Текстовые задачи по теме "Дробные рациональные уравнения"

Департамент образования города Москвы

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ОТКРЫТОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Факультет повышения квалификации

педагогических кадров

КУРСОВАЯ РАБОТА

слушателя факультета повышения квалификации

педагогических кадров отделения «Математика»

Группа МА -11

Адамян Елена Викторовна

Тема: «Текстовая задача и методика работы с текстовой задачей в рамках подготовки к сдаче ЕГЭ»

Заведующий кафедрой математики

к.ф.-м.н.  Ященко Иван Валериевич

СОДЕРЖАНИЕ

1.   ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………………………..…3.

2.    ХАРАКТЕРИСТИКА ТЕКСТОВОЙ ЗАДАЧИ И МЕТОДИКА РАБОТЫ С НЕЙ …..5

     2.1 Понятие тестовой задачи ………………………………………………………………5

     2.2 Роль задачи в курсе математики ……………………………… …..………………….6

3.    ОБУЧЕНИЕ  ПРИЕМАМ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ  ЗАДАЧ………………..……….7

     3.1 Решение задач на движение……………………………………………….……………7

     3.2. Решение задач на движение по воде…………………………………………………..9

     3.3. Решение задач на работу и производительность………………………...………….11

     3.4 Решение задач про трубы и резервуары…………………..………………………….13

4.    УРОК «РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ»……………………………………………14

5.     ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………………….19

6.     БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК …………………………………………………20

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

 

 

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. Сначала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. Текстовые задачи - традиционно трудный для значительной части школьников материал. Однако, в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как такие задачи способствуют развитию логического мышления, речи и других качеств продуктивной деятельности обучающихся.

Особенности текста задачи могут определить ход мыслительного процесса при ее решении. Как сориентировать учащихся на эти особенности? Знание ответов на них составляют теоретико-методические положения, на основе которых можно строить конкретную методику обучения; они помогут определить методические приемы поиска способов решения задачи, в том числе решения различными способами.

Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических (или правдоподобных) задач.

Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи.

Арифметические способы решения текстовых задач приучают к  абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, способствуют созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение) и изучению математики, вызывая  непосредственный интерес к самому предмету.

Первоначальные математические знания усваиваются в определенной, приспособленной к их пониманию системе, в которой отдельные положения логически связаны одно с другим, вытекают одно из другого. При сознательном усвоении математических знаний учащиеся пользуются основными операциями мышления в доступном для них виде: анализом и синтезом, сравнением, абстрагированием и конкретизацией, обобщением; ученики делают индуктивные выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Сознательное усвоение учащимися математических знаний развивает математическое мышление учащихся.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. ХАРАКТЕРИСТИКА ТЕКСТОВОЙ ЗАДАЧИ И МЕТОДИКА

РАБОТЫ С НЕЙ

 

2.1 Понятие текстовой задачи

В обучении математике велика роль текстовых задач.

Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления. Большое значение имеет решение задач и в воспитании личности учащихся. Поэтому важно, чтобы учитель имел глубокие представления о текстовой задаче, о её структуре, умел решать такие задачи различными способами.

Текстовая задача - есть описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения.

Математическая задача - это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии.

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса).

Рассматривая задачу в узком смысле этого понятия, в ней можно выделить следующие составные элементы:

Словесное изложение сюжета, в котором явно или в завуалированной форме указана функциональная зависимость между величинами, числовые значения которых входят в задачу.

Числовые значения величин или числовые данные, о которых говорится в тексте задачи.

Задание, обычно сформулированное в виде вопроса, в котором предлагается узнать неизвестные значения одной или нескольких величин. Эти значения называют искомыми.

 

2.2 Роль задачи в курсе математики

 

Значительное место в курсе математики занимают текстовые задачи. Выступая в роли конкретного материала для формирования знаний, задачи дают возможность связать теорию с практикой, обучение с жизнью. Решение задач формирует  практические умения, необходимые каждому человеку в повседневной жизни. Например, подсчитать стоимость покупки, вычислить в какое время надо выйти, чтобы не опоздать на поезд и т.п.

Через решение задач дети знакомятся с важными в познавательном и воспитательном отношении фактами. Так, содержание многих задач, решаемых в начальных классах, отражает труд детей и взрослых, достижения нашей страны в области народного хозяйства, техники, науки, культуры.

Сам процесс решения задач при определенной методике оказывает весьма положительное влияние на развитие школьников, поскольку он требует выполнения умственных операций: анализа и синтеза, конкретизации и абстрагирования, сравнения, обобщения. Так, при решении любой задачи ученик выполняет анализ: отделяет вопрос от условия, выделяет данные и искомые числа; намечая план решения, он выполняет синтез, пользуясь при этом конкретизацией (мысленно рисует условие задачи), а затем абстрагированием (отвлекаясь от конкретной ситуации, выбирает арифметические действия); в результате многократного решения задач какого-либо вида ученик обобщает знания связей между данными и искомым в задачах этого вида, в результате чего обобщается способ решения задач этого вида.

Решение задач - упражнения, развивающие мышление. Мало того, решение задач способствует воспитанию терпения, настойчивости, воли, способствует пробуждению интереса к самому процессу поиска решения, дает возможность испытать глубокое удовлетворение, связанное с удачным решением.

Овладение основами математики немыслимо без решения и разбора задачи, что является одним из важных звеньев в цепи познания математики, этот вид занятий не только активизирует изучение математики, но и прокладывает пути к глубокому её пониманию. Решение задач нельзя считать самоцелью, в них следует видеть средство к углублённому изучению теоретических положений и вместе с тем средство развития мышления, путь осознания окружающей действительности, тропинку к пониманию мира.

3. ОБУЧЕНИЕ ШКОЛЬНИКОВ ПРИЕМАМ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ  ЗАДАЧ

3.1. Решение задач на движение

 

Все эти задачи решаются по одной формуле:

                                                     S=Vt                                                               (3.1.1)

 где S – расстояние,V - скорость и t - время движения.

Из этой формулы можно выразить скорость или время движения:

                                                              V=S/t                                                                (3.1.2)

                                                               t=S/V                                                               (3.1.3)

В качестве переменной х удобнее всего выбирать скорость.

---

Задача 1. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Что здесь лучше всего обозначить за х? Скорость велосипедиста. Автомобилист проезжает на 40  километров больше,  значит, его скорость  40 км/ч.

Составим таблицу по условию задачи:                                                     Таблица 1

	V,км/ч	t,ч	S,км
велосипедист	х		50
автомобилист	х+40		50

Велосипедист прибыл в конечный пункт на 4 часа позже автомобилиста., значит

Решаем уравнение:

Получим:

Ясно, что  не подходит по смыслу задачи — скорость велосипедиста не должна быть отрицательной.

Ответ: 10.

Задача 2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней.

 По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В.

 Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость велосипедиста на пути из А в В равна х км/ч. Тогда его скорость на обратном пути равна х + 3 км/ч. Расстояние в обеих строчках таблицы одинаковое — 70 км.

Составим таблицу по условию задачи:                                                    Таблица 2

	V, км/ч	t, ч	S, км
туда	х		70
обратно	х +3		70

По условию задачи,  на три меньше, чем . Составим уравнение:

.это вполне правдоподобная скорость велосипедиста. Второй ответ не подходит, так как скорость велосипедиста должна быть положительна.

Ответ: 7.

3.2. Решение задач  на движение по воде.

 

Следующий тип задач — когда что-нибудь плавает по реке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде.

При движении по течению эти скорости складываются. Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения.

Если двигаться против течения, то скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.

---

Задача 1. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна х км/ч

Тогда скорость движения моторки по течению равна х + 1 км/ч, а скорость, с которой она движется против течения х1 км/ч.

Составим таблицу по условию задачи:                                                    Таблица 1

	V,км/ч	t, ч	S, км
по течению	х + 1		255
против течения	х1		255

Условие « на два часа меньше, чем » можно записать в виде

2 =

Составляем и решаем уравнение:

Это уравнение имеет два корня: 16   и   16 . Но  отрицательный ответ не подходит — скорость лодки должна быть положительной.

Ответ: 16.

---

Задача 2. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Снова обозначим за x км/ч скорость течения. Тогда скорость движения теплохода по течению равна 15 + х км/ч, скорость его движения против течения равна 15 – х км/ч. Расстояния — и туда, и обратно — равны 200 км.

Составим таблицу по условию задачи:                                                     Таблица 2

	V,км/ч	t, ч	S,км
по течению	х +15		200
против течения	х - 15		200

В пункт отправления теплоход вернулся через 40 часов после отплытия из него. Стоянка длилась 10 часов, следовательно,

Прежде всего разделим обе части уравнения на 10:

получаем квадратное уравнение = 25. Поскольку скорость течения положительна, получаем: х = 5.

Ответ: 5.

3.3. Решение задач на работу и производительность.

Еще один тип задач В12, встречающийся в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

Задачи на работу  решаются с помощью формулы:

                                                  (3.1)

 Здесь A — работа, t — время, а величина p, которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название — производительность. Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени. Например, продавец в супермаркете надувает воздушные шарики. Количество шариков, которые он надует за час — это и есть его производительность.

Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимается за единицу.

Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два завода...) — их производительности складываются.

В качестве переменной x удобно взять производительность.

---

Задача 1. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

 Как и в задачах на движение, заполним таблицу.                                 Таблица 1

	P, дет/ч	t, ч	А, дет
первый рабочий	х + 1		110
второй рабочий	х		110

Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно,

 Корни уравнения:  10,  . Очевидно, производительность рабочего не может быть отрицательной . Значит отрицательный корень не подходит.

Ответ: 10.

---

Задача 2.. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

В этой задаче, (в отличие от предыдущей), ничего не сказано о том,, какая это работа, чему равен ее объем. Значит, работу можем принять за единицу.

 Пусть х 1/ч — производительность первого рабочего. Но  производительность второго нам тоже понадобится, и ее мы обозначим за у 1/ч..

По условию, первый рабочий за два дня делает такую же часть работы, какую второй — за три дня. Значит, 2х = 3у. Отсюда

Работая вместе, эти двое сделали всю работу за 12 дней. При совместной работе производительности складываются, значит,

Итак, первый рабочий за день выполняет  всей работы. Значит, на всю работу ему понадобится 20 дней.

Ответ: 20.

 

3.4. Решение задач про трубы и резервуары.

---

Задача 1.. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?

Задачи про две трубы, которые наполняют резервуар для воды — это тоже задачи на работу.

Примем производительность первой трубы за х л/мин..

Тогда производительность второй трубы равна х + 1 л/мин.

Заполним таблицу:                                                                                       Таблица 1

	р, л/мин	t, мин	A, л
первая труба	х		110
вторая труба	х +1		99

Первая труба заполняет резервуар на две минуты дольше, чем вторая. Значит,

.

 Составим уравнение:

и решим его.

Ответ: 10.

4. УРОК: «РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ »

Цель: повторить особенности решения текстовых задач.

Урок проводится в рамках уроков выделенных на подготовку к ЕГЭ.

Теоретическая часть (5 минут)

В демоверсии КИМ по математике для ЕГЭ 2011 года предложены две текстовые задачи В1 и В12. Результатом решения этих задач должно стать целое положительное число. Допускаемые в ответах в части “В” отрицательные числа в этих задачах получиться не могут, а дробные ответы маловероятны.

Задания типа В1 проверяют умение выполнять арифметические действия, делать прикидку и оценку. Эти задания являются, действительно, очень простыми, что вводит учеников в заблуждение, и они начинают искать подвох. Единственной сложностью этих заданий является то, что, получив в результате решения дробный ответ, в бланк записывается целое число.

При решении этого задания следует вспомнить, что такое процент.

Практическая часть. (15 минут.)

Фронтальная работа. Решаем подготовительные задания.,

С более слабыми учащимися №№1-4;одновременно на доске №№5-7.

1.       Найдите 30% от 27. (0,9)

2.      Какое число получиться, если 140 увеличить на 60%? (254)

3.      Кафельная плитка продается коробками по 6 м2. Сколько коробок плитки нужно купить, чтобы хватило на облицовку стен площадью 35 м2. ? (6)

4.      Билеты в ботанический сад стоит 50 рублей. Сколько рублей сдачи нужно получить с 2000 рублей, заплаченных за проход 36 человек? (200)

5.      Горные лыжи стоят 16 000 рублей. Сколько рублей будут стоить горные лыжи во время сезонной распродажи, когда на них объявлена скидка 20%? (12800)

6.      Йогурт стоит 7 рублей 60 копеек. Какое максимальное количество йогуртов можно купить на 50 рублей? (6)

7.      Шариковая ручка стоит 7 рублей. При покупке более 50 ручек на всю покупку начинает действовать скидка 20 %. Сколько рублей нужно заплатить при покупке 120 ручек? (672)

Задания типа В12. (20 минут.)

1.      Задачи с использованием процентов .

 Задача 1.1 (решает ученик у доски),

 Сколько килограммов воды нужно добавить в сосуд, содержащий 200 г. 70%-го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 8%-й раствор уксусной кислоты?

Решение:

1).  200г    –  100%,
                 х г      –  70% ;
         х = 140(г)  -масса уксусной  кислоты;

2)   140 г   –  8%
                 х г      –  100%
                х = 14000/8 = 1750 (г) -масса полученного раствора;

      1750 – 200 = 1550 (г)- масса воды в полученном растворе;

3)   1550 г =1,55 кг

Ответ: 1,55 кг воды

Задача 1.2. (учащиеся решают самостоятельно, с последующей проверкой)

Банковский вклад в мае увеличился на 10%, а в июне уменьшился на 10%, после чего на счету оказалось 10890 рублей. Найдите сумму вклада на конец апреля.

Решение:

1)  10890 руб . –  90%,
                 х руб.        –  100% ;
             х = 1089000/90 = 12100 (руб) -сумма вклада в июне;

2)  12100 руб. –  110%,
                 х руб     .–  100%;
             х = 1210000/110 = 11000 (руб) -сумма вклада на конец апреля.

Ответ: 11000 рублей

2.      Задачи на движение .

3.       

Задача 2.1(учащиеся решают, комментируя решение с места)

.От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 420 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход., а через 1 час после этого следом за ним со скоростью на 1 км/ч большей отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Решение:                                                                                                       Таблица 1

	V,км/ч	t, ч	S, км
Первый теплоход	х		420
Второй теплоход	х+1		420

     Учитывая, что второй теплоход находился в пути на 1 час меньше первого, составим и решим уравнение:

Ответ: 21 км/ч

Задача 2.2(учащиеся решают самостоятельно, с последующей проверкой)

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 437 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если собственная скорость теплохода равна 21 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 46 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Решение:                                                                                                       Таблица 2

	V,км/ч	t, ч	S, км
по течению	21 + х		437
против течения	21 - х		437

Учитывая, что на весь путь теплоход потратил 46 часов, 4 часа из которых он находился на стоянке, составим и решим уравнение:

Ответ: 2 км/ч

4.      Задачи на совместную работу .

Задача 3.(самостоятельное решение с последующей проверкой решения и проверкой терадей по желанию учащихся)

.Две трубы, работая вместе, наполнили бассейн за 12 часов. Первая труба, работая отдельно, наполняет бассейн на 18 часов быстрее, чем вторая. За сколько часов наполняет бассейн вторая труба.

Решение:                                                                                                       Таблица 3

	р, 1/час	t, час	A
первая труба			1
вторая труба			1

Учитывая, что две трубы, работая вместе, наполняют бассейн за 12 часов, составим и решим уравнение:

Ответ: 36 часов.

Итог урока: закрепить приемы решения текстовых задач на проценты, движение по земле и по воде, производительность.

Домашнее задание

1. При покупке ребенку новых лыж с ботинками родителям пришлось заплатить на 25% больше, чем год назад, причем лыжи подорожали с тех пор на 15%, а ботинки – на 40% от первоначальной стоимости. Во сколько раз год назад лыжи были дороже ботинок?

2. Каждый из трех рабочих одинаковой квалификации может выполнять заказ за 12 часов. Через 2 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, а еще через 2 часа – третий, и работу до конца они довели уже вместе. За сколько часов был выполнен заказ?

3. Велосипедист отправился на прогулку и должен вернуться не позднее чем через 7 часов после выезда. На какое наибольшее расстояние от места старта он может удалиться, если его скорость 15 км/ч, а обратно его подвезут на машине, скорость которой равна 90 км/ч? Ответ дайте в километрах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

И все-таки, почему же этот материал труден для учащихся? Разрозненные указания учителей по решению задач быстро забываются учениками, они не приобретают навыков решения текстовых задач. Без конкретной программы деятельности учащихся, без алгоритмов, системы приемов поиска решения задачи трудно организовать процесс решения задач.

Поэтому при решении текстовой задачи необходимы «ускорители» для приобретения навыков решения : иллюстрация, схемы, таблицы, дополнительные символы, условные знаки, стрелки, способствующие более конкретному наглядному представлению об отношениях между частями задачи, связях между величинами, порядке этих связей. Поиск решения текстовой задачи путем составления таблицы дает возможность охватить взором отношения между элементами всей задачи.

Можно выделить основные причины, вызывающие у учащихся затруднения при поиске решения:

1. Неумение выделить величины, о которых идет речь в задаче.

2. Неумение установить функциональную зависимость в математических символах.

3. Неумение выразить эту зависимость в математических символах.

4. Слабые навыки схематической и символической записи условия, способствующей анализу задачи, выражению зависимостей между величинами, входящими в задачу.

Текстовые задачи часто приводят к многочисленным уравнениям (неравенствам) и системам уравнений(неравенств).Необходимо внимательно следить за тем, чтобы вычисления не приводили к результатам, противоречащим физическому смыслу. В ряде случаев требование целочисленности решения оказывается тем условием, которое позволяет найти решение задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.      И.В. Ященко, А.В. Семенов «О преподавании математики в 2010/11 учебном году. Методическое письмо»,М.МИОО, 2010

2.      И.В. Ященко, С.А. Шестаков, П.И. Захаров «Подготовка к ЕГЭ по математике 2011г.»М.:МЦНМО,2011

3.      Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухов и др. «Математика Подготовка к ЕГЭ-2011» Ростов-на-Дону,Легион, 2010

4.      В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина «ЕГЭ Математика. Сборник заданий»

a.       М.: Эксмо, 2010

5.      4  А.Л. Семенов, И.В. Ященко «Универсальные материалы для подготовки                учащихся. Математика, 2010» М.:Интеллект-Центр, 2010

6.      И.С. Слонимская, Л.И. Слонимский «Решение текстовых задач»М.:АСТ: Астрель, Владимир, 2010

7.      Сб. под ред. А.В. Семенова и И.В. Ященко «Все задания группы В. Закрытый сегмент ЕГЭ.3000 задач с ответами. Математика»,М.: МИОО,2010

8.      Г.Г. Левитас «Современный урок математики. Методика преподавания», М. Высшая школа, 1987

9.      М.И. Шабунин «Математика для поступающих в ВУЗы»М.:; Аквариум, 1997

10.  И.М. Кипнис «Задачи на составление уравнений и неравенств. Пособие для учителей» М.: Просвещение, 1980

11.   В.Г. Болтянский, Ю.В. Сидоров, М.И. Шабунин «Лекции и задачи по элементарной математике», М.: Наука, 1987

12.  В.А. Гусев, А.Г. Мордкович, «Математика. Справочные материалы» Книга для учащихся, М.:Просвещение,, 1990г.

13.  Л.О. Денищев, Е.М. Бойченко и др. «Готовимся к единому государственному экзамену», М.: Дрофа, 2004

14.   Под ред. Г.С. Ковалевой «ЕГЭ Математика» Контрольные измерительные материалы.М.: Просвещение, 2011