50 кг. При каком условии все ящики с апельсинами будут весить меньше всех ящиков с яблоками?»

«Маша купила  ٱ  кг яблок и   ٱкг груш. За яблоки она заплатила  ٱ   рублей, причем цена 1 кг яблок равна цене 1 кг груш. При каком условии Маша купит больше  кг груш, чем яблок?»

1)                «Коля купил 5 тетрадей и 3 карандаша. Одна тетрадь стоит 4 рубля, столько стоит и один карандаш. Сколько денег Коля заплатил за покупку?

2)                Составьте таблицу и реши по ней задачу, используя величины:  «масса одного предмета», «количество предметов» и «общая масса».

5)Составьте таблицу, используя величины – цена, количество, стоимость, если задача решается так: (36:12)∙ 4

6) Составьте задачу по выражению:

13 м  ∙  2,     36ч : 12,       69: (20+3)   3,

7) Семь кукол стоят 63 рубля.    Сколько стоят 15 таких же кукол? Измените условия задачи так, чтобы она решалась одним действием.

8) «Три килограмма колбасы стоят 27 рублей. Какое количество колбасы можно купить на 81 рубль?»

Как изменить условие задачи, чтобы количество колбасы уменьшилось в 3 раза? И наоборот, чтобы увеличилось в 3 раза?

9) Велосипедист ехал до обеда 3 часа, и после обеда 4 часа и проехал всего 70 км. Сколько километров велосипедист проехал до обеда и после обеда, если его скорость была постоянной?».

После решения задачи целесообразно предложить ученикам следующие вопросы:

-                    Сколько бы километров проехал велосипедист, если бы до обеда он ехал 2 часа?

-                    Какое  бы расстояние проехал велосипедист, если бы после обеда он ехал 6 часов?

-                    Как изменится результат, если его скорость увеличится на 3 км/ч?

-                    Как изменить условие задачи, чтобы расстояние, которое проехал велосипедист до обеда, равнялось расстоянию, которое он проехал после обеда? и т. д.

Задания по осознанию общности структуры задач разного вида

1) Заполните пропуски:

Чтобы найти                 , нужно ________ разделить на            

 Чтобы  узнать            , нужно                  умножить на _________. 

 2) Составьте задачу, заменив геометрические фигуры числами,  и решите ее.     

Цена	Количество	Стоимость
1                                                                   ?           Одинаковая  2	▲ ■	♦ ?

Замените  данные в задаче величины величинами «масса 1 ведра», «количество вёдер», «общая масса», решите получившуюся задачу. Почему числовое значение ответа не изменилось?                      

Задания по формированию общего способа решения задач в целом

Рассмотрим примеры разбора задач с помощью общего алгоритма.

Пусть нам дана такая задача:

«Из 35 м ситца сшили 7 сарафанов. Сколько метров ситца потребуется, чтобы сшить 12 таких сарафанов?»

 В этой задаче ситец измеряется в двух разных мерках: в сарафанах и метрах. Даны числовые характеристики количества ткани в метрах: 7сарафанов – это те сарафаны, которые сшили, и12 сарафанов, которые надо сшить. Требуется найти количество ткани, которая необходима для пошива сарафанов.

1.            Что измеряется в задаче? (количество ткани)

2.            В чем измеряется ткань? (в метрах и в сарафанах)

3.            Какая мерка крупнее? (сарафаны)

Покажем это на отрезках.

Раз сарафанов больше, то и ткани на них потребуется больше, поэтому второй отрезок чертим длиннее.         

    35м

 

                   ?м

 

Можно составить и таблицу

Расход ткани на 1с	Кол – во сарафанов	Общий расход
одинаковый	7шт. 12 шт.	35м ?

 Сначала необходимо найти, сколько ткани потребуется на один сарафан (соотношение между мерками)

35: 7 = 5 (м)

Зная, соотношение между крупной и мелкой мерками, мы можем найти количество мелких мерок.

5∙12 = 60 (м)

Ответ: 60 метров.

Рассмотрим задачу.

«Какое расстояние пройдет теплоход, если будет плыть 6 ч со скоростью 24 км/ч?»

В этой задаче две разные мерки: часы и километры.

Дано: соотношение между мерками  (скорость теплохода) - 24 км/ч, количество крупных мерок (время, за которое теплоход преодолевает  некоторое расстояние) - 6ч.

Требуется найти  количество мелких мерок (расстояние, которое пройдет теплоход).

- Что измеряется в задаче? (расстояние)

- В чем измеряется расстояние? (в километрах  и часах)

- Какая из этих мерок крупнее? (часы)

Составим таблицу

U	t	S
24 км/ч	6ч	? км

    Зная соотношение между крупной и мелкой мерками и количество крупных мерок, мы можем найти количество мелких мерок.

24 ∙ 6 = 144 (км)

Ответ: 144 км.

Задача. Начертите отрезок длиной 10 см. Сколько сантиметров в 4/5 этого отрезка.

- Что измеряется в задаче? (отрезок)

- В каких мерках измеряется? (в см и долях)

- Какая из этих мерок крупнее? (см)

1. Начертим отрезок длиной 10 см.

2. Найдем сначала, сколько сантиметров в 1/5 этого, отрезка.

10 : 5 = 2(см)

 3.  Найдем, сколько сантиметров в 4/5 отрезка.

2 ∙ 4 = 8 (см)

Ответ: 8см.

Приведенные задачи показывают, что общий алгоритм разбора и поиска пути решения задач применим для многих задач школьного курса математики. При условии усвоения этого алгоритма ученики смогут находить решение новых для них типов задач. Поэтому целесообразно ознакомить их с таким способом разбора.

Для того чтобы ученики усвоили обобщенный способ решения задач, целесообразно предложить детям комплекс специальных упражнений при решении конкретных задач.

Задача 1: В гараже было 78 машин. Утром уехало  30 машин, а потом ещё 40. Сколько машин осталось в гараже?

 Учитель: решите задачу, составьте к ней краткую запись.

 Ученик: Было – 78 м.

                Уехало – 30 м. и 40 м.

                Осталось - ? м.

1)    30+40=70(м.) – всего уехало из гаража.

2)    78-70=8(м.)

Ответ: 8 машин осталось в гараже.

Когда учащиеся решат задачу, им предлагается дополнительная работа с данной задачей. В эту работу входят задачи, которые направлены на развитие творческой деятельности. Рассмотрим эти задания:

1. Учитель: измените, условие задачи так, чтобы задача решалась другим действием.

Ученик: «В гараже осталось 8 машин. Утром уехало 40 машин, а потом ещё 30 машин. Сколько всего машин было в гараже?»

Учитель: решите новую задачу.

Ученик: Было - ? м.

               Уехало – 30 м. и 40 м.

               Осталось – 8 м.  

               1) 30+40=70(м.) – уехало всего из гаража.

               2)70+8=78(м.)

               Ответ: 78 машин было в гараже.

2. Учитель: решите задачу разными способами.

Ученик: 1 способ:

1)    78-30=48(м.) – осталось машин в гараже.

2)    48-40=8(м.)

2 способ:

1) 78-40=38(м.) – осталось машин в гараже.

2) 38-30=8(м.)

Выражение:

78-30-40=8(м.)

Ответ: 8 машин осталось в гараже. 

3. Учитель: измените, числовые данные так, чтобы появился новый способ решения.

        Ученик: «В гараже было 20 машин. Утром в гараж приехали 25 машин, а потом ещё 10 машин. Сколько всего машин стало в гараже?»

Учитель: решите новую задачу.

Ученик: Было – 20 м.

               Приехали – 25 м. и 10 м.

               Стало - ? м.

1)    25+10=35(м.) – приехали в гараж.

2)    20+35=55(м.)

Ответ: 55 машин стало в гараже.

4. Учитель: обоснуйте правильность решения задачи.

  Ученик: первым действием мы узнали, сколько всего машин приехали утром в гараж, затем мы нашли, сколько всего машин стало в гараже.

Задача 2:

1.      Учитель: подбери условие к данному вопросу.

    Сколько всего учащихся в классе?

·        В классе 30 учащихся, из них 16 мальчиков.

·        В классе  8 мальчиков, а девочек на 2 меньше.

·        В классе учатся мальчики и девочки. Мальчиков на 7 меньше.

·        В классе 8 мальчиков и 20 девочек.

Ученик: В классе 8 мальчиков и 20 девочек. В классе  8 мальчиков, а девочек на 2 меньше.

2.     Учитель: Объяснение выражения, составленные по данному условию.

В классе 8 мальчиков и 20 девочек. Сколько всего учащихся в классе?

·        8+20;

·        20-8

Ученик: 8+20 мы найдем сколько всего учащихся в классе.

20-8 узнаем, на сколько девочек больше, чем мальчиков.

3.     Составьте задачи  по выражению:

1)    (8+20) – 4;

2)    28 – (8+4);  

3)    по рисунку.

Ученик:

1)    В классе 8 мальчиков и 20 девочек. Сколько учащихся осталось в классе, после того как 4 ушли?

2)    В классе всего 28 учеников. Вначале из класса ушли 8 ученика, потом еще 4. Сколько учеников осталось в классе?

Задача 3:

Утром в магазин привезли 12 кг слив и 20 кг яблок. За день было продано 8 кг слив и 12 кг яблок. Сколько килограммов фруктов осталось в магазине?

Учитель: решите задачу с кратким условием.

Ученик: Было – 12 кг с. и 20 кг яб.

              Продали – 8 кг с. и 12 кг яб.

              Осталось – ? кг с. и ? кг яб.

1)    12+20=32(кг) – слив и яблок было в магазине.

2)    8+12=20(кг) – слив и яблок продали.

3)    32-20=12(кг)

Ответ: 12 кг слив и яблок осталось в магазине.     

1.     Учитель: найдите в данном условие ошибку.

Было – 12 кг с. и 20 кг яб.

Продали – 8кг с. и 12 кг яб.

Осталось – 4кг с. и 8кг яб.

Ученик: в задаче неизвестно, сколько килограмм фруктов осталось в магазине, а в условии задачи сказано, что осталось 4 кг слив и 8 кг яблок. Нам нужно это найти.

2.     Учитель: составьте схему к данной задаче.

Ученик: составляют схему.

3.     Учитель: выберите задачи, при решении которых необходимо (или можно) применить данные вычислительные приёмы (задачи выбираются со страницы учебника по математике).

Ученик: выбирают задачи с заданных страниц.

4.     Учитель: решите задачу разными способами. Составьте задачу, аналогичную данной.

Ученик: 1 способ

1)    12-8=4(кг) – слив осталось в магазине.

2)    20-12=8(кг) – яблок осталось в магазине.

3)    4+8=12(кг)

Выражение:

(12-8)+(20-12)=8(кг)

 Ответ: 8 кг фруктов осталось в магазине.

В магазин привезли 14 кг слив и 25 кг яблок. За день продали 7 кг слив и 15 кг яблок. Сколько всего килограмм фруктов осталось в магазине?

Учитель: решите новую задачу.

Ученик: Привезли – 14 кг с. и 25 кг яб.

              Продали – 7 кг с. и 15 кг яб.

              Осталось – ? кг

1)    14+25=39(кг) – фруктов привезли.

2)    7+15=22(кг) – фруктов купили.

3)    39-22=17(кг)

Ответ: 17 кг фруктов осталось.

 Задача 4:

Для ремонта купили 6 кистей по 6 рублей. После этого у них осталось 25 рублей. У детей было с собой 61 рубль.

1.     Учитель: является ли этот текст задачей. Почему вы так думаете. Докажите свой ответ.

Ученик: данный текст задачей не является, так как в нём даны все данные, а вопроса нет.

2.     Учитель: измените, текст так, чтобы он был задачей. Составьте к ней краткую запись. Решите данную задачу.

Ученик: «Для  ремонта купили 6 кистей по 6 рублей каждая. После этого у них осталось 25рублей. Сколько денег было до покупки кистей?»

Было – ? р.

Купили – 6 к. по 6 р.

Осталось – 25 р.

1)    6∙6=36(р.) – потратили на кисти.

2)    25+36=61(р.)

Ответ: 61 рубль было до покупки кистей.

3.     Учитель: измените  данные задачи так, чтобы она решалась в одно действие.

Ученик: «Для ремонта купили кисти, за них заплатили 36 рублей. После этого осталось 25 рублей. Сколько всего  денег было?»

Было – ? р.

Заплатили – 36 р.

Осталось – 25 р.

36+25=61(р.)

Ответ: 61 рубль был до покупки.

4.     Учитель: поставьте другой вопрос к данной задаче, ответ на который можно найти по данным условия задачи.

Ученик: «Для ремонта купили 6 кистей  по 6 рублей каждая. Сколько нужно заплатить за эту покупку?»

Купили – 6 к. по 6 р.

Стоимость – ? р.

6*6=36(р.)

Ответ: 36 рублей стоит эта покупка.

Учитель: составьте схему к данной задаче.

Ученик: составляют схему.

5.     Учитель: измените, числовые данные задачи так, чтобы появился новый способ решения.

Ученик: «У детей было 61 рубль. Для ремонта купили кисти, за покупку заплатили 36 рублей. Сколько денег  осталось?»

Учитель: решите задачу.

Ученик: Было – 61 р.

Потратили – 36 р.

Осталось – ? р.

61-36=25(р.)

Ответ: 25 рублей осталось.

2.3 Эксперимент и его результаты

Наш эксперимент проводился в МБОУ № 176 г.о. Самара. В нем принимали участие две группы учащихся: контрольный класс – 2 «А» и экспериментальный класс – 2 «Б».

Цель эксперимента: проверить эффективность разработанной нами методики по формированию обобщения как универсального учебного действия в обучении решению задач.

Эксперимент проводился в два этапа:

1 этап – констатирующий эксперимент;

2 этап – формирующий эксперимент.

1. На первом этапе в качестве контрольных  заданий учащимся предлагались следующие задачи:

1)    На одной полке 20 книг, а на другой – на 3 книги меньше. Сколько всего книг на двух полках?

2)    В классе 8 мальчиков и 20 девочек. Сколько учащихся осталось в классе, после того как 4 ушли?

3)    Утром в магазин привезли 12 кг слив и 20 кг яблок. За день было продано 8 кг слив и 12 кг яблок. Сколько килограммов фруктов осталось в магазине?

В течение недели учащиеся обеих групп решали данные задачи и объясняли свой выбор действия, к последним двум задачам учащимся предлагались дополнительные вопросы и задания.

Результат оценивался по следующим критериям:

а) правильность – учащийся правильно выбирает действие и умеет аргументировать свой ответ;

б) обобщенность – умение решать похожие задачи из предложенных.

По критерию правильности, результаты показаны в таблице 4

Результаты констатирующего эксперимента по критерию правильности представлены в  таблице 7.

Таблица 7 – Результаты по критерию правильности

	4 задания	3 задания	2 задания	1 задание	Ни одного задания
ЭК (27 чел.)	18% (5 чел.)	30% (8 чел.)	32% (9 чел.)	12% (3 чел.)	8% (2 чел.)
КК (27 чел.)	18% (5 чел.)	30% (8 чел.)	25% (7 чел.)	17% (5 чел.)	10% (2 чел.)

Из таблицы видно, что уровень  овладения умением решать задачи по критерию правильности прочти одинаковый и в контрольном и в экспериментальном классе.

Большая часть  учащихся в обоих классах не могла справиться с последними двумя задачами, что говорит о низком уровне сформированности проверяемого нами умения.

Психологи выделяют уровни сформированности общего способа решения задач. Определим уровни. Некоторые психологи (Репкина Г.В., Зайка Е.В., Ренкин В.В. и др.) выделяют следующие уровни сформированности учебных действий. Всего выделяют шесть уровней, охарактеризуем их, раскрывая суть каждого уровня: 

1.                 Отсутствие учебных действий как целостных единиц деятельности.

Не может выполнять учебные действия как таковые, может выполнять лишь отдельные операции без их внутренней связи друг с другом или копировать внешнюю форму действий. Не осознаёт содержание учебных действий и не может дать отчёта о них; не с помощью учителя (за исключением прямого показа) не способен выполнять учебные действия; навыки образуются с трудом и оказываются крайне неустойчивыми.

2.                 Выполнение учебных действий в сотрудничестве с учителем.

Содержание действий и их операционный состав осознаются; приступает к выполнению действий, однако без помощи организовать свои действия и довести их до конца не может; в сотрудничестве с учителем работает относительно успешно. Может дать отчёт о своих действиях, но затрудняется в их практическом воплощении; помощь учителя принимается сравнительно легко; эффективно работает при пооперационном контроле; самостоятельные учебные действия практически отсутствуют.

3.                     Неадекватный перенос учебных действий.

Ребёнок самостоятельно применяет усвоенный способ действия к решению новой задачи, однако не способен внести в него даже небольшие изменения, чтобы приноровить его к условиям конкретной задачи. Усвоенный способ применяет «слепо», не соотнося его с условиями задачи; такое соотнесение и перестройку действия может осуществлять лишь с помощью учителя, а не самостоятельно; при неизменности условий способен успешно выполнять действия самостоятельно.

4.                     Адекватный перенос учебных действий.

Умеет обнаружить несоответствие новой задачи и усвоенного способа; пытается самостоятельно перестроить известный ему способ, однако может это правильно сделать только при помощи учителя. Достаточно полно анализирует условия задачи и соотносит их с известными способами; легко принимает косвенную помощь учителя; осознает и готов описать причины своих затруднений и особенности нового способа действ.

5.                     Самостоятельное построение учебных действий.

Решая новую задачу, самостоятельно строит новый способ действия или модифицирует известный ему способ, делает это постепенно, шаг за шагом и в конце без какой-либо помощи извне правильно решает задачу. Критически оценивает свои действия, на всех этапах решения задачи может дать отчёт о них; нахождение нового способа осуществляется медленно, неуверенно, с частым обращением к повторному анализу условий задачи, но на всех этапах полностью самостоятельно.

6.                     Обобщение учебных действий.

Опирается на принципы построения способов действия и решает новую задачу «сходу», выводя новый способ из этого принципа, а не из модификации известного частного способа. Овладевая новым способом, осознаёт не только его состав, но и принципы его построения (т.е. то, на чём он основан), осознаёт сходство между различными модификациями и их связи с условиями задач.

Результаты первого этапа эксперимента, уровня сформированности учебных действий отражены в таблице 8.

Из таблицы видно, что большинство учащихся обоих классов умеют выделять учебные действия как целостные единицы деятельности и выполнять их при решении задач (28%) в основном с помощью или под руководством учителя. При выявлении общих принципов учебных действий, у всех учеников возникли сложности, это является показателем узкой сформированности учебных действий.

Таблица 8 – Уровень сформированности учебных действий

Уровни	КК	ЭК
1.         2.         3.         4.         5.         6.	28% (8 чел)              30% (8 чел)              17% (5 чел)              15% (4 чел)              10% (2 чел)              0% (0 чел)	28% (8 чел) 30% (8 чел) 22% (6 чел) 12% (3 чел) 8% (2 чел) 0% (0 чел)

По критерию осознанности результаты отражены в таблице 9.

Таблица 9 – Результаты по критерию осознанности

Умственные операции
		Правильно ответили	Не ответили	С помощью учителя
1. Выделение числовых данных	ЭК КК	90 (24 чел) 85 (23 чел)		10 (3 чел) 15 (4 чел)
2. Выделение искомого	ЭК КК	50 (13 чел) 50 (13 чел)	20 (6 чел) 30 (8 чел)	30 (8 чел) 20 (6 чел)
3. Выбор действия	ЭК КК	85 (23 чел) 80 (22 чел)	4 (1 чел) 8 (2 чел)	11 (3 чел) 12 (3 чел)
4. Обоснования выбора действия	ЭК КК	40 (11 чел) 35 (9 чел)	25 (7 чел) 35 (9 чел)	35 (9 чел) 30 (8 чел)
5. Решение	ЭК КК	50 (13 чел) 45 (12 чел)	15 (5 чел) 25 (7 чел)	35 (9 чел) 30 (8 чел)
6. Выделение ответа	ЭК КК	70 (19 чел) 65 (18 чел)	5 (1 чел) 10 (2 чел)	25 (7 чел) 25 (7 чел)

Из данных таблицы видно, что такие операции, как  выделения искомого и ответа не вызывают трудности у обучающихся; трудности же возникают при обосновании выбора действия, что говорит о не вполне осознанном решении задач: ответ верный у многих, а с обоснованием способа его нахождения справились не все учащиеся.

По критерию обобщенности учащимся предлагалась работа с задачами, в которой преобладает  одинаковая структура, но степень обобщенности данных различается по трем параметрам:

·        с числовыми данными;

·        с частично-обобщёнными данными;

·        с обобщёнными данными.

Результаты по данному критерию представлены в таблице 10.

Таблица 10 – Результаты по критерию обобщенности

	С числовыми данными	С частично-обобщёнными данными	С обобщёнными данными
ЭК	50% (13 чел)	30% (8 чел)	20% (6 чел)
КК	40% (10 чел)	35% (9 чел)	25% (7 чел)

Вывод: учащиеся затрудняются в решении задач с обобщёнными данными (45%), что говорит о несформированности действия обобщения. 

2. В конце эксперимента был проведён контрольный срез (на 10-м уроке). На данном этапе в качестве контрольных заданий учащимся предлагались следующие задачи:

1) Детям купили 5 тонких тетрадей по 4 рубля и столько же общих тетрадей по 7 рублей. Сколько денег заплатили за все тетради?

2) Для  ремонта купили 6 кистей по 6 рублей каждая. После этого у них осталось 25рублей. Сколько денег было до покупки кистей?

3) Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Какое расстояние он пройдет за 3 часа?

Результаты контрольного эксперимента оценивались по тем же критериям, что и в констатирующем эксперименте, и все данные занесены в таблицу 11.

Таблица 11 – Результаты по критерию правильности

	3 задания	2 задания	1 задание	Ни одного задания
ЭК	35% (9 чел)	40% (11 чел)	25% (7 чел)
КК	30% (8 чел)	35% (9 чел)	30% (8 чел)	4% (1 чел)

Из таблицы 11 видно, что уровень сформированности умения решать задачи в экспериментальном классе стал немного выше, чем в контрольном. Но стоит отметить, что со всеми  задачами справились только 35%  в экспериментальном и 30 в контрольном. Значит можно говорить о том, что у обучающихся уровень сформированности проверяемого умения стал немного выше.

Определим уровни сформированности проверяемого умения.

Результаты уровней покажем в таблице 12.

Таблица 12 - Уровень сформированности учебных действий

Уровни	КК	ЭК
1.         2.         3.         4.         5.         6.	17% (4 чел) 26% (7 чел) 23% (6 чел) 19% (5 чел) 12% (3 чел) 0% (0 чел)	22% (6 чел) 15% (5 чел) 27% (7 чел) 21% (6 чел) 10% (2 чел) 5% (1 чел)

Из таблицы 12 видно, что учащиеся экспериментального класса в полной мере анализируют условия предлагаемых задач, после чего соотносят с используемыми ранее способами решения задач,  действуют уверенно при выборе действия, могут аргументировать свой выбор. В контрольном классе это дети действия выполняются с некоторыми сложностями, учителю приходится помогать. 

    По критерию осознанности результаты контрольного эксперимента отражены  в таблице 13.

Данные таблицы 13 позволяют нам говорить о том, что учащийся экспериментальной группы стали лучше владеть операционным содержанием процесса решения задачи по сравнению с констатирующим экспериментом. Следует также отметить, учащийся экспериментальной группы лучше выполняют рассуждения при решении задачи, чем в контрольном классе.

Таблица 13 – Результаты по критерию осознанности

Умственные операции
		Правильно ответили	Не ответили	С помощью учителя
1. Выделение числовых данных	ЭК КК	90 (24 чел) 85 (23 чел)		10 (3 чел) 15 (4 чел)
2. Выделение искомого	ЭК КК	50 (13 чел) 50 (13 чел)	20 (6 чел) 30 (8 чел)	30 (8 чел) 20 (6 чел)
3. Выбор действия	ЭК КК	85 (23 чел) 80 (22 чел)	4 (1 чел) 8 (2 чел)	11 (3 чел) 12 (3 чел)
4. Обоснования выбора действия	ЭК КК	40 (11 чел) 35 (9 чел)	25 (7 чел) 35 (9 чел)	35 (9 чел) 30 (8 чел)
5. Решение	ЭК КК	50 (13 чел) 45 (12 чел)	15 (5 чел) 25 (7 чел)	35 (9 чел) 30 (8 чел)
6. Выделение ответа	ЭК КК	70 (19 чел) 65 (18 чел)	5 (1 чел) 10 (2 чел)	25 (7 чел) 25 (7 чел)

    Данные по критерию обобщенности результата контрольного эксперимента представлены в таблице 14.

Таблица 14 – результаты по критерию обобщенности

	С числовыми данными	С частично-обобщёнными данными	С обобщёнными данными
ЭК	40 % (10 чел)	30% (8 чел)	25% (7 чел)
КК	35% (9 чел)	40% (10 чел)	25% (7 чел)

     Из таблицы 14 видно, что задачи с обобщенными данными всё ещё являются объектом затруднения у обучающихся.

    В экспериментальном классе виден прогресс, который говорит о небольшом росте в умении решать задачи, чего нельзя сказать о контрольном классе, у них не большие изменения в росте этого умения.

3. На формирующей эксперимент отводилось 30 уроков (по 7 – 10 минут на каждом уроке). Учащимся на этом этапе эксперимента в качестве контрольных заданий учащимся предлагались следующие задачи:

1) На одних станке сделали 12 детей, а на другом – на 5 детей больше. Сколько деталей сделали на обоих станках?

2) Гончар изготавливает 20 ваз за 5 часов. За сколько часов гончар изготовит 36 ваз, если за каждый час он изготавливает одинаковое количество ваз?

3) Мама купила  5кг конфет и 2кг печенья.  За всю покупку она заплатила 350 рублей. Сколько стоит один килограмм печенья, если один килограмм конфет стоит 50 рублей?

Результаты формирующего эксперимента оценивались по тем же критериям, что и первые два эксперимента.

 По критерию правильности результаты показаны в таблице 15.

Таблица 15 – Результаты по критерию правильности

	3 задания	2 задания	1 задание	Ни одного задания
ЭК	50% (10 чел)	35% (9 чел)	25% (7 чел)	0% (0 чел)
КК	30% (8 чел)	35% (9 чел)	25% (7 чел)	10% (2 чел)

Из данных таблицы можно говорить о том, что уровень сформированности умения при решении задач вырос в экспериментальном классе на 32%, тогда как в контрольном классе только на 12%. Если в начале эксперимента в экспериментальном классе некоторые дети не смогли решить ни одного задания.  К окончанию эксперимента, таких обучающихся уже не было.

Половина обучающихся экспериментального класса смогли решить все задания, что говорит о среднем уровне сформированности проверяемого умения.

Определим уровни сформированности учебных действий.

Результаты уровней отразим в таблице 16.

Таблица 16 – Уровень сформированности учебных действий

Уровни	КК	ЭК
1.         2.         3.         4.         5.         6.	17% (4 чел) 25% (7 чел) 25% (7 чел) 20% (6 чел) 10% (2 чел) 3% (1 чел)	5% (1 чел) 15% (5 чел) 15% (5 чел) 25% (7 чел) 15% (4 чел) 20% (5 чел)

 Делая вывод из выше представленной таблицы, следует отметить, что у обучающихся экспериментального класса, после уроков решения задач по общему способу действия не возникают сложности при виде новых задач. Ученики  решают их с легкостью, понимая, что различные применяемые при решении задач частные способы имеют общее основание, несмотря на возможные внешние их различия.

    По критерию осознанности результаты представлены в таблице 17.

Таблица 17 – Результаты по критерию осознанности

Умственные операции
		Правильно ответили	Не ответили	С помощью учителя
1. Выделение числовых данных	ЭК КК	96 (26 чел) 90 (24 чел)		4 (1 чел) 10 (3 чел)
2. Выделение искомого	ЭК КК	55 (16 чел) 50 (13 чел)	10 (2 чел) 20 (4 чел)	35 (9 чел) 30 (8 чел)
3. Выбор действия	ЭК КК	85 (23 чел) 80 (22 чел)	3 (1 чел) 5 (1 чел)	12 (3 чел) 15 (4 чел)
4. Обоснования выбора действия	ЭК КК	45 (12 чел) 35 (9 чел)	15 (4 чел) 25 (7 чел)	40 (11 чел) 40 (11 чел)
5. Решение	ЭК КК	50 (13 чел) 50 (13 чел)	10 (2 чел) 18 (4 чел)	45 (12 чел) 32 (9 чел)
6. Выделение ответа	ЭК КК	70 (19 чел) 65 (18 чел)	4 (1 чел) 5 (1 чел)	26 (7 чел) 30 (8 чел)

     Из таблицы 17 видно, что операции, которые представляли наибольшую трудность (выбор действия и его обоснование) в экспериментальном классе стали представлять небольшую трудность по сравнению с результатами контрольного эксперимента.

    По критерию обобщенности результаты эксперимента отражены в таблице 18.

Таблица 18  – Результаты по критерию обобщенности

	С числовыми данными	С частично-обобщёнными данными	С обобщёнными данными
ЭК	15% (5 чел)	40% (10 чел)	45% (12 чел)
КК	30% (8 чел)	40% (10 чел)	30% (8 чел)

Из приведенной таблицы, можно сделать вывод, что у обучающихся экспериментального класса, почти не возникают трудности, в решении задач с обобщёнными данными, что говорит о глубокой сформированности обобщения.  А в контрольном классе существенных изменений не произошло и можно сказать, что в контрольном классе так и осталось у обучающихся узкое обобщение задач.

Для подтверждения достоверности полученных результатов эксперимента по критерию правильности в ЭК и КК воспользуемся статистическим непараметрическим критерием Манна-Уитни. Он предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, измеренного количественно. В нашем случае по уровню овладения умением решать  задачи.

Сформулируем гипотезы Н₀ и Н₁ (соответственно, нулевая и альтернативная гипотезы).

 Н₀: уровень сформированности умения решать задачи в ЭК не превышает уровень сформированности данного умения в КК.

Н₁: уровень сформированности умения решать  задачи в ЭК  существенно превышает уровень сформированности данного умения в КК.

В нашем случае ЭК и КК образуют две независимые выборки.

КК (по возрастанию): 1,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,6,6,6,6.

ЭК (по возрастанию): 3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6.

Из этих выборок составим одну общую таблицу (см. табл.16).

Таблица 16 –Ранжирование обучающихся по количеству правильно выполненных заданий

№	Количество выполненных заданий	Ранг	№	Количество выполненных заданий	Ранг
1	2	3	4	5	6
1	6	5,5	26	4	29
2	6	5,5	27	4	29
3	6	5,5	28	4	29
4	6	5,5	29	4	29
5	6	5,5	30	4	29
6	6	5,5	31	4	29
7	6	5,5	32	4	29
8	6	5,5	33	4	29
9	6	5,5	34	4	29
10	6	5,5	35	3	41
11	5	17	36	3	41
12	5	17	37	3	41
13	5	17	38	3	41
14	5	17	39	3	41
15	5	17	40	3	41
16	5	17	41	3	41
17	5	17	42	3	41
18	5	17	43	3	41
19	5	17	44	3	41
20	5	17	45	3	41
21	5	17	46	3	41
22	5	17	47	3	41
23	5	17	48	2	48,5
24	4	29	49	2	48,5
25	4	29	50	1	50

Определим большую из двух ранговых сумм. Для этого разобьем общую выборку на две отдельные и посчитаем суммы рангов каждой выборки.

КК:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
50	48,5	48,5	41	41	41	41	41	41	41	41	41	29	29	29	29	29	17	17	17	17	5,5	5,5	5,5	5,5

t_x = 751

ЭК:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
41	41	41	41	29	29	29	29	29	29	17	17	17	17	17	17	17	17	17	5,5	5,5	5,5	5,5	5,5	5,5

t_x = 524

Статистика подсчитывается по формуле U = , где n₁ – количество человек в первой выборке, n₂ – количество человек во второй выборке, h_x – объем выборки с большей суммой рангов, t_x – большая сумма рангов.

В нашем случае: Uнабл =  25∙25+25∙24/2-751 = 174

Правило принятия решения следующее: сравниваем U_набл. с U_{критич.} 

Если U_набл. > U_{критич.}, то нет оснований отклонять нулевую гипотезу,

если  U_набл. ≤ U_{критич.}, то принимаем альтернативную гипотезу.

В нашем случае U_{критич.}= 192 при степени достоверности р=0,01.

Следовательно, принимаем гипотезу Н₁ с вероятностью ошибки 1%, т.е. степень достоверности 99%. Это означает, что разработанный нами комплекс повышает качество усвоения материала.

3. Использование приема моделирования как средства поиска пути решения задач  способствует  улучшению качества сформированных умений решать задачи с обобщенными данными.

Для проверки достоверности полученного вывода используем статистический критерий знаков.

Для этого:

1) Составим выборки: Х₁  и Х₂.

Х₁ – результаты выполнения контрольного среза до эксперимента в ЭК, по уровням:

Высокий (с обобщенными данными);

Средний (с частично-обобщенными данными);

Низкий (с конкретными данными).

Х₂ – результаты выполнения контрольного среза после эксперимента в ЭК, по тем же уровням.

Сохраним таблицу с присвоением номера каждому ребенку в соответствии со списком в журнале.

Таблица 17 – Результаты эксперимента по критерию обобщенности

№	До эксперимента	После эксперимента	Сдвиг
1	высокий	средний	-
	низкий	высокий	+
	низкий	средний	+
	низкий	высокий	+
	низкий	высокий	+
	средний	высокий	+
	низкий	высокий	+
	средний	средний	0
	низкий	высокий	+
	средний	средний	0
	низкий	средний	+
	высокий	высокий	0
	низкий	средний	+
	средний	низкий	-
	низкий	высокий	+
	низкий	средний	+
	высокий	средний	-
	низкий	высокий	+
	средний	высокий	+
	низкий	средний	+
	низкий	высокий	+
	низкий	средний	+
	низкий	высокий	+
	средний	высокий	+
	низкий	средний	+

Обозначим:

«+» - положительный сдвиг, т.е. переход ученика на более высокий уровень;

«-» - отрицательный сдвиг (переход на более низкий уровень);

«0» - ученик остался на том же уровне.

Уберем из рассмотрения 3 значения «0» (получим объем выборки             n = 25 – 3 = 22 (чел)). Подсчитаем количество отрицательных сдвигов (статистику критерия): R_набл.= 3.

Сформулируем гипотезы:

Н₀ «Изменения в ЭК по овладению умением решать задачи с обобщенными данными носят случайный характер»;

Н₁ «Изменения в ЭК по овладению умением решать задачи с обобщенными данными являются существенными».

4)Сравним R_набл с R_табл.

R_набл = 3;  R_табл = 5; R_набл < R_табл.[42; 323].

Таким образом, принимается гипотеза Н₁ с вероятностью ошибки в 1%.

Это означает, что со степенью достоверности 99 % можно утверждать, что разработанный нами комплекс является эффективным по критерию обобщенности. 

4. Использование приема моделирования как средства обучения младших школьников решению задач  способствует формированию умения анализировать содержание задачи и, как следствие, решать задачи разными способами.  

Для проверки достоверности полученного вывода используем статистический критерий знаков.

 Для этого:

1) Составим выборки: Z₁  и Z₂.

Z₁– результаты выполнения контрольного среза до эксперимента в ЭК, по уровням:

Высокий (задача решена 3-мя способами);

Средний (задача решена 2-мя способами);

Низкий (задача решена 1-м способом).

Z₂  – результаты выполнения контрольного среза после эксперимента в ЭК, по тем же уровням.

Сохраним таблицу с присвоением номера каждому ребенку в соответствии со списком в журнале.

Таблица 18 – Результаты эксперимента по критерию глубины и существенности анализа

№	До эксперимента	После эксперимента	Сдвиг
1	высокий	средний	-
	средний	высокий	+
	средний	средний	0
	низкий	высокий	+
	средний	высокий	+
	низкий	средний	+
	средний	высокий	+
	средний	средний	0
	средний	высокий	+
	средний	средний	0
	низкий	средний	+
	низкий	высокий	+
	средний	средний	0
	средний	высокий	+
	низкий	средний	+
	средний	средний	0
	средний	высокий	+
	низкий	высокий	+
	высокий	средний	-
	средний	высокий	+
	низкий	высокий	+
	средний	высокий	+
	низкий	средний	+
	низкий	высокий	+
	низкий	средний	+

2) Обозначим:

«+» - положительный сдвиг, т.е. переход ученика на более высокий уровень;

«-» - отрицательный сдвиг (переход на более низкий уровень);

«0» - ученик остался на том же уровне.

Уберем из рассмотрения 5 значений «0» (получим объем выборки             n = 25 – 5 = 20 (чел)). Подсчитаем количество отрицательных сдвигов (статистику критерия): R_набл.= 2.

3) Сформулируем гипотезы:

Н₀ «Изменения в ЭК по овладению умением анализировать содержание задачи носят случайный характер»;

Н₁ «Изменения в ЭК по овладению умением анализировать содержание задачи являются существенными».

4) Сравним R_набл с R_табл.

R_набл = 2;  R_табл = 4; R_набл < R_табл. [42; 323].

Таким образом, принимается гипотеза Н₁ с вероятностью ошибки в 1%.

Это означает, что со степенью достоверности 99 % можно утверждать, что разработанный нами комплекс является эффективным по критерию глубины анализа содержания задачи.

Выводы по эксперименту:

1. При использовании в экспериментальном классе разработанного нами блока заданий мы наблюдали следующее: 

    - Существенно повысился уровень овладения умением решать задачи. Значительно вырос процент обучающихся экспериментального класса, справившихся со всеми заданиями (если первоначально он составлял 20 % (5 человек), то, по результатам формирующего эксперимента, он возрос до 72 % (18 человек)). Кроме того, в этом классе в результате проведенного нами эксперимента совсем не осталось обучающихся, которые справились меньше, чем с двумя заданиями (если по результатам констатирующего эксперимента таких обучающихся было 28 % (7 человек), то к концу формирующего эксперимента таких обучающихся не осталось вообще).

В контрольном классе изменения были незначительны.

- При решении задач большинство обучающихся экспериментального класса строили различные варианты кратких записей (графические и знаковые модели), которые помогали им получать верные ответы. Это говорит о сформированности умения моделировать (входит в операционный состав теоретического обобщения)

- В процессе проведенного нами эксперимента большинство обучающихся практически овладели умением решать задачи с обобщенными данными (сформировано действие обобщения в целом);

- Обучающиеся экспериментального класса строили  и использовали модели на всех этапах решения задачи. Значительная часть построенных  моделей была адекватна структуре задач. Все это помогло ученикам достигнуть верных результатов при решении задач.

- Наш эксперимент способствовал формированию умения анализировать содержание задачи, что повлияло на умение младших школьников решать задачи двумя и более способами.

Следовательно, можно сделать вывод о том, что у детей практически сформировалось общее умение решать задачи. Это означает, что ученики выполнили обобщение способов действий при решении задач разного вида. Все это говорит об эффективности предложенных нами заданий.

Заключение

На основе выявленных теоретических положений и экспериментального исследования мы получили следующие результаты.

1.            Проведенный анализ психолого-педагогической, научно-математической и методической литературы позволил нам выявить сущность понятия обобщения как познавательного универсального учебного действия.

2.            Выявлены виды и операционные составы разных видов обобщения, а также закономерности формирования этого познавательного универсального учебного действия у младших школьников.

3.            Показано, что арифметические текстовые задачи являются содержанием, благоприятным для формирования обобщений у младших школьников, поскольку направленность обучению общему способу решения задач позволяет также целенаправленно формировать как отдельные операции из составов эмпирического и теоретического обобщения, так и эти действия в целом.

4.                          С учетом этого разработан комплекс упражнений, нацеленный на формирование умений работать над задачей на каждом этапе.

5.                          Показаны пути реализации этого комплекса заданий в учебном процессе.

6.       Экспериментально показано, что внедрение в практику обучения созданной методики, в которой подобраны задания, способствующие формированию обобщенных умений решать задачи, улучшает качество математической подготовки обучающихся.

7.            Достоверность экспериментальных данных доказана с помощью вероятностных методов статистической обработки результатов.

Все это дает основание считать, что гипотеза доказана, а поставленные задачи исследования решены.

Библиографический список

1.            Анкудинова, Т.Г. Работа над текстовой задачей/ Т.Г. Анкудинова //Начальная школа. – 1997. - №7. – 32 с.

2.            Артемов, А.К. Обучение математике в 1 классе. Программа развивающего обучения/ А.К. Артемов//- Пенза, 1995. – 450 с.

3.            Артемов, А.К. Обучение математике в начальных классах: пособие для учителей и студентов факультета педагогики и методики начального обучения/ А.К. Артемов - Самара: Изд-во СГПУ., 1995. – 120с.

4.            Асмолов, А.Г. Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе: от действия к мысли/ А.Г. Асмолов. - Пособие для учителя. М.: Просвещение, 2008. – 345с.

5.            Астряб, А.М. О принципах систематизации арифметических задач/ А.М. Астряб //Начальная школа. – 1939. - №5.

6.            Балл, Г.А. Базовые понятия общей теории задач//А.Г. Балл. – Киев, 1979. – 380с.

7.            Балл, Г.А. О психологическом содержании понятия «задача»./ А.Г. Балл /Вопросы психологии.- 1970. - №6. – 70с.

8.            Белошистая, А.В. Прием графического моделирования при обучении решению задач/ А.В. Белошистая //Начальная школа.- 1991. - №4. – 56 с.

9.            Выготский Л.С. Хрестоматия по психологии, М., 1987.

10.        Глушков, И.К. Составление задач по выражению./ И.К. Глушков //Начальная школа. – 1992. - №6. – 39с.

11.        ГОСТ 2.195-95 Единая система конструкторской документации. Общие требования к текстовым документам. – Минск: Стандартинформ, 2007.– 9 с.

12.        ГОСТ Р 7.0.11-2011. Наименование на русском языке. Система стандартов по информации, библиотечному и издательскому делу. Диссертация и автореферат диссертации. Структура и правила оформления. – М.: Стандартинформ, 2012. –  10 с.

13.        Гурова, Л.Л. Психологический анализ решения задач//Л.Л. Гурова - Воронеж: Воронежский университет, 1976. – 570с.

14.        Данилов, М.А. Процесс обучения в современной школе// М.А. Данилов  – М., 1965. – 340с.

15.        Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении, М., 1972.

16.        Достоинства и недостатки перечня универсальных учебных действий Федерального государственного образовательного стандарта [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.eidos.ru/journal/2012/0829-05.htm

17.        Захарова, Н.М. Простые задачи в системе УДЕ./ Н.М. Захарова //Начальная школа. – 1997. - №3. – 78с.

18.        Зубова, С.П. Использование задач для выявления сформированности обобщения/ С.П. Зубова //Начальная школа. – 1993. - №5. – 54с.

19.        Зубова, С.П. Обучение решению задач в начальных классах: Учебно-методическое пособие для студентов факультета начального образования. Самара: Изд-во СГПУ,  2003. - 84 с.

20.        Каирова, Л.А., Заяц Ю.С. Методика преподавания математики в начальных классах : учебно-методическое пособие для студентов дневного отделения// Л.А. Каирова. -  В 2 ч. Ч.2 – Барнаул : АлтГПА, 2011. – 111 с.  

21.        Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике// Ю.М. Колягин – М., 1977 – в 2 частях.

22.        Левенберг, Л.Ш.  Рисунки, схемы, чертежи в начальном курсе математики / Л.Ш. Левенберг. – М.: Просвещение, 1978. – 380с.

23.        Мавриненко, Г.А. Как научить детей решать задачи? / Г.А. Мавриненко. - Саратов: Издательство «Лицей», 1999. – 540с.

24.        Медведская, В.Н. Формирование у первоклассников умения работать над задачей./ В.Н. Медведская //Начальная школа. – 1993. - №10.- 37с.

25.        Менчинская, Н.А. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах// Н.А Менчинская, М.Н Моро. – М., 1965. – 320с.

26.        Менчинская, Н.А. Задачи в обучении/ Н.А. Мечинская//Педагогическая энциклопедия.Т.2., - М.: Знание, 1965. – 530с.

27.        Методическое пособие «Математика. Методика обучения» // В.Н. Рудницкая, Т.В.Юдачева. - М: «Вентана-Граф» 2013г. – 250с.

28.        Михеева, Ю.В. Проектирование урока с позиции формирования универсальных учебных действий. Статья./  Ю.В. Михеева. -  Учительская газета, 2012 . – 310с.

29.        Михеева, Ю.В. Урок. В чём суть изменений с введением ФГОС начального общего образования: (Статья) // Науч. – практ. жур.«Академический вестник» / Мин. обр. МО ЦКО АСОУ. – 2011. – Вып. 1(3). – С.46.

30.        Моро, М. И.  Математика. 2 кл.: учеб.для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 1 / М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др. — 3-е изд. – М. : Просвещение, 2012. — 96 с.

31.        Моро, М. И. и Пышкало А.М. Методика обучения математике в I – III классах. Пособие для учителя / М. И. Моро, А.М. Пышкало.– М.: Просвещение, 2000. – 336 с.

32.        Моро, М.И. Обучение математике в 1 классе/М.И. Моро, М.А. Бантова. – М., 1966. – 240с.

33.        Обучение математике через задачи [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://fmi.asf.ru/library/book/mpm/9ba.html

34.        Педагогика [Электронный ресурс] – Режим доступа:  http://paidagogos.com/?cat=1

35.        Петерсон, Л. Г. Математика. 2 класс: Методические рекомендации для учителей/Петерсон, Л. Г. —  Изд. 2-е, перераб. и доп. — М.: Издательство «Ювента», 2008. — 336 с.

36.        Петерсон, Л. Г. Математика. 2 класс: Методические рекомендации для учителей/Петерсон, Л. Г. —  Изд. 2-е, перераб. и доп. — М.: Издательство «Ювента», 2008. — 336 с.

37.        Петерсон, Л.Г. Математика. 2 класс. Часть 1. –  Изд. 2-е перераб. / Л.Г. Петерсон. –  М.: Издательство «Ювента», 2009. – 112 с.

38.        Петерсон, Л.Г. Математика. 2 класс. Часть 2. – Изд. 2-е перераб. / Л.Г. Петерсон. – М.: Издательство «Ювента», 2009. – 114 с.

39.        Петерсон, Л.Г. Математика. 2 класс. Часть 3. – Изд. 2-е перераб. / Л.Г. Петерсон. – М.: Издательство «Ювента», 2009. – 114 с.

40.        Петерсон, Л.Г. Формирование и диагностика организационно-рефлексивных общеучебных умений/ Л.Г. Петерсон, Ю.В.   Агапов– М., 2008. – 340с.

41.        Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии в 2 т., т.1.-М., 1989.

42.        Рудницкая,  В.Н. Программа УМК «Начальная школа XXI века»//Н.Ф. Виноградовой. - Математика, 1-4 класс: учебник для обучающихся общеобразовательных учреждений в 2 ч. – М.: Вентана – Граф, 2009

43.        Рузин, Н.К. Познавательные и развивающие функции задач в обучении математике обучающихся начальных классов средней школы/ Н.К. Рузин. – М., 1971. – 300с.

44.        Скрипченко. А.В. Формирование обобщённых способов решения арифметических задач у младших школьников./ А.В. Скрипчнко//Вопросы психологии. – 1963. - №2.

45.        Стойлова, Л. П. Математика: Учебник для студентов отделений и факультетов начальных классов средних и высших педагогических учебных заведений. / Л.П. Стойлова – М.: Издательский центр «Академия», 1997. – 464с.

46.        Тимофеева, В.П. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах.: Пособие для студентов подгот. Учителей начальных классов заочного отделения/ В.П. Тимофеева. – М.; Изд – во «Институт практической психологии», - Воронеж: НПО.

47.        Тридчикова, Л.А. Активизация познавательной деятельности обучающихся при работе над простой задачей./ Л.А. Тридчикова//Начальная школа. – 1995. - №10.

48.        Универсальные учебные действия [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://standart.edu.ru/catalog.aspx≤CatalogId=313

49.        Федеральные Государственные Образовательные Стандарты [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://standart.edu.ru/

50.        Фонин, Д.С. Моделирование как важное средство обучения решению задач. / Д.С. Фонин, И.И. Целищева. //Начальная школа. – 1990. - №3. – 25.

51.        Фридман, Л.М. Методика обучения решению задач/ Л.М. Фридман – М.: Знание, 1974. – 310с.

52.        Фридман, Л.М. Педагогический анализ задач. Сообщение 2. Составные части и структура задачи. – В кн.: Новые исследования в психологии возрастной физиологии. – М., 1970. - №1. – 60с.

53.        Формирование приёмов математического мышления / под ред. Талызиной Н.Ф., М., 1995.

54.        Царёва, С.Е. Виды работ с задачами на уроках математики. / С.Е. Царёва.//Начальная школа. – 1996. - №10. – 43 с.

55.        Царёва, С.Е. Обучение решению текстовых задач, ориентированное на формирование учебной деятельности младших школьников/ С.Е. Царёва. - Новосибирск: НГПУ,1998.-136 с.

56.        Целищева, И.И. Моделирование в процессе решения текстовых задач. / И.И. Целищева//Начальная школа. – 1996. - №3. – 45 с.

57.        Шикова, Р.Н. Работа над текстовыми задачами. / Р.Н. Шикова//Начальная школа. – 1991. - №5. – 67с.

58.        Шульга, Р.П. Решение задач разными способами – средство повышения интереса к математике/ Р.П. Шульга//Начальная школа, 1990 - №12. – 49 с.

59.        Эсаулов, А.Ф. Психология решения задач. Методическое пособие./ А.Ф. Эсаулов. - М.: Высшая школа, 1972. – 216 с.