Исследовательская работа «Фигура без изнанки»

Министерство образования и науки Российской Федерации 
     МКОУ Верхнехавская СОШ № 1
      Верхнехавского муниципального района Воронежской области
          Научно-практическая конференция «Шаг в будущее»

Исследовательская работа

«Фигура без изнанки»

                                                                               Выполнила:                                                                                                                                                     

                                                                               Филатова Дарья,
                                                                               обучающаяся 5 «А» класса,
                                                                               МКОУ Верхнехавской СОШ №1
                                                                               Руководитель: Борзакова Ю.П.,
                                                                                учитель математики, 
                                                                               МКОУ Верхнехавской СОШ №1

                                               
                                            с. Верхняя Хава
                                                              2021

  Аннотация

   Сегодня я расскажу вам о фигуре, которая уже более 150 лет удивляет и восхищает множество людей. Казалось бы, что удивительные свойства этой фигуры давно описаны и изучены, но эта фигура настолько загадочна, что интерес к ее свойствам не ослабевает, а со временем все больше и больше притягивает к себе любознательных людей. Каждое новое поколение самостоятельно хочет изучить её, самостоятельно в процессе экспериментов проследить за ее интересными особенностями. Что же это за фигура, чем она интересна, чем так привлекает людей? А речь пойдет о фигуре, которая называется лист Мебиуса или кольцо Мебиуса. Тема изучения листа Мёбиуса актуальна так как исследование этого листа дало начало изучению нового раздела математики-топологии. Эта ветвь геометрии в наше время быстро развивается и находит применение в различных областях.

 Содержание

Введение ................................................................................................... 4

Глава 1.  Открытие немецкого учёного

1.1    Историческая справка  ....................................................................... 5

1.2    Как можно изготовить ленту Мёбиуса...............................................5

1.3    Свойство ленты Мёбиуса....................................................................5

Глава 2. Практическая часть

2.1  Фокус1.................................................................................................. 6
2.2 Фокус 2.................................................................................................. 6
2.3 Фокус 3.................................................................................................. 6
2.4 Фокус 4.................................................................................................  6
2.5 Итоги опытов........................................................................................ 6
Выводы........................................................................................................ 7

Глава 3. Применение ленты Мёбиуса ...............................................   7

Заключение.................................................................................................8

Литература................................................................................................ 9

Приложение................................................................................................10

Введение.

     Многие считают математику скучной наукой, хотя математика часто удивляет и восхищает. Мне очень хочется, чтобы мои одноклассники полюбили этот предмет, и я решила рассказать им о волшебной ленте Мёбиуса, об ученом, который открыл эту ленту, об удивительных свойствах этой ленты, которые меня поразили, когда я выполняла опыты, о которых узнала из статьи журнала [1].

      Цель работы: исследование листа Мёбиуса.

      Задачи:

1 Изучить различную литературу о ленте Мёбиуса, провести анализ изученного материала.
2.Изготовить модель ленты Мёбиуса,с её помощью исследовать свойства ленты.
3.Узнать,где применяется лента Мёбиуса в современной жизни.

Глава 1.  Открытие немецкого учёного.

1.1Историческая справка.

  Признано, что первым открыл кольцо Мебиуса немецкий ученый -математик-Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), который был учеником известного математика Гаусса (приложение 1. Рис.1). Август Мёбиус написал много работ по геометрии, но известен больше как ученый, открывший в 1858 году кольцо Мебиуса, которое было названо так в его честь. В этом году он послал в Парижскую академию наук свою работу, в которой были сведения об этом листе. Интересно то, что в этом же году кольцо Мебиуса открыл и еще один ученый, тоже ученик Гаусса-Иоганн Бенедикт Листинг (1808 – 1882), но все же фигура получила имя первого ученого (приложение 1, Рис.2). Есть такая версия, что служанка в доме Мебиуса неправильно пришила воротник на платье жены ученого, перекрутив его по ошибке, что и натолкнуло учёного на мысль, изучить свойства получившейся перекрученной поверхности.

1.2 Как можно изготовить ленту Мёбиуса.

 Что такое лист Мёбиуса?

   Есть такие явления, которые приносят в нашу жизнь тайну и загадку. К таким явлениям относится наша петля Мебиуса Чаще всего фигура имеет название листа Мёбиуса, но встречаются и названия-кольцо Мёбиуса, петля Мёбиуса, лента Мёбиуса. Пора познакомиться с этой лентой, узнать, чем она интересна. Каждый из вас слышал слово «бесконечность», мы можем познакомиться с бесконечностью поближе, взяв в руки лист бумаги, ножницы, карандаш и клей (приложение2. Рис.1). Возьмем две полоски бумаги и склеим два кольца [4]. Одно простое, а другое перекрученное (приложение2. Рис 2). 
      Перекрученное кольцо и есть наша загадочная фигура. Лист Мебиуса положил начало в изучении нового раздела математики-топологии. Термин «топология» придумал Иоган Листинг, о нем говорилось выше. Раздел топологии не входит в школьную программу, но представляет большой интерес. На примере изучения и исследования листа Мёбиуса можно расширить свои знания по математике и поделиться этими знаниями с другими учащимися.

 1.3 Свойства петли Мёбиуса

  Петля Мёбиуса обладает свойствами, которые не меняются, если ее сжать, смять или разрезать вдоль.

1 Односторонность.

  Это свойство присуще только для листа Мебиуса. Если мы попробуем закрасить одну сторону ленты в один цвет, а другую в другой, то у нас ничего не выйдет. Лента будет выглядеть так, будто ее окунули в банку с краской. Это потому, что лента Мёбиуса имеет одностороннюю поверхность. Говорят, что у фигуры нет изнанки (приложение 3. Рис.1). Если двигаться по ленте, то не нужно перебираться через край, чтобы попасть на другую сторону ленты, мы будем двигаться все время по одной поверхности. (приложение 3. Рис. 2). На гравюре художника Маурица Эшера «Лента Мёбиуса II» мы видим это свойство (приложение 3. Рис.3).

2 Непрерывность.

   Если мы поставим на листе Мёбиуса точку и будем двигаться по ленте, то попадем в эту же точку. При этом, опять же, не нужно перебираться через край. Мы не увидим разрывов (приложение 4. Рис.1). Если человек будет двигаться по ленте Мёбиуса, то путешествие может затянуться (приложение 4. Рис.2). Выйдя из одной точки, он вернется в эту же точку, но в зеркальном отражении себя (приложение 4. Рис 3).              

3.Связность.

  Если мы разрежем  обыкновенное  кольцо вдоль, то кольцо распадется
 на два  отдельных кольца  (приложение 5,Рис.1).  Достаточно одного разреза, чтобы квадрат или прямоугольник разделились на две фигуры (приложение 5. Рис. 2,3). А вот, чтобы из кольца Мёбиуса получилось две фигуры, одного разреза будет мало, если разрезать его вдоль, оно превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту (приложение 5. Рис.1).

  Глава 2. Практическая часть.

 Легко  убедиться в удивительных  свойствах петли Мёбиуса,сделав её своими руками и выполнив несложные опыты- фокусы.

 Фокус 1       

  Проведем линию посередине кольца Мёбиуса вдоль по всей длине.А потом выполним по этой линии разрез. (приложение 6,рис1). Мы видим,что получилась перекрученная дважды, вытянутая лента, которую иногда называют «афганская лента» (приложение 6. Рис.2).  Об этом упоминалось выше.(свойство3-связность)

 Фокус 2

   Если афганскую ленту разрезать посередине вдоль,то получатся два одинаковых сцепленных кольца (приложение 6. Рис.3)

 Фокус 3

   Разрежем лист Мёбиуса вдоль,но не посередине, а ближе к краю.Получим два сцепленных кольца,но разных размеров (приложение 7. Рис.1,2)

 Фокус 4.

  Склеиваем две ленты Мёбиуса, переворачивая полоски в разные стороны, перпендикулярно друг другу. Разрежем по продольным центральным воображаемым линиям. Получаются сцепленные сердца (приложение 8. Рис.1,2).     

  Все итоги опытов я разместила в таблице (приложение 9. Рис.1).                                                               

Вывод.                             

  Склеивая ленту Мёбиуса и проводя из одной точки вдоль нее линию, я убедилась, что эта фигура имеет одностороннюю поверхность, то есть не имеет изнанки. Я также убедилась, что эта фигура при разрезании вдоль, по воображаемым линиям, остается одной связанной фигурой, а не делится на несколько отдельных фигур. Когда я передвигала по ленте Мёбиуса шахматного коня, то убедилась, что по ленте можно двигаться бесконечно и, выходя из данной точки, будешь возвращаться в нее же, но в зеркальном отображении. Это видно на фотографии. (приложение 9. Рис.2) 

Глава 3. Применение ленты Мёбиуса .
   Великий Энштейн придерживался теории, что Вселенная представляет собой замкнутое кольцо Мёбиуса,  и что космический корабль, стартовавший из определенной ее точки и летящий все время прямо, возвратится в ту же самую точку в пространстве и времени, с которой и началось его движение (приложение 10. Рис.1) .Существует гипотеза, что спираль ДНК человека –это фрагмент ленты Мёбиуса. (приложение 10. Рис.2).

   В мире было зарегистрировано много изобретений, основанных на свойствах листа Мёбиуса. Так, например, была изобретена магнитофонная кассета в виде ленты Мёбиуса (приложение 10. Рис.3). Это уменьшило её изнашиваемость и позволило записывать и считывать звук сразу с двух дорожек, что увеличило время звучания кассеты. Этот же принцип использовался и в старых киноаппаратах (приложение 10. Рис.4).
  Лента Мёбиуса применяется в технике. На рисунке мы видим подшипник в виде этой ленты (приложение 10. Рис.5). Имея такую форму, он дольше служит, меньше изнашивается.
   Форму  кольца Мёбиуса повторяют при создании полосы ленточного конвейера (приложение 10,Рис.7)  и красящей ленты в печатных устройствах (приложение 10. Рис.6), при создании  абразивных ремней для заточки инструментов и автоматической передачи. Это позволяет значительно увеличить срок их службы, так как изнашиваются они более равномерно.
   Никогда не выходят из моды  вещи, где мы видим уже известную нам перекрученную ленту (приложение 10. Рис.8,9,10,) .
   Лист Мёбиуса дал начало многим математическим открытиям, поэтому его часто изображают на значках и эмблемах. Мы можем увидеть его на значке физико-математического факультета Московского университета (приложение 10. Рис.11) и на символе вторичной переработке сырья (приложение 10. Рис.12). Такой знак указывает на то, что продукция произведена из вторичного полимера.    
    В 1967 году устроители международного математического конгресса, который состоялся в Бразилии, выпустили памятную марку с изображением листа Мёбиуса. Достоинство этой марки 5 сентаво. Есть изображение перекрученного кольца и на других марках (приложение 10. Рис.13,14,15).
    Не оставили без внимания лист Мёбиуса ювелиры, писатели и художники.  Необычные свойства перекрученной ленты вдохновляют писателей и художников на создание фантастических произведений. (приложение 10. Рис.16,17,18,19,20,21).

   Не надо далеко ходить, чтобы увидеть это чудо природы-ленту Мёбиуса. Если внимательно посмотреть вокруг, то можно встретить это удивительное кольцо рядом с собой. У себя дома я нашла шарф в виде перекрученной ленты. На баночке с кремом, на пакете для продуктов и на упаковке с салфетками я обнаружила значки вторичной переработки сырья в виде листа Мёбиуса (приложение 11. Рис.1,2,3,4). В ящике письменного стола завалялась старая магнитофонная кассета,которую я сфотографировала (приложение 11. Рис.5). А на ученице нашей школы я заметила шапку,связанную  виде этой чудесной ленты (приложение 11. Рис.6).

Заключение

  Удивительные свойства этой вроде бы простой, но в то же время очень необычной фигуры дали возможность ученым всего мира сделать множество изобретений, написать множество книг, но очень важно, что лист Мёбиуса вдохновил ученых проводить многочисленные математические исследования и экперименты. А так как наш мир велик и таит в себе огромное количество загадок, то учёных ждут новые интереснейшие и причудливые открытия. Несмотря на то, что Мёбиус сделал свое открытие в далёком 1958 году, интерес к этой удивительной ленте не ослабевает, а только усиливается. Важность этой фигуры подтверждают многочисленные скульптуры, установленные во многих городах мира. (приложение 12. Рис.1,2,3).

Литература:

1. 10. Кордемский Б.А, Топологические опыты своими руками. Квант. 1974, №3, с. 73-75

2.Спицын И. ЛИСТ МЕБИУСА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ // Международный школьный научный вестник. – 2019. – № 1-3. – С. 387-393;
3.«Математика «Большой справочник для школьников поступающих в вузы»»: М.: «Дрофа», 2002. – С. 864 «Энциклопедия для детей «МАТЕМАТИКА»» том 11, М.: Аванта +; 2002. С. 687.
4.Материалы сайтов:

а) http://arbuz.uz/t_lenta.html
б) Преобразования Мебиуса http://www.smartvideos.ru/mebius-transfor
в) http://arbuz.uz/t_lenta.html

                                                    Приложение

1                                                   

Август Фердинанд Мёбиус                                                    Иоганн Бенедик Листинг

             (1790-1868)                                                                              (1808-1882)       

                  Рис.1                                                                                       Рис.2

2                                            

                             Рис.1                                                                Рис.2                                                                                      

3                                          

         Рис.1                                                        Рис.2                                                Рис.3                                                                                                                                       

 4                   

                 Рис.1                                                  Рис.2                                        Рис.3                                                                                                                                     

   5                        

                          Рис.1                                      Рис.2                                         Рис.3                                                                                                                                                                                   

6            

                       Рис.1                                            Рис.2                                         Рис.3

       7                                                     

                      Рис.1                                                                            Рис.2

       8                                           

                        Рис.1                                                                            Рис.2         

      9                                              Итоги  опытов  

Как разрезали  лист Мебиуса	Что получилось при разрезании
1. Вдоль по центральной линии	Большое перекрученное кольцо -                       «афганская лента»
2. Разрезание афганской ленты вдоль по  центральной линии	Два одинаковых сцепленных кольца
3.Разрезание ленты Мёбиуса вдоль по линии но не посередине, а ближе к краю	Два сцепленных кольца,но разных размеров
4.Разрезаем два склеенных вместе листа Мёбиуса, предварительно перекрутив их в разные стороны.	Два сцепленных кольца в виде сердец

                                                                 Рис.1   

                                                      

                                                                  Рис.2   

10      

                   Рис.1                                          Рис.2                                        Рис.3  

                

             Рис.4                                             Рис.5                                             Рис.6  

                                                                                                     

                                                            Рис.7 

                                                                                                                                                                                 

          Рис.8                                             Рис.9                                                 Рис.10                               

                                                         

                    Рис.11                                                                  Рис.12   

                                                                     

            Рис.13                                            Рис. 14                                              Рис.15                                   

                                           

                              Рис.16                                               Рис.17

                        

         Рис.18                         Рис.19                               Рис.20                             Рис.21                                                                                                                   

11                                               

                             Рис.1                                    Рис.2                                         Риc.3

                

                      Риc.4                                         Риc.5                                      Риc.6

  12            

             Здание в Париже              Памятник в Германии     Памятник в Москве           

                        Рис.1                                                  Рис.2                                       Рис.3                               

Краткое описание документа:

В работе исследуется фигура, которая уже более 150 лет удивляет и восхищает множество людей. Казалось бы, что удивительные свойства этой фигуры давно описаны и изучены, но эта фигура настолько загадочна, что интерес к ее свойствам не ослабевает, а со временем все больше и больше притягивает к себе любознательных людей. Каждое новое поколение самостоятельно хочет изучить её, самостоятельно в процессе экспериментов проследить за ее интересными особенностями. Что же это за фигура, чем она интересна, чем так привлекает людей? А речь пойдет о фигуре, которая называется лист Мебиуса или кольцо Мебиуса. Тема изучения листа Мёбиуса актуальна так как исследование этого листа дало начало изучению нового раздела математики-топологии. Эта ветвь геометрии в наше время быстро развивается и находит применение в различных областях.