Исследовательская работа на тему "Геометрия в изобразительном искусстве""

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №160

г. Новосибирска

Исследовательская  работа

ГЕОМЕТРИЯ В ИЗОБРАЗИТЕЛЬНОМ ИСКУССТВЕ

Автор работы:

Громова Софья, ученица 9 «А» класса

Научный руководитель:

Дементьева Ирина Валерьевна,

учитель математики

Новосибирск, 2020

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………………...4

Глава 1. Краткие сведения о геометрии и изобразительном искусстве...……..5

1.1.  Краткие сведения о геометрии……………………………...…………....5

1.2.  Краткие сведения об изобразительном искусстве…………………..….6

Глава 2. Краткая характеристика основных понятий, связывающих геометрию и изобразительное искусство……………….………………….……8

2.1. Золотое сечение. ………………………………………………..………...8

2.2. Линейная перспектива……………………………………………………9

2.3. Центральная и осевая симметрия…………………….………………...10

Глава 3. Связь между изобразительным искусством и геометрией на примере работ известных деятелей изобразительного искусства….……………….…..11

3.1. Золотое сечение………..………………………………………………...11

3.2. Линейная перспектива……………………………………..……………11

3.3. Центральная и осевая симметрия ……………………………………...12

Заключение………………………………………………………………...……..13

Список использованных источников…………………………………………...14

Приложения………………………………………………………………….…..15

Приложение 1. Отрезок с отношением сторон  ……………...…....15

Приложение 2. Последовательное приближение соотношения двух соседних чисел ряда Фибоначчи к Золотому сечению……………………15

Приложение 3. Схема построения линейной перспективы…………….....16

Приложение 4. Схема построения фигуры, симметричной данной относительно прямой......................................................................................16

Приложение 5. Схема построения центрально-симметричной фигуры…17

Приложение 6. Разделение полотна в пропорциях золотого сечения……17

Приложение 7. «Явление Христа народу», Александр Андреевич Иванов………………………………………………………………………..18

Приложение 8. «Боярыня Морозова», Василий Иванович Суриков……..18

Приложение 9. «А.С. Пушкин на лицейском экзамене 8 января 1815 года», Илья Ефимович Репин……………………………………………….19

Приложение 10. «Христос вручает ключи Святому Петру», Пьетро Перуджино…………………………………………………………………...19

Приложение 11. «Тайная вечеря», Сальвадор Дали………………………20

Приложение 12. Пизанская башня, Пиза, Италия…………………………20

Приложение 13. Храм Василия Блаженного, Москва, Россия……………21

Приложение 14. Мавзолей-мечеть Тадж-Махал, Агра, Индия…………...22

ВВЕДЕНИЕ

«Математика, - как выразился К. Гаусс, - царица всех наук». И эта теория подтверждается раз за разом. Математика воспринимается большинством как фундамент, основа важная как самостоятельно, так и в составе других наук.

Первые знания о математике у людей появились еще в первобытное время, но и зарождение искусства восходит к тому же времени, о чем свидетельствуют многочисленные наскальные рисунки, сделанные еще кроманьонцами. Ввиду того, что математика вездесуща, ее следы можно найти не только в науках, но и в отраслях, не имеющих, на первый взгляд, ничего общего с науками, из чего исходит, что геометрия, как часть математики, могла повлиять на развитие изобразительного искусства.

Геометрия считается весьма точной, построенной на логике наукой, изобразительное искусство же, по мнению большинства, является не ограниченной правилами отраслью творчества, основанной лишь на эмоциях, переживаниях и чувствах автора, не имеющая логической основы. Тема исследования является актуальной по причине того, что уверенность в том, что искусство и математика не имеют ничего общего, все еще имеет место быть в наших головах.

Цель: доказать взаимосвязь изобразительного искусства и геометрии.

Задачи:

1.     Выделить и объяснить понятия, связывающие геометрию и изобразительное искусство и необходимые для освещения в данной исследовательской работе

2.     Изучить информационные ресурсы для выполнения поставленной цели

3.     Показать связь между изобразительным искусством и геометрией на примере работ известных деятелей изобразительного искусства

Гипотеза: Предполагается, что геометрия и изобразительное искусство постоянно взаимодействуют друг с другом.

Глава 1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О ГЕОМЕТРИИ И ИЗОБРАЗИТЕЛЬНОМ ИСКУССТВЕ

1.1.          Краткие сведения о геометрии

Геометрия  одна из наиболее древних математических наук. Первые геометрические тексты мы находим в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах (III тысячелетие до н.э.). Название науки составлено из двух древнегреческих слов ge – «Земля» и metreo – «измеряю».

Возникновение геометрических знаний связано с практической деятельностью людей, этот же фактор отразился и в названиях многих геометрических фигур.

Еще в древности геометрия превратилась в дедуктивную, строго логическую науку, построенную на основе системы аксиом. Она непрерывно развивалась, обогащалась новыми теоремами, идеями, методами. Интересы геометров и направления их научных исследований порою менялись в процессе исторического развития этой науки, поэтому нелегко дать точное и исчерпывающее определение, что такое геометрия сегодня, каков ее предмет, содержание и методы.

В III в. до н. э. древнегреческий ученый Евклид написал книгу под названием «Начала». В этой книге Евклид подытожил накопленные к тому времени геометрические знания и попытался дать законченное аксиоматическое изложение этой науки. Написана она была настолько хорошо, что в течение 2000 лет всюду преподавание геометрии велось либо по переводам, либо по незначительным переработкам книги Евклида.

Продуманное и глубоко логическое изложение геометрии, данное в книге Евклида, привело к тому, что математики не мыслили возможности существования геометрии, отличной от евклидовой. Лишь в XIX в. благодаря трудам выдающегося русского математика Н. И. Лобачевского было установлено, что евклидова геометрия не является единственно возможной. Вслед за тем математики создали и исследовали многие различные «геометрии». Особенно большая заслуга в расширении наших представлений о возможных геометрических пространствах принадлежит немецкому математику XIX в. Г. Ф. Б. Риману.

В современной геометрии есть и много других направлений. Одни сближают ее с теорией чисел, другие с квантовой физикой, третьи с математическим анализом.

Характерной чертой развития современной геометрии является то, что она все больше приобретает роль метода мышления, метода осмысления и организации математической информации буквально во всех областях математики и ее приложений.

1.2.          Краткие сведения об изобразительном искусстве

Изобразительное искусство – вид художественного творчества, цель которого заключается в воспроизведении визуально воспринятой действительности, состоит из:

·        архитектуры (искусства создавать здания, сооружения);

·        графики (работы, выполненной линиями, штрихами, на плоскости без красок);

·        декоративно-прикладного искусства (искусства украшать);

·        живописи (работы, выполненной красками на плоскости);

·        скульптуры (работы, выполненной в объёме путём высекания, лепки, отливки);

·        фотоискусства (искусства создания художественной фотографии).

Изобразительное искусство с момента его становления в верхнем палеолите около 30 тысячелетий назад неоднократно претерпевает глубокие структурные изменения. Начало дописьменного периода – самого продолжительного цикла в истории изобразительного искусства – отмечено появлением знаковых, схематических и натуралистических живописных и скульптурных образов – дописьменных форм искусства.

Изменения в изобразительном искусстве, связанные с переходом от палеолита к мезолиту, завершаются в процессе становления письменности, использования металла и возникновения первых государств.

Изменения в структуре классического периода изобразительного искусства связаны с новой ситуацией: письменность берет на себя функции изображения, становясь наиболее емким носителем информации.

Классическая история искусства, начинающаяся с цивилизации Древнего мира, завершается в конце 19 – начале 20 века распадом классической изобразительной системы, появлением авангардистских течений, таких, как кубизм, экспрессионизм и др. Этому структурному сдвигу предшествует изобретение новых технических способов получения фиксированного изображения. Со второй половины 19 в. функцию прямого воспроизведения реальности берет на себя техника.

Постепенно, и искусство фотографии признается частью изобразительного искусства. Конечно, на данный момент это самый доступный, оттого и популярный, способ зафиксировать окружающую нас действительность, но и другие виды изобразительного искусства все еще имеют место быть в нашей жизни.

Глава 2. КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ, СВЯЗЫВАЮЩИХ ГЕОМЕТРИЮ И ИЗОБРАЗИТЕЛЬНОЕ ИСКУССТВО

2.1.          Золотое сечение

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей:  (см. Приложение 1). В численном выражении число золотого сечения – это бесконечное число, которое округляют до 1,618 и обозначают греческой буквой Ф (фи). Число Ф также называют числом Фидия в честь древнегреческого скульптора и архитектора.

Свойства золотого сечения описываются уравнением: . Если решить данное уравнение, мы получим значения  и , где  будет равен отношению большей стороны к меньшей (числу Ф), а – отношению меньшей стороны к большей.

14*1*(-1) = 5 > 0; 2 корня

 =  

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика-монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи. Для решения одной из задач в 1202 году Леонардо выстроил ряд чисел, названный позже в честь него рядом Фибоначчи.

Как известно, последовательность Фибоначчи начинается с 1 и 1, после чего каждое новое число является результатом сложения двух предыдущих чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Если разделить два последовательных числа в этом ряду, получится число, примерно равное числу Фидия (см. Приложение 2).

2.2.          Линейная перспектива

Перспектива – это принцип перенесения действительного мира на картину с визуальными искажениями пропорций тел для передачи их положения в пространстве. Центральное проектирование, или перспектива  – наука, возникшая еще в Древней Греции. Первые упоминания о ней встречаются в работах Эсхила (525—456 гг. до н. э.). Значительное место изображению пространственных фигур с использованием перспективы уделено в трактате «О геометрии» известного мыслителя и ученого Демокрита (около 460—370 гг. до н. э.).

Упоминание о перспективе  можно найти и в работах Евклида. Помимо своих знаменитых «Начал» он написал много других сочинений. В том числе, в работе «Оптика» Евклид с позиций геометрии подробно изложил природу человеческого зрения. Знаменитый греческий математик также ввёл постулат о том, что кажущиеся размеры предмета зависят от угла, под которым он виден.

Самыми значительными работами по перспективе того времени считаются произведения римского архитектора и инженера Витрувия. Способы построения изображений в перспективе изложены учёным в трактате «Десять книг об архитектуре».

Следующим важным этапом в развитии теории перспективы стала эпоха Возрождения. Теоретиком перспективы считают итальянского архитектора Брунеллески (1377—1446), а практиками, воплотившими ее достижения в своих полотнах, — великих да Винчи (1452—1519), Дюрера (1471—1528) и многих других художников, скульпторов, архитекторов Возрождения.

Леонардо да Винчи в своем произведении «Трактат о живописи» делит перспективу на три основные части:

1. Линейная перспектива (см. Приложение 3), которая изучает законы уменьшения фигур по мере удаления их от наблюдателя.

2. Воздушная и цветовая перспектива, которая трактует изменение цвета предметов в зависимости от их расстояния до наблюдателя и влияния слоя воздуха на насыщенность и локальность цвета.

3. Перспектива четкости очертания формы предмета, в которой анализируется изменение степени отчетливости границ фигур и контраста света и тени на них по мере удаления их в глубину пространства, изображаемого на картине.

Два последних раздела не получили дальнейшего теоретического развития из-за сложности исследования проблемы. Первый же раздел развился в точную науку — линейную перспективу, которая позднее вошла как составная часть в начертательную геометрию.

2.3.          Центральная и осевая симметрия

Сам термин "симметрия" по-гречески означает "соразмерность", которую древние философы понимали как частный случай гармонии.

Симметрия является одной из наиболее фундаментальных и общих закономерностей мироздания: неживой, живой природы и общества. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Действительно симметричные объекты окружают нас буквально со всех сторон, мы имеем дело с симметрией почти везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность.

Выделяют 3 основных вида симметрии: центральную, осевую и зеркальную симметрию. В данной работе будут рассмотрены первые два вида.

Симметрия относительно прямой называется осевой симметрией, т.е. зеркальным отражением относительно прямой (см. Приложение 4).

Фигура называется центрально-симметричной, если существует точка, относительно которой каждая точка фигуры симметрична некоторой точке той же фигуры (см. Приложение 5).

Глава 3. СВЯЗЬ МЕЖДУ ИЗОБРАЗИТЕЛЬНЫМ ИСКУССТВОМ И ГЕОМЕТРИЕЙ НА ПРИМЕРЕ РАБОТ ИЗВЕСТНЫХ ДЕЯТЕЛЕЙ ИЗОБРАЗИТЕЛЬНОГО ИСКУССТВА

3.1.   Золотое сечение

Золотое сечение в картинах каждый ищет по-разному. Некоторые акцентирует внимание на отдельные детали с соотношением сторон, равным ~1,618, другие же пытаются найти золотое сечение, рассматривая всю картину в целом. Основным правилом нахождения золотого сечения считается разделение сторон полотна на части, равные 3/8, 2/8 и 3/8 (см. Приложение 6). В изобразительном искусстве также используется упрощённое правило золотого сечения – так называемое «правило третей», когда картина условно делится на три равные части по вертикали и по горизонтали, образуя четыре ключевые точки.

На картине Александра Иванова «Явление Христа народу» линии золотого сечения пересекаются чётко на фигуре Мессии вдали. И хотя фигуры на переднем плане значительно больше по размерам и выписаны чётче, взгляд притягивает именно размытая фигура Христа, потому что она размещена в зрительном центре (см. Приложение 7).

Русский художник Василий Суриков в своей работе «Боярыня Морозова» использовал одну из этих четырёх точек, разместив на одной из них голову Морозовой (см. Приложение 8).

На картине И.Е. Репина «А.С. Пушкин на лицейском экзамене 8 января 1815 года» фигура Пушкина помещена художником на линии золотого сечения в правой части картины, а в одном из получившихся прямоугольников расположена фигура Державина (см. Приложение 9).

3.2.   Линейная перспектива

Признавая, что мир не является плоским и что объекты кажутся меньшими или большими в зависимости от движения и места размещения, художники начали свои исследования перспективы еще в ранний период истории искусства. Одним из примеров перспективы в изобразительном искусстве является произведение эпохи Возрождения – картина «Христос вручает ключи Святому Петру», написанная Пьетро Перуджино. Стыки между плитами являются опорными линиями для построения перспективы, все линии сходятся в одной точке (см. Приложение 10). Также линейную перспективу можно найти в произведении Сальвадора Дали «Тайная вечеря» (см. Приложение 11).

3.3.   Центральная и осевая симметрия

Большинство архитектурных сооружений обладают центральной и/или осевой симметрий. На примере Пизанской башни можно увидеть центральную симметрию, которой обладает фигура, соответствующая форме строения – параллелограмму (см. Приложение 12). Храм Василия Блаженного и мавзолей-мечеть Тадж-Махал имеют ярко выраженную симметрию относительно оси (см. Приложение 13 и 14).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изобразительное искусство на протяжении веков помогало творцу выплеснуть свои эмоции, а ценителю – прочувствовать их. Произведения данного вида искусства радовали глаз наших предков, впечатляют своей красотой и индивидуальностью нас и будут удивлять спустя тысячелетия наших потомков. Привлекательность шедевров изобразительного искусства, казалось бы, необъяснима, но стоит посвятить этой теме немного времени на изучение, как нам открывается знание, кажущиеся неразумным и глупым, но являющиеся чистой правдой – искусство, как бы оно не старалось уйти от правил, можно объяснить законами геометрии.

Благодаря поставленным и успешно выполненным задачам, цель проекта, которая заключалась в доказательстве взаимосвязи изобразительного искусства и геометрии, нужно считать достигнутой. Гипотеза также была доказана, и предположение о том, что искусство и геометрия постоянно взаимодействуют друг с другом, подтвердилось.

Выводом из данной работы можно считать то, что без такой важной и необходимой науки, как геометрия, невозможно существование даже такого далекого, на первый взгляд, от логичности искусства.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.                 Савин, А.П. Геометрия/Энциклопедический словарь юного математика/сост. Савин, А.П. – М.: Педагогика, 1989. – 352 с.

2.                 Мириманов, В.Б. Изобразительное искусство/Универсальная электронная энциклопедия «Кругосвет». – Режим доступа: https://www.krugosvet.ru/enc/kultura_i_obrazovanie/izobrazitelnoe_iskusstvo/ISKUSSTVO_IZOBRAZITELNOE.html

3.                 Усенко, Ю.И. Золотое сечение и число Фибоначи/Научный журнал «Современные наукоемкие технологии». – Режим доступа: http://www.top-technologies.ru/ru/article/view?id=21722

4.                 Базанов, С. Фибоначчи повсюду!/Платформа для социальной журналистики «Medium». – Режим доступа: https://medium.com/paradox-review/ фибоначчи-повсюду-d42dafe0a29e

5.                 Смирнова, И.М., Смирнов, В.А. Геометрия/Учебник 10-11кл./сост. Смирнова, И.М., Смирнов, В.А. – М: Мнемозина, 2003. – 232 с.

6.                 Степанова, Н.А. Геометрия и искусства/Математика и искусство. – Режим доступа: http://matematikaiskusstvo.ru/geometryandart.html

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1. Отрезок с отношением сторон 

Приложение 2. Последовательное приближение соотношения двух соседних чисел ряда Фибоначчи к Золотому сечению

Приложение 3. Схема построения линейной перспективы

Приложение 4. Схема построения фигуры, симметричной данной относительно прямой

Приложение 5. Схема построения центрально-симметричной фигуры

Приложение 6. Разделение полотна в пропорциях золотого сечения

Приложение 7. «Явление Христа народу»,

Александр Андреевич Иванов

Приложение 8. «Боярыня Морозова», Василий Иванович Суриков

Приложение 9. «А.С. Пушкин на лицейском экзамене

8 января 1815 года», Илья Ефимович Репин

Приложение 10. «Христос вручает ключи Святому Петру»,

Пьетро Перуджино

Приложение 11. «Тайная вечеря»,  Сальвадор Дали

Приложение 12. Пизанская башня, Пиза, Италия

Приложение 13. Храм Василия Блаженного, Москва, Россия

Приложение 14. Мавзолей-мечеть Тадж-Махал, Агра, Индия