«Графический метод решения задач с параметром»

Тема нашего занятия: «Графический метод решения задач с параметром».

Рассматриваемый материал не входит в базовый уровень, поэтому решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания.

Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.

Основная стратегия математического образования в школе – это развитие умений и навыков решения определенного набора стандартных задач.

Но так как дети переходят в 10-й класс на углубленный уровень изучения математики, то необходимо умение проводить довольно разветвленные – логические построения и исследования.

При решении задач с параметрами происходит повторение, и как следствие, более глубокое, прочное усвоение программных вопросов, а графический способ решения задач с параметром является более удобным, чем аналитический, когда надо не решить уравнение, а указать, сколько решений оно имеет в зависимости от параметра. Графический метод более понятен и более доступен для выпускников 9-х классов.

Переходим к уроку.

Здравствуйте, ребята. Прежде чем нам приступить к выполнению заданий, мы с вами должны вспомнить понятие параметра и свойства некоторых функций. Используя эти знания, мы посвятим наш урок уравнениям с параметром.

1. Актуализация знаний (Слайд 2 Текст последовательно выводится на экран)

Вопросы учащимся:

1. Где мы встречали понятие «параметр»?

(Ответ учащихся: ещё в 8-м классе, при решение квадратных уравнений. При решении неравенств)

2. Что такое параметр? (Ответ учащихся: Это когда в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения)

3. Какие функции мы изучили?

(Ответ учащихся:

-      график линейной функции-прямая: если к>0 возрастает, k<0 убывает, m>0 пересекает ось Оу выше 0, m<0 пересекает ось Оу ниже 0 – график прямая параллельная оси Ох

-      – график прямая, проходящая через начало координат, где к=у/х

-          

-       – график парабола)

3. Что такое область определения функции?

(Ответ: это те значения, при которых функция существует)

2. Решение задач

Учитель: Молодцы! Теперь обратим внимание на слайд, на нём задание.

Слайд 3.

-Ребята, что мы должны сделать в самом начале, чтобы решить задание и построить график функции?

Ответ: Найти область определения

-Верно. Какая здесь будет область определения?

Ответ: Если знаменатель не равен нулю, т.е. 𝟐𝒙^𝟐+𝒙 ≠ 0,

Что мы должны сделать дальше?

Ответ: преобразовать функцию.

Получаем: Слайд №4-10

Итак, строим в программе Граф нашу функцию. (1-2 минуты)

(пока учащиеся строят график, Слайд 11: очень часто в своей практике использую карточки на дом, и если это 23 задание с построением графика, то ребята смогут себя проверить с помощью этой программы или любых других онлайн программ, например, см слайд)

Ребята, вы построили?

Ответ: да.

Давайте сверим.

У всех так?

Ответ: нет или да. На слайде 12 изображен график без выколотой точки.

Поэтому, ребята, те кто не выколол точку, выкалываем её.

И получаем график нашей функции (слайд 13)

Давайте, подытожим, что мы уже сделали и что необходимо?

Ответ: мы нашли область определения функции и построили график функции, теперь нам надо ответить на вопросы задачи.

Верно. Итак, при каких значениях а, прямая y=а не имеет общих точек с графиком. Что нам нужно сделать?

Ответ: Мы прокатываем карандаш или линейку параллельно оси Х от отрицательных значений у к положительным и смотрим, где график не будем пересекать. Получается, что это при -2 и 0.

Так, давайте проверим ваше предположение в программе Граф

Теперь ответим на второй вопрос задания при каких значениях к, прямая 𝒚=𝒌𝒙 имеет с графиком ровно одну общую точку?

Вспомним ещё раз с вами, что это за прямая y=kx?

Ответ: Это прямая, проходящая через начало координат.

Верно, как ответим на вопрос задачи?

Ответ: Мы будем крутить карандаш относительно начала координат по часовой стрелке и найдем условие, при котором будем пересекать график ровно один раз.

Итак, пробуем найти.

Ответ: получили одну точку.

Какие у неё будут координаты?

Ответ: 0,5 и 2

Верно, как нам теперь найти к?

Ответ: к= у/х и получаем 4

Проверим свои предположения на Графе. (слайд 17-19)

Теперь ответим на третий вопрос задачи: Найдите при каких отрицательных значениях к,  y=kx+2 имеет с графиком ровно одну общую точку.

Как мы поступим в этом случае? Что значит, если к-отрицательно и к положительно?

Ответ: Если к положительно, то прямая у=кх+в возрастает, если отрицательно, то убывает. Наша функция проходит через точку (0;2).

Так, и при каком условии она будет касаться нашего графика? Найдите точку касания.

Ответ: получили точку (1;1)

Какой получаем коэффициент, он должен быть отрицательным.

Ответ: -1

И получаем касательную?

Ответ: у=-х+2

Молодцы, проверьте это в программе Граф.

 

5. Подведение итогов урока.

Сегодня на уроке мы с вами повторили основные свойства квадратного трехчлена и квадратичной функции и научились их применять при решении простейших задач с параметрами, которые, как вам известно, являются обязательным элементом ГИА по математике.

На столах у каждого лежат листочки с картой успешности. Подпишите свои имя и фамилию и оцените свою деятельность на уроке. Критерии оценивания в карточке указаны.

Задание на дом: Сборник для подготовки к ГИА под ред. Ф.Ф. Лысенко, № 604, 570,580.