Исследовательская работа РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

Козлов Евгений Юрьевич

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

Научный руководитель

Бобрышева Светлана Васильевна,

учитель математики ,1 квалификационная категория

Российская Федерация,

Курская область, Пристенский район,

поселок Пристень,

МКОУ «СОШ №2 пос. Пристень», 11А класс

Содержание

1 Введение

В современном мире каждый человек хочет получить хорошую, престижную профессию, чтобы в дальнейшем обеспечить свою жизнь. Для достижения этой цели уже в школьном возрасте нужно осваивать учебный материал, чтобы , имея прочные знания, получить высокие баллы на ЕГЭ. Для выпускников очень важно набрать большое количество баллов на ЕГЭ по математике, так как это прямым образом влияет на шансы поступить в желаемый ВУЗ. Но для этого необходимо, как минимум, уметь решать задачи повышенного уровня сложности, т.е. №13-17.

Задание 17 - текстовая задача с экономическим содержанием. Изучая результаты исследования Федерального Института Педагогических Измерений (ФИПИ), я обратил внимание, что всего лишь 15% выпускников 2017 года набрали ненулевые баллы по этой задаче, из которых только 8% получили максимальный балл. Типичные ошибки связаны в первую очередь с неверным составлением модели задачи (непонимание взаимосвязи величин) и вычислительными ошибками.

С такой проблемой при подготовке столкнулся и я. Каждую задачу я рассматривал отдельно от других, упускал важные моменты при чтении текста (а тексты большие) и математическая модель содержала ошибки.

Деление задач на группы по неизвестной величине должного результата не дало.

Я поставил перед собой задачу научиться решать задачи с экономическим содержанием.

Гипотеза:

Если задачи на кредиты разделить на группы по условию выплат, то можно

найти единый подход к их анализу и решению.

Объект исследования: задания открытого банка заданий ЕГЭ по математике, содержащие задачи на кредиты и вклады.

Предмет исследования: деление задач на кредиты на группы по условию выплат.

Цель. Найти наиболее рациональный способ решения задач с экономическим содержанием (на кредиты и вклады).

Задачи:

1. Разделить задачи на кредиты из открытого банка заданий ЕГЭ на группы, исходя из условия выплат .

2. Рассмотреть разные способы решения задач.

3. Выявить наиболее рациональный способ решения.

4. Решить задачи установленным способом.

Методы исследования: анализ, сравнение, аналогия, обобщение, математическая визуализация данных , математическое моделирование.

2 Решение задач с экономическим содержанием.

2.1 Теоретические основы разрабатываемой темы

2.1.1.Что такое процент.

Процентное соотношение представляет какую-либо часть от единицы как часть от 100. Обозначение процентов: %.

1%=1/100, одна сотая часть величины. 100% - это единица, или некоторое количество целиком. 50% = 50/100, т.е. половина от целого.

Нахождение p% от числа a: умножить a на 0,01 p

Примеры:

• 4% от 190 равны 190 • 0,04 = 7,6;

• 23% от 53 равны 53 • 0,23 = 12,19;

• 131% от 19 равны 19 • 1,31 = 24,89.

Нахождение числа a, если его p% равны b: разделить b на 0,01р

Примеры:

Найти число, 16% которого равны 70: a =70/0,16=437,5 

Найти число 180% которого равны 90: a = 90 /1,8=50

Выражение в процентах частного двух чисел a и b (дроби):

Сколько процентов составляет число a от числа b: разделить a на b, полученную дробь записать в процентах:

2.1.2 Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, задаваемая двумя параметрами и законом
, ,
— разность данной арифметической прогрессии;

Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии

2.1.3 Виды платежей по кредиту.

Платеж по кредиту сегодня представляется в двух видах – аннуитетным и дифференцированным.

Дифференцированный платёж заключается в том, что на первые месяцы выплат приходятся максимальные суммы, в которые входит часть основного долга и проценты по кредиту. При дифференцированных платежах сумма основного долга, так называемое тело долга, делится равными частями на весь срок платежа, а вот проценты ежемесячно начисляются на остаток долга. Соответственно, в первый месяц суммы платежей наиболее велики, потому что проценты по кредиту существенны. А к концу срока выплаты будут минимальны.

Аннуитетные платежи Отличие аннуитетного платежа от дифференцированного в том, что сумма ежемесячного взноса всегда неизменна, но вот структура этой суммы меняется из месяца в месяц. Основную часть в первые месяцы составляют проценты по кредиту, а сумма тела долга — минимальна.

2.1.4. Табличный способ решения задач.

Существуют различные способы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, табличный, комбинированный, и другие.

В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей.

Я предпочитаю табличный метод. Табличный метод – это решение путем занесения содержания задачи в соответствующим образом организованную таблицу. Суть метода – максимально компактно представить информацию не только об условии задачи, но и обо всех промежуточных результатах вычислений. Он позволяет видеть задачу целиком.

Анализируя условия задач на кредиты из открытого банка ФИПИ и других источников, мы поняли , что все задачи можно разделить на две группы по условиям возврата кредита (дифференцированный и аннуитетный платежи) и применить табличный метод.

В рассматриваемых задачах, как и в других текстовых задачах, составление таблицы имеет свою специфику.

Рассмотрим примеры.

Задача1

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

• февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

• в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 3,6 млн. рублей.

Решение. Обращаем внимание на условие 3. По определению, это дифференцированный платеж. Для этого вида характерна таблица, полученная исходя из понятия дифференцированного платежа.

1

Д

кД

2

-------

---------

---------

-----------

n

ИТОГО

Д

Легко заметить, что последовательность − убывающая арифметическая прогрессия,

Эта таблица не содержит конкретных данных. Она одинакова для любой задачи такого вида(дифференцированный платеж).

Далее составляем математическую модель с учетом условия, подставляем данные и решаем .

Дано: n число месяцев Д=9 млн. руб. к=0,25,

Найти общую сумму выплат, т.е

По условию наибольший годовой платеж равен 3,6 млн.руб. Наибольший платеж первый .т.емлн. руб. Найдем n .

.

т. к n целое число, то n=7

Найдем общую сумму выплат, т.е .

млн. руб.

Ответ: 18 млн. руб.

Задача 2.

Взяли кредит 177 120 рублей в банке на четыре года под 25% годовых и выплатили четырьмя равными платежами. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита.

Решение

Т.к. выплатили равными платежами ,то имеем дело с аннуитетным платежом.

Составим таблицу согласно условию задачи

перииод

Долг в начале периода

к

Долг в конце периода

Платеж

Остаток

1

Д

к

кД

Х

кД- Х

2

кД- Х

к

Д- к Х

Х

Д- к Х-Х

3

Д- к Х-Х

к

Д- Х- кХ

Х

Д- Х- кХ-Х

4

Д- Х- кХ-Х

к

Д- Х- Х-кХ

Х

Д- Х- Х-кХ-Х=0

Д=177120 сумма долга, к=1,25, Х ежегодный платеж. Найти 4Х. Остаток после последнего платежа равен 0 т.е

,

,

,

,

.

Подставим значения , , найдем Х.

Х=75000 руб.

Общая сумма выплат 4Х=75000*4=300000 руб.

Эта таблица также является универсальной для любой задачи такого вида (аннуитетный платеж).

2.2 Решение задач

Задача 3.

15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 1 млн. рублей?

Решение.

Запишем условие в таблицу: Д сумма долга, к=2%=0,02. Найти Д.

Платеж

процентов

банку

1

Д

кД

2

3

к

-------

---------

---------

-----------

24

ИТОГО

Д

Последовательность Д, Д/24, 23Д/24, 22Д/24,21Д/24,…Д/24 –убывающая арифметическая прогрессия
,

Составляем уравнение исходя из условия: общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 1млн руб.

0,25Д+Д=1

1,25Д=1

Д=0,8

Ответ:800 000 рублей

Задача4.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 10 млн.

Обратим внимание на то, что в задаче не все 5 лет одинаковые платежи. Тем не менее ,это схема аннуитетного платежа. Для такого вида платежа важно еще, что выплачиваемая сумма не разделяется на две части (долг и проценты банку),а проходит одним платежом.

Решение

Представим схему выплат в таблице.

к=1,2, Д сумма кредита, Х выплаты в конце 4-го и 5-го годов

к

Долг в конце периода

Платеж

Остаток

1

Д

1,2

1,2Д

0,2Д

Д

2

Д

1,2

1,2Д

0,2Д

Д

3

Д

1,2

1,2Д

0,2Д

Д

4

Д

1,2

1,2Д

Х

1,2Д-Х

5

1,2Д-Х

1,2

1,44Д-1,2Х

Х =1,44Д-1,2Х

0

Общая сумма выплат

0,2Д+ 0,2Д+ 0,2Д+2Х

По условию в конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, т.е последние выплаты равны :

1,44Д-1,2Х =Х.

1,44Д=2,2 Х .

Найдем наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 10 млн.

0,2Д+ 0,2Д+ 0,2Д+2Х10

.

Т.к кредит- на целое число миллионов рублей, то Д=6 млн. руб.

Ответ: 6 млн. рублей.

Задача5.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

• в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей. Найдите наибольшее значение S, при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн. рублей.

Месяц и год

Июль 2016

Июль 2017

Июль 2018

Июль 2019

Долг

(в млн рублей)

S

0,7S

0,4S

0

Решение

Представим схему выплат в таблице. к=1,25

Долг в

начале периода

к

Долг в конце периода

Платеж

1

S

1,25

1,25S

1,25 S-0,7S=0,55 S

2

0,7S

1,25

0,7 *1,25 S

0,7 *1,25 S -0,4S =0,475 S

3

0,4S

1,25

0,4 *1,25S

0,4 *1,25S=0,5 S

4

0

По условию разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн рублей. Значит

По условию S — целое число, значит, наибольшее значение S=13 млн.руб

Задача 6.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 200 000 рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 130 000 рублей, а во второй год — 150 000 рублей.

Решение.

Долг в начале периода

(тыс.руб)

к

Долг в конце

периода

Платеж

(тыс. руб)

Остаток

1

200

к

200к

130

200к-130

2

200к-130

к

150

к=1+0,01 r

Кредит погашен за 2 года. Значит последний остаток равен 0.

к =1,25,значит . r =25%

Ответ:25%.

Задача7

15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r%по сравнению с концом предыдущего месяца;

• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

кД

2

-------

---------

---------

-----------

19

ИТОГО

Д

По условию, общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит, значит,

; к=0,01r

;

1+10к =1,3

к=0,03,значит , r =3%

Ответ: 3%

Задача 8.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по 58 564 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Решение.

Составим таблицу. к=1+0,01 r

Есть два условия выплат:

1. За четыре года. Тогда имеем уравнение
   , где Х=58564 .

2. За два года. Тогда где У=106964 .

Получаем систему уравнений

Подставляя вместо У, получим

Т.о. или Отсюда к=1,1 ,значит r=10% Ответ:10%

Решим задачу на вклады

Задача 9.

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн. рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 25 млн. рублей.

Решение

Внесем операции по вкладу в таблицу

Х-сумма первоначального вклада , к=1,1

период

Вклад в начале периода

к

Вклад в конце периода

1

Х

1,1

1,1Х

2

1,1Х

1,1

1,21Х

3

1,21Х+3

1,1

1,331Х+3,3

4

1,331Х+6,3

1,1

1,4641Х+ 6,93

Найдем наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 25 млн рублей, т. е

.

Наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству , 12 .

Ответ:12 млн. руб.

2.3 Задачи для самостоятельного решения

Задача 10.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей

на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

• в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн. рублей?

Задача 11.

1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов
по сравнению с концом предыдущего месяца, где r целое число;

• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

• 5-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата

15.01

15.02

15.03

15.04

15.05

15.06

15.07

Долг(в млн рублей)

1

0,6

0,4

0,3

0,2

0,1

0

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

Задача 12.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r

Задача 13.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

• в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн. рублей, а наименьший — не менее 0,6 млн. рублей..

Задача 14.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн. рублей

на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

• в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн. рублей?

3 Заключение

Я ознакомился с разными подходами к решению задач с экономическим содержанием, часто встречающимися на ЕГЭ по математике, и сделал вывод, что наиболее эффективным является деление задач на группы по условию выплат .

Моё исследование подтвердило первоначальную гипотезу о том, что если задачи на кредиты разделить на 2 группы по условию выплат можно применить единый подход к анализу и оформлению решения таких задач , позволяющий решать задания разных групп. Таковым я считаю табличный способ., т.к., на мой взгляд, он отвечает важным требованиям: содержит последовательность указаний, каждое из которых приводит к выполнению одного шага (дискретность), позволяет видеть задачу целиком, обеспечивает возможность получения результата (решения задачи).

Алгоритм работы с задачей: 1) определить вид платежа,

2) построить таблицу, характерную для данного вида, с учетом условия задачи,

3) составить математическую модель, выбрав необходимые данные из таблицы,

4) решить уравнение (неравенство) ,

5) записать ответ.

Я могу сказать, что научился решать задачи с экономическим содержанием. Результат работы и советы друзей вдохновили меня написать пособие.

Для одноклассников и будущих выпускников я написал пособие «Финансовая математика» (Приложение 1 )

В пособии представлен табличный способ решения задач на кредиты, на основе их деления на группы по условию выплат и задачи на вклады.

Пособие может служить методическим материалом при подготовке к ЕГЭ.

Очень надеюсь, что мои труды принесут пользу не только мне, но и всем, кто ознакомится с моим пособием.

4 Список литературы

1. Лаврушин, О.И. Деньги, кредит, банки: Учебник. — 2-е изд., перераб. и доп.. — М.: Финансы и статистика, 2000. — 464 с.

2. Москвин В.А. Банковский кредит: его виды и классификация (рус.). Elitarium. Центр дистанционного образования. Проверено 20 января 2012. Архивировано 3 апреля 2012 года.

Интернет-источники

1fipi.ru

2.ege.sdamgia.ru

3.http://ru.wikipedia.org

4.http://ipoteka-expert.com/annuitetnyj-i-differencirovannyj-platezh

5.mathematics - repetition.com

6.formula -xyz.ru

Приложение 1

«Финансовая математика»

«Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая делать его немного занимательным» (Блез Паскаль). Следуя совету великого математика, я дополнил брошюру занимательными картинками и высказываниями великих. На мой взгляд, это поможет немного расслабиться после нелегких мыслительных операций.

Каждая задача размещена так, что находится в поле зрения читателя полностью, от условия до ответа.

Брошюра выполнена в программе MS Publisher , формат А5.