Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

• 1 слайд

  Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии
  Урок алгебры в 9 классе.
  

• 2 слайд

  Цели урока:
  отрабатывать навыки применения формулы n-го члена арифметической прогрессии;
  Вывести формулы суммы n-членов арифметической прогрессии;
  развивать умение выделять главное, сравнивать, обобщать изучаемые факты, логически излагать свои мысли.
  

• 3 слайд

  Фронтальная беседа
  1. Приведите примеры последовательности.
  2. Сформулируйте определение арифметической прогрессии.
  3. По какой формуле вычисляется n-й член арифметической прогрессии?
  
  

• 4 слайд

  Устная работа:
  3; 6; 9; 12; …
  -1; -1; -1; …
  0; 13; 1; 14; …
  -3; -1; 1; 3; …
  
  
  Является ли заданная последовательность арифметической прогрессией, почему?
  

• 5 слайд

  Задача
  Найдите сумму 100 первых натуральных чисел.
  1+2+3+4+5…..+98+99+100=
  Ваши решения?
  

• 6 слайд

  Решение
  S=1 + 2 +3 +4 …… +98+ 99+ 100
  S=100+99+98+97+….. + 3 + 2 + 1
  2S=101+101+101+…………101+101+101
  Таких пар 100.
  2S=101•100
  Но так как мы складывали дважды все числа, надо сумму разделить на 2, чтобы получить ответ.
  
  S= • ; S=5050
  101
  100
  2
  

• 7 слайд

  Формула
  
  
  
  
  Где а1 – первый член арифметической прогрессии, аn – последний член, n – количество суммируемых членов.
  1
  

• 8 слайд

  Формула
  Если в предыдущей формуле заменить аn=а1+d(n-1), то получится новая формула:
  
  S =
  2a + d(n-1)
  2
  n
  n
  1
  

• 9 слайд

  Из истории математики
  С формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии был связан эпизод из жизни немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855). Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму натуральных чисел от 1 до 100 включительно», надеясь, что это займёт много времени. Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул : «Я уже решил…»
  Большинство учеников после долгих вычислений получили неверный результат. В тетради Гаусса было написано одно число и притом верное. Маленький Гаусс сразу сообразил, что 1+100=101, 2+99=101 и т.д. И таких чисел будет 50. Осталось умножить 101 на 50, что он сделал в уме. Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в его практике. В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий. Его даже называли «царём математики».
   
  
  

• 10 слайд

  Решение задач:
  Задача 1: Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии, в которой a1 = 6, d= 4
  Решение:
  Найдём сумму по формуле:S=(a1 + аn) :2 ·n
  По формуле аn=a1+ d(n-1) найдём сначала а16.
  а16 = 6 + 4 (16 – 1) = 6 + 4·15=66, тогда
  S16= (6 +66) : 2 ·16 = 72·8 =576
  Ответ:576
  
  

• 11 слайд

  Задача 2: Тело в первую секунду прошло 16 метров, а в каждую следующую проходило на 3 метра больше, чем в предыдущую. Какой путь прошло это тело за 7 секунд?
  Решение:
  Найдём сумму по формуле:S=(a1 + аn) :2 ·n
  По формуле аn=a1+ d(n-1) найдём сначала а7.
  а7 = 16 + 3 (7 – 1) = 16+18=34, тогда
  S7= (16 +34) : 2 ·7 = 50:2 ·7 =175
  Ответ:175
  

• 12 слайд

  Задача 3
  Найдите сумму первых двадцати членов арифметической последовательности 4; 5,5…..
  Решение: здесь известны а1=….., а2=…
  Найдите d: а2 – а1= 5,5 – 4=……
  Используем формулу …..
  Подставьте в неё а1, d, n.
  

• 13 слайд

  Ответ
  365.
  

• 14 слайд

  Задача 4
  Найдите сумму первых сорока членов арифметической последовательности (аn), заданной формулой аn=5n – 4.
  Решение: найдём а1, а40
  а1=5•1-4=….
  а40=5•40-4=….
  Подставим в формулу …..
  
  

• 15 слайд

  Ответ
  3940.
  
  

• 16 слайд

  Итог урока:
  По какой формуле находится сумма первых n-членов арифметической прогрессии?
  
  В заключении вспомним строки А.С.Пушкина из романа «Евгений Онегин», сказанные о его герое:
  «…не мог он ямба от хорея, как мы ни бились, отличить». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб - стихотворный метр с ударениями на чётных слогах стиха, то есть ударными слогами являются 2-й, 4-й,6-й,8-й и так далее слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и с разностью, равной двум: 2;4;6;8;… Хорей – стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но её первый член равен единице, а разность по-прежнему равна двум:1;3;5;7;….