Исследовательская работа по теме "Квадратный и кубический корень"

Муниципальное  учреждение дополнительного профессионального образования

«Информационно-методический центр»

142100, Московская область, Г.о. Подольск, ул. Комсомольская, дом 73

тел: [phone], E-mail: [e-mail]

КОНФЕРЕНЦИЯ  НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ «ШАГ В НАУКУ»

СЕКЦИЯ:   МАТЕМАТИКА

Тема пректа: «Квадратный и кубический корень»

                                                                                                                                     Автор проекта (работы):

Халявина Виктория Алексеевна,

ученица 8 класса,

МОУ «Основная общеобразовательная школа №9»

Руководитель проекта (работы):

Дергачева Наталья Валерьевна,

                                                                                     учитель математики

                                                          МОУ «Основная общеобразовательная школа №9»

Г.о. ПОДОЛЬСК

2015 год.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ:

I.           Почему я выбрала эту тему.

II.        1.Цель работы.

     2.Задачи.

     3.Актуальность работы.

     4. Методы исследования.

     III. Основная часть.

          1.Введение.

          2.С корнем квадратным -  сквозь историю.

          3.Различные способы извлечения квадратного и кубического корня из  

             многозначных чисел.

          4. Как отгадать квадратный или кубический корень.

       IV. Заключение.

 V. Список литературы.

      VI.  Приложение

ПОЧЕМУ Я ВЫБРАЛА ЭТУ ТЕМУ.

В этом году я и мои одноклассники  изучали тему квадратные корни.

Все было замечательно, пока под рукой была таблица квадратов, но однажды корень из шестизначного числа нам нужно было вычислить на уроке геометрии. Те, у кого были телефоны и калькуляторы, воспользовались ими, телефон я забыла дома, и пришлось разбивать число на простые множители. Корень был извлечен, но вопрос есть ли другие алгоритмы для извлечения квадратного, а в дальнейшем и кубического корня, остался.

Все знают, что извлечь квадратный корень без калькулятора - это непосильная задача. В лучшем случае, в ситуации, когда решение задач требует извлечения корня, а калькулятор вне зоны досягаемости, прибегают к методу подбора и стараются вспомнить данные из таблицы квадратов целых чисел, но это не всегда спасает. Сколько раз все попадали в подобные ситуации? Почти все, к кому я обращалась с этим вопросом, не знали ни одного способа решения этой проблемы.

С этим вопросом я обратилась и к своей учительнице математики, она ответила, что такие способы есть, и посоветовала мне самой исследовать этот вопрос и познакомить с результатами работы своих одноклассников.

Я узнала, что извлекать корни люди научились задолго до изобретения «умной» техники. Мои вопросы и легли в основу исследования, которое для меня стало маленьким открытием. Исследуя эту тему, я нашла не один, а несколько способов решения данной проблемы.

Актуальность исследования обусловлена стремлением углублять математические знания через применение простейших способов извлечения квадратных корней без калькулятора, распространение алгоритмов извлечения корней среди учащихся, что особенно актуально при сдаче экзаменов, где запрещено пользование калькулятором, а также использовать эти знания при работе с вычислениями корней на уроках математического цикла в ситуациях недоступности калькулятора.

 Цель работы: Исследовать различные способы вычисления арифметических корней. Изучить все известные способы извлечения квадратных корней без калькулятора и отобрать самые рациональные для практического применения.

Были намечены следующие задачи:

1. Изучить всю найденную литературу по данному вопросу, научные статьи, исторические справки и работы современных учёных и исследователей.

2. Рассмотреть особенности каждого найденного способа и описать его алгоритм.

3. Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов.

Гипотеза: Существует не менее двух-трёх способов извлечения квадратных корней без калькулятора.

Объект исследования: математические символы – квадратные корни.

Предмет исследования: особенности способов извлечения квадратных корней без калькулятора.

Методы исследования:

1. Поиск способов и алгоритмов.

2. Сравнение найденных способов и выявление их преимущества и недостатков.

3. Экспериментальное подтверждение правильности разных способов на практике при исследовании путём решения конкретных задач.

ВВЕДЕНИЕ.

Начиная с XIII В. итальянские и другие математики обозначили корень латинским словом Radix (корень) или сокращенно R. В XV в. Н. Шюке писал: R² 12 вместо √12.

Ныне применяемый знак корня произошел от обозначения, которое применяли немецкие математики XV-XVI вв., называвшие алгебру «Косс», а алгебраистов «коссистами».  (Математики  XII-XV вв. писали свои произведения на латинском языке. Они называли неизвестное res – вещь. Итальянские математики перевели res словом cosa. Последний термин был заимствован немцами, откуда и появилась «Косс» и «коссисты».)

Некоторые немецкие коссисты XV в обозначили квадратный корень точкой впереди числа или выражения. В скорописи точки заменяли черточками, позже перешедшим в символ ◊. Так, в рукописи, написанной в 1480г. на латинском языке, один такой символ точки перед числом ( ◊ ) означал квадратный корень, два таких знака ( ◊◊ ) – корень четвертой степени, а три          (◊◊◊) – кубический корень.

Вероятно, из этих обозначений впоследствии и образовался знак V, близкий к современному символу корня, но без верхней черты. Так V4 означает √4. Этот знак встречается впервые в немецкой алгебре « Быстрый и красивый счет при помощи искусных правил алгебры, обычно называемых Косс» (приложение 1.),  изданной в 1525г. в Страсбурге. Автором этой книги был уроженец Чехии, учитель математики в Вене Криштоф Рудольф из Явора. Книга пользовалась успехом и переиздавалась на протяжении XVI в. Вплоть до 1615г. Знаком корня пользовались в XVI в. М. Штифель, С. Стевин и другие.  Стевин писал показатель корня в кружке справа от знака радикала: V②   V③ вместо нашего  √, ³√ и т.д.[1]

В 1626 году нидерландский математик А. Жирар, сочетая знак Рудольфа с показателем Шюке, ввел близкое к современному обозначение V V  и т.д. Это обозначение стало вытеснять знак R. Однако долгое время писали, например V а + в ( вместо современного √а + в). Рене Декар соединил знак корня с горизонтальной чертой, применив в своей «Геометрии» современный знак корня √.

Однако запись у Декарта несколько отличается от современной. У него, например, записано √С + ½ q + √¼ qq + ¹/₂₇ р³ где буква С поставлена вместо латинского слова cubicus, что означает кубический. В современной записи это выражение будет выглядеть так:

³√¹/₂ q + √¼ q² + ¹/₂₇ p³

Ещё ближе к современному применял обозначение радикала Ньютон в «Универсальной арифметике» (1685г.). Впервые запись корня точно совпадающая с ныне принятой, встречается в книге француза Роль «Руководство алгебры», написанный в 1690 г. Современный знак корня окончательно вошел во всеобщее употребление лишь в начале XVIII в.

С корнем квадратным – сквозь историю

√2=1.41421356237309504

Совокупность цифр – эта бескрайняя азбука весьма выразительного языка математики – вот уже тысячелетиями поражает воображение человечества. Традиция интереса к  очень крупным числам восходит, по крайней мере, к Архимеду, который, решив определить, сколько песчинок может поместиться во Вселенной, разработал систему классов и порядков арифметических величин. Он даже предложил принципы, с помощью которых  можно «придумывать» названия сколь угодно больших чисел.

Однако интерес к квадратному корню из двух, видимо, возник ещё раньше. В собрании Вавилонских исторических ценностей, хранящемся в Йельском университете (Нью- Хейвен, штат Коннектикут), есть круглая глиняная табличка, относящаяся к 1750г. до нашей эры. На ней изображен рассеченный диагонялями квадрат и четкими клинописными знаками выписаны три цифры (приложение 2). Когда их прочли, стало ясно, что без малого четыре тысячи лет назад в Вавилоне умели определять диагональ квадрата  по его стороне, умножая ее длину на квадратный корень из двух. Цифры на табличке как раз и представляют собой эту величину, выведенную с точностью до пятого знака: 1, 24, 51, 10. Ну что ж, это совсем не плохое приближение к истине, ведь 1 + ²⁴/₆₀ +⁵¹/₆₀² + ¹⁰/₆₀³ = 1,41421.

Невольно хочется повторить: это подсчитано в XVIII веке до нашей эры!

За пять столетий до нашей эры школа Пифагора сделала одно из величайших открытий. Пифагорейцы пытались доказать, что любое число может быть выведено путем сложения, вычитания, умножения и деления положительных целых чисел. А корень квадратный из двух – число иррациональное и конечным числом таких операций не получается. Это и было обнаружено последователями Пифагора. Однако они любили всяческую секретность и «законспектировали» свое открытие на долгие годы.

Его доказательство впервые появилось в «Началах» Евклида около 300г.  до нашей эры. А затем примерно в 140г. нашей эры Теону из Смирны удалось разработать интереснейший алгоритм вычисления корня квадратного из двух; этот алгоритм стал предтечей всей методики использования непрерывных дробей.

В XIX веке математик Дж. М. Бурман довел вычисление квадратного корня из двух до 486 десятичного знака. Его победа, добытая «голыми руками», омрачается ем, что в 316-м знаке Бурман допустил ошибку, и далее его вычисление уже неверно.[1]

В последнее время интерес к подобным операциям стал не только данью традиции. «Неупорядоченные» величины, вроде корня квадратного из двух, могут служить для моделирования случайно происходящих массовых явлений, например возникновения и исчезновения рыночного спроса, характера движения машин на шоссе в час «пик», числа телефонных  вызовов в большой сети, для составления расписания прибытия самолетов. Все это входит в круг математической теории с прозаичным названием «теория массового обслуживания».

Математикам необходимо знать, появляются ли где-либо в этой величине √2 такие последовательности, как например 7, 7, 7, 7, 7 или 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.Подобные события теория пока предсказать не в силах, так что приходится добиваться ответа эмпирическим путем приближения и приближения к истине. Поэтому  с момента появления скоростных электронных вычислительных машин математики не жалели сил и довели вычисления √2 до стотысячного знака. Недавним достижением была титаническая работа сотрудника Отдела математических методов в инженерном деле при Колумбийском университете профессора Жака Дутки (Нью-Йорк). Он специально разработал совершенно новый алгоритм и подсчитал величину пресловутого корня до миллион восемьдесят второго десятичного знака! Это наиболее длинная из всех вычисленных величин за всю историю математики.

Хотя алгоритм профессора Дутки и рассчитан на эффективное и быстрое вычисление, мощная ЭВМ «ИБМ 360-91» потратила на эту работу сорок семь с половиной часов машинного времени. А ведь обычное решение даже сравнительно сложных задач отнимает у современной ЭВМ если не секунды, то лишь минуту. К этому нужно добавить сотни часов, ушедших у группы специалистов, составлявших  программу для вычислений. В напечатанном виде результат работы Дутки занимает книгу в двести одну страницу сжатого текста – 5000 десятичных знаков на каждой странице.

Теперь Дутка и его сотрудники намерены заняться числами (Пи) – отношением длины окружности к диаметру и   е – основанием натурального логарифма. Эти «орешки» будут ещё труднее, чем корень квадратный из двух, но к (пи) математики испытывают прямо – таки «историческую нежность», а  е – одна из важнейших констант во всей системе исчисления, во всей высшей математики. [5]

 Различные способы извлечения квадратного и кубического корня  из многозначных чисел

 Извлечение квадратного корня из положительного числа.

Потребность в действиях возведения в степень и извлечения корня была вызвана, как и другие четыре арифметические действия, практической жизнью. Так, наряду с задачей вычисления площади квадрата сторона которого а известна, с давних времен встречалась обратная задача: какую длину должна иметь сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась в?

Ещё 4000 лет назад вавилонские ученые составляли наряду с таблицами умножения и таблицами обратных величин ( при помощи которых деление сводилось к умножению) таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел. При этом они умели находить приблизительное значение квадратного корня  из  любого  целого числа. Вавилонский метод извлечения квадратного корня можно иллюстрировать на следующем примере, изложенном в одном из найденных при раскопках клинописных табличек.

Найти квадратный корень из 1700.

Для решения задачи данное число разлагается на сумму двух слагаемых:

1700 = 1600 + 100 = 40² + 100,

Первое из которых является полным квадратом. Затем указывается, что

√1700 = 40 + ¹⁰⁰/_2∙40 = 40 ¼

Правило, применявшееся вавилонянами, может быть выражено так: чтобы извлечь корень из числа с, разлагают его на сумму а²+в (в должно быть достаточно малым в сравнении с а² ) и вычисляют по приближенной формуле:

√с = √а² + в = а + ^в/_2а

Вавилонский метод извлечения квадратного корня был заимствован греками. Так, например, у Герона Александрийского находим:

√160 = √144 + 16 = 12 + ¹⁶/₂₄ = 12 ^2/₃ [4]

 Извлечение квадратного корня из целого числа «нацело»

Пример: найдём  √212521 [9]

№	Шаги алгоритма	Пример	Комментарии
1	Разбить число на группы по 2 цифры в каждой справа налево	21’ 25’ 21	Общее число образовавшихся групп определяет количество цифр в ответе
2	Для первой группы цифр подобрать цифру, квадрат которой будет наибольшим, но не превосходящим числа первой группы	1 группа – 21 42=16 16<21 цифра - 4	Найденная цифра записывается в ответе на первом месте
3	Из первой группы цифр вычесть найденный на шаге 2 квадрат первой цифры ответа	_21’ 25’ 21   16     5
4	К остатку, найденному на шаге 3, приписать справа (снести) вторую группу цифр	_21’ 25’ 21   16__     525
5	К удвоенной первой цифре ответа приписать справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходила числа, найденного на шаге 4	4*2=8 цифра – 6 86*6=516 516<525	Найденная цифра записывается в ответе на втором месте
6	Из числа, полученного на шаге 4 вычесть число, полученное на шаге 5. Снести к остатку третью группу	_21’ 25’ 21   16   _525     516         921
7	К удвоенному числу, состоящему из первых двух цифр ответа, приписать справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру был наибольшим, но не превосходило числа, полученного на шаге 6	46*2=92 цифра 1 921*1=921	Найденная цифра записывается в ответе на третьем месте
8	Записать ответ	√212521=461

Извлечение квадратного корня из целого числа (корень  не извлекается«нацело»)

Пример: найдём √123456 [9]

№	Шаги алгоритма	Пример	Комментарии
1	Установить точность извлечения  1/10m	m = 3	Определить количество знаков  в ответе после запятой
2	Разбить число на группы по 2 цифры в каждой справа налево	12’ 34’ 56
3	Создать группы в дробной части числа, приписав, справа нули	12’ 34’ 56’, 00’ 00’ 00	Количество приписываемых нулей сокращается с заявленной точностью. В нашем примере – 6 нулей (3 группы, так как m=3)
4	Использовать алгоритм 1, начиная со 2 шага	√12”34”56”00”00”00=351,363      _9_      _334        325          _956            701          _25500            21069              443100              421596              ­_2150400                2108169                    42231

 Извлечение квадратного корня из десятичной дроби

Пример: найдём  √104,2441 [8]

№	Шаги алгоритма	Пример	Комментарии
1	Разбить число на группы по 2 цифры в каждой	1’ 04’, 24’ 41	Цифры, входящие в целую часть числа разбить справа налево, а цифры, входящие в дробную часть – слева направо
2	Установить точность	m = 4 1’ 04’, 24’ 41’ 00’ 00	Если число группы в дробной части больше  m, отбросить лишнее; если меньше m  - составить недостающие группы из нулей
3	Использовать алгоритм 1, начиная со 2 шага	√104,25520000=10,2105      1    _00425          404          _2152            2041            _1110000              1001025                108975

 Извлечение кубического корня из целого числа «нацело»

Пример: найдём ³√74088 [10]

№	Шаги алгоритма	Пример	Комментарии
1	Разбить число на группы по 3 цифры справа налево	74’088	В первой группе могут оказаться три цифры, две или одна
2	Извлечь кубический корень из числа первой группы	43=64 64<74 число 4	Найденная цифра записывается в ответ на первом месте
3	Вычесть куб числа, найденного на шаге 2 из числа первой группы. К остатку снести вторую группу	_74’088   64   10088
4	В числе, найденном на шаге 3 отделить 2 цифры справа	_74’088   64   100’88
5	Оставшееся на шаге 4 число разделить на утроенный квадрат найденного числа корня	100/(42*3)=2
6	Найти второй остаток	_74’088   64  _100’88     96       488	Найденный остаток сверяется с , где a=4, b=2. Если они равны, то найденное число верно
7	Записать ответ	3√74088=42

Методика быстрого извлечения квадратного корня

Многие из нас знают метод извлечения квадратного корня разложением числа

на простые множители. [11] В моей работе представлен ещё один способ, с помощью которого можно узнать целую часть квадратного корня числа. Способ настолько прост, что пользоваться им может ребенок, обладающий простыми навыками вычисления.

Заметим, что для квадратов чисел верны следующие равенства:

1=1²

1+3=2²

1+3+5=3²

1+3+5+7=4² и т.д.

Правило: узнать целую часть квадратного корня числа можно вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и сочтя количество выполненных действий.

Пример: найдём √529

Решение: 1)_529

                          1

                 2)_528

                          3

                 3)_525

                          5

                 4)_520

                          7

                 5)_513

                          9

                 6)_504

                        11

                 7)_493

                        13

                 8)_480

                        15

                 9)_465

                        17

               10)_448

                        19

               11)_429

                        21

               12)_408

                        27

               13)_385

                        25

               14)_360

                        27

               15)_333

                        29

               16)_304

                        31

               17)_273

                        33

               18)_240

                        35

               19)_205

                        37

               20)_168

                        39

               21)_129

                        41

                 22)_88

                        43

                 23)_45

                        45

                          0

Ответ: √529 = 23

 Метод быстрого извлечения кубического корня

Для успешного овладения этой методикой необходимо запомнить несколько ключевых цифр

1³ = 1

2³ = 8

З³ = 27

4³ = 64

5³ = 125

6³ = 216

7³ = 343

8³ = 512

9³ = 729

10³=1000

Обратим внимание на то, что цифры 1,4,5,6,9 в своём кубе оканчиваются на эту же цифру. В остальных же случая последняя цифра куба равна разности между 10 и числом возводимым в куб.

Извлекать кубический корень научимся на практических примерах

Пример: найдём  ³√46656 [11]

№	Шаги алгоритма	Пример	Комментарии
1	Отделить тысячи	46
2	Найти число, куб которого наиболее близкий, но меньше числа, полученного на шаге 1	27	Воспользоваться таблицей 1
3	Извлечь кубический корень из числа, полученного на шаге 2	3√27=3	Найденная цифра записывается в ответе на первом месте
4	Рассмотреть оставшиеся цифры	656
5	Найти число куб которого заканчивается такой же цифрой как число полученное на шаге 4	216	Воспользоваться таблицей 1
6	Найти кубический корень из числа, полученного на шаге 5	3√216=6√	Воспользоваться таблицей 1. Найденная цифра записывается в ответе на втором месте
7	Записать ответ	3√46656=36

Пример: найдём ³√274625

№	Шаги алгоритма	Пример	Комментарии
1	Отметить последнюю цифру числа. Определить последнюю цифру ответа	5	Воспользоваться таблицей 1. Найденную цифру записать на последнем месте
2	Зачеркнуть последние 3 цифры числа. Рассмотреть оставшееся число	274	Зачеркиваются три цифры числа независимо от количества его цифр
3	Найти число, куб которого наиболее близок, но не превосходит числа, полученного на шаге 2	216	Воспользоваться таблицей 1
4	Найти кубический корень числа, полученного на шаге 2	3√216=6	Воспользоваться таблицей 1. Найденная цифра записывается в ответе на первом месте
5	Записать ответ	3√274625=56

 Заметим, что рассмотренные способы почти одинаковы. Предпочтение можно отдать любому из них.

Приближенные методы извлечения квадратного корня (без использования калькулятора) [8].

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а²+b, где а² ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а (а²<х), и пользовались формулой . (1)

Извлечем с помощью формулы (1) корень квадратный, например из числа 28:

Результат извлечения корня из 28 с помощью МК 5,2915026.

Как видим способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.

Как отгадать квадратный или кубический корень.

Один из известных математических фокусов – отгадывание кубического корня из данного числа, представляющего собой куб двузначного числа. Этот фокус имитирует «молниеносный счёт» чисел и кубов трёхзначных чисел.

1.Отгадывание корня из куба двузначного числа.

Сначала я запомнила равенства (1). Из них видно, что если куб некоторого числа заканчивается цифрами 0, 1, 4, 5, 6, 9, то само число, т.е. кубический корень, заканчивается той же цифрой; если же число заканчивается одной из цифр 2, 3, 7, 8, то кубический корень из него -дополнением этой цифры до 10. Поэтому цифра, стоящая в разряде единиц кубического корня, угадывается сразу. Чтобы найти следующую цифру корня, я выделила в кубе класс тысяч: (xy)³ =1000a+b. Затем рассмотрела кубы однозначных чисел n из равенства (1). Если n³ <a< (n+1)³, то x=n?

Равенства (1)

  0³ = 0            1³ = 1               2³ = 8            3³ = 27            4³ = 64

  5³ = 125       6³ = 216           7³ = 343       8³ = 512         9³ = 729

Пример 1. Пусть известно, что 571787- куб двузначного числа. Запишу данное число иначе 571∙1000+787 и обращусь к равенствам (1). Увидев, что 8³ = 512, 9³ = 729 и 512≤571<729. Значит, в искомом корне цифра в разряде десятков-8. Цифра в разряде единиц- 3, так как 10-7=3. Остается написать: ³√571787=83

2.Отгадывание корня из квадрата двузначного числа.

Я сначала запомнила равенства (2). Цифру корня, стоящую в разряде, установила с помощью равенства (2).

Равенства (2)

1² = 1          2² = 4       3² = 9       4² = 16          5² = 25

6² = 36        7² = 49     8² = 64    9² = 81

Пусть эта цифра будет a. Из равенства (2) ясно, что цифра корня в разряде единиц не восстанавливается однозначно по последней цифре квадрата. Однако положение облегчается, если известно, что эта цифра больше или меньше 5. Узнать это возможно, сравнив данный квадрат ах² с числом а5². При угадывании корня число а5² я вычисляла устно.

Для этого я пользуюсь правилом устного возведения в квадрат таких чисел: число а5² получается приписыванием к числу а (а+1) слева 25. Так, 75² = (7∙8)∙25 =5625. Действительно, а5²=(10а+5)²=100а(а+1)+25.

Пример 2. Известно, что 2209-квадрат двузначного числа. Из равенства (2) я устанавливаю: 4²≤22<5², т.е. искомое число содержит 4 десятка. Далее 45²=2025<2209, так что корень больше 45, а значит, цифра в разряде единиц больше 5. Из равенства (2) видно, что она равна 7. Таким образом √2209=47.

Заключение.

Описанные в работе методы извлечения корней встречаются во многих источниках. Тем не менее, разобраться в них оказалось для меня непростой задачей, что вызвало немалый интерес. Представленные   алгоритмы позволят всем, кто заинтересуется данной темой,  быстрее овладеть навыками вычисления квадратного и кубического корней, их можно использовать  при проверке своего решения  и не зависеть от наличия в кармане калькулятора. Тем более что на экзамене в 9 и 11 классах применение калькулятора не допускается.

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ.

1 Г.И. Глейзер «История математики в школе» С. 18-20

2 (The Sciences, Aug.-Sept., 1971, с. 25-26, перевод и переработка Б.И. Силикина)

3 М.Б. Балк Организация и содержание внеклассных занятий по математике. М.: Учиедгиз, 1956.

4 М. Гарднер М.Математические новеллы. М.: Мир, 1975

5 Б.А. Кордамский, А. А. Ахадов Удивительный мир чисел. М.: Просвящение,1986

6 Болтянский В.Г., Левитас Г.Г. Делимость чисел в простые числа //Дополнительные главы по курсу математики 7-8 классов для факутальтативных занятий. М.: Просвящение,1969.

7.В.А. Гусев, А.Т. Мордкович «Математика: справочные материалы»; Книга для учащихся – 2-е издание. –М: Просвещение,1990

8.И.Н. Сергеев, С.Н. Олехник,  С.Б.Гашков «Примени математику». – М.: Наука, 1990

9. Керимов З., «Как найти целый корень?» Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" №2, 1980

10. Петраков И.С. «математические кружки в 8-10 классах»;  Книга для учителя.

–М.:Просвещение,1987

11. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. «Рассказы о прикладной математики».- М.: Наука. Главная редакция физико- математической литературы, 1979

12. Фурсенко В.Б. «Об алгоритме извлечения квадратного корня». «Математика и физика в школе». 1936. № 5