Исследовательская работа уч-ся "математическая статистика"

Математическая статистика

Автор: Урбанов Александр,

             МКОУ СОШ № 47 9 класс

Научный руководитель: : Фадеева                         

Лилия  Владимировна, учитель

математики

первой квалификационной   

категории , контактный телефон

 8 913 451 07 59                                                                                      

Барабинск

2017

Оглавление

I. Введение. 2

II. Основная часть. 2

2.1. История развития математической статистики. 2

2.2. Статистические характеристики. 2

2.2.1.   Таблица. 2

2.2.2.  Диаграмма и гистограмма. 2

2.2.3. График. 2

2.3. Среднее арифметическое. 2

2.4.    Размах. 2

2.5.    Мода. 2

2.6.    Медиана. 2

III. Исследование. 2

3.1. Анализ успеваемости учащихся 9 А в I четверти по предмету алгебра. 2

3.2. Анкетирование. 2

IV. Заключение. 2

V. Список литературы. 2

Приложение 2

I. Введение.

В нашу жизнь прочно вошли референдумы, социологические опросы, кредиты, разнообразные банковские начисления и т.п. Современная математика, демография, социология, философия, весь комплекс социально-экономических наук развивается на вероятностно-статистической базе. Вероятностно-статистические законы стали и основой описания научной картины мира.  Так же изучению математической статистики в школе стали уделять большое внимание. Имеющиеся учебники по математике 5-11 классов  содержат изложение материала, связанного со статистикой. Данная тема меня заинтересовала тем, что при изучении данного раздела математики,  формируются  умения первичной обработки статистических данных, изображения и анализ количественной информации, представленной в разных формах (в виде таблиц, диаграмм, графиков реальных зависимостей), формирование представлений о важных статистических идеях, формирование умений сравнивать вероятности наступления случайных событий с результатами конкретных экспериментов. 

Поэтому цель моей работы:  выяснить и показать учителям – предметникам и классным руководителям школы на конкретных примерах целесообразное применение  элементов  математической статистики.

Задачи: изучить основные понятия математической статистики; провести исследовательскую работу; показать ее практическое применение и при возможности разработать программное обеспечение, которое упростит процесс обработки информации.

II. Основная часть.

2.1. История развития математической статистики.

Термин «статистика» произошел от латинского слова «статус» (status), что означает «состояние и положение вещей». Первоначально он употреблялся в значении «политическое состояние». Возникновение статистики было связано с необходимостью в  государственном управлении, когда у человека появилась потребность в количественных характеристиках. Конечно, она так не называлась, но самые первые статистические исследования можно обнаружить и в древних египетских папирусах, и на вавилонских глиняных табличках. Уже ранние государства - Китай, Египет, Древняя Греция - нуждались в данных о населении и его составе, имущественном положении граждан, количестве скота, земельных угодий и т.д., положивших начало статистической практике. Потребности в статистических данных многократно возросли в период становления и развития капитализма; необходимы были  научные методы  обработки и анализа самых разнообразных  сведений. Это стимулировало формирование статистики  как науки, связанной с известными именами А. Кетле (1796-1874), Ф. Гальтона (1822-1911), К. Пирсона (1857-1936), В. Госсета (1876 -1936), Р. Фишера (1890-1962). Считается, что А. Кетле положил начало третьему направлению статистической науки - статистико-математическому. Ему принадлежит термин «социальная физика», так он называл науку, изучающую закономерности массовых общественных явлений, к анализу которых могут быть применены математические методы. В целом представители статистико-математического направления внесли существенный вклад в развитие методологии статистической науки (ряды распределения, теория корреляции).

В XX в. появилась математическая статистика, обладающая универсальными методами сбора, хранения, обработки информации для выработки различных прогнозов.   По словам английского статистика  Р. Фишера: «Статистика может быть охарактеризована как наука о сокращении и анализе материала, полученного в наблюдениях».         

  Так же необходимо отметить, что сначала  возникли демографическая статистика, медицинская статистика, экономическая статистика,  потом – метеорологическая, биологическая, финансовая, налоговая и т.д.

В настоящее время существуют такие виды статистик, как

ü  Математическая статистика

ü  Статистика экономическая

ü  Статистическая физика

ü  Статистическая оценка

ü  Статистическая проверка гипотез

ü  Статистически определимая система

ü  Статистически неопределимая система

ü  Статистическое наблюдение

ü  Статистический вес

ü  Статистический ансамбль

ü  Статистическая термодинамика

2.2. Статистические характеристики.

Статистика - это научное направление,  объединяющее принципы и методы работы с числовыми данными, характеризующими массовые явления.

Статистика - это отрасль практической деятельности, направленной на сбор, обработку и анализ статистических данных.

Статистика - это совокупность статистических данных, характеризующих какое-нибудь явление или процесс.

Математическая статистика – это раздел  математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений случайных массовых явлений с целью выявления существующих закономерностей.

           Для изучения различных общественных и социально-экономических явлений, а также  некоторых процессов, происходящих в природе, проводятся статистические исследования. Всякое   статистическое исследование  начинается с  целенаправленного сбора информации об изучаемом явлении или процессе. Этот этап  называется этапом статистического наблюдения. Полученные результаты обрабатываются и оформляются в виде таблицы, диаграммы или графика. При проведении статистического исследования после сбора и группировки данных переходят к анализу, используя для этого различные обобщающие  показатели. Простейшими  из них являются  такие известные характеристики как среднее арифметическое, мода, медиана, размах.

          2.2.1.   Таблица.

           Для обобщения и систематизации данных, полученных в результате статистического  наблюдения, их по  какому-либо признаку разбивают на группы, и результаты  группировки сводятся  в таблицы.

 Пример.

 Пусть в ходе  проверки знаний учащихся 9-ых классов  по математике  был составлен тест, содержащий  10 заданий. При проверке каждой работы  учитель отмечал  количество  заданий, верно выполненных учащимися. Каждое задание оценивалось в один балл.  Получилось два ряда чисел:

9 А  класс:  8; 7; 2; 5; 3; 9; 8; 7; 7; 10; 3; 6; 5; 8; 8; 10; 9; 4; 10; 7; 9; 2;  7; 9; 6

9 Б  класс:   8; 7; 8; 6; 9; 9; 7; 8; 7; 9; 9; 6; 5; 8; 7; 10; 9; 10; 10; 7; 8; 9; 7; 9; 9

        Ряд чисел, полученный в результате статистического исследования, называется статистической выборкой или просто  выборкой, а каждое число  этого ряда – вариантой выборки. Количество чисел в ряду  называют объемом выборки (в нашем случае  объем выборки равен 25).           

       Запись результатов  наблюдений  в таком виде   мало  наглядна, занимает  много места, и из нее   трудно   делать выводы. Это особенно важно, когда число наблюдений велико и достигает  многих сотен, а то и тысяч.  Для этого  полученные данные  представляют в виде  таблицы.

Имея только  две выборки, трудно   сравнить  успешность  выполнения заданий   теста  учащимися  этих двух классов  или получить  какую- либо другую информацию.

2.2.2.  Диаграмма и гистограмма.

а) Диаграмма — изображение, наглядно показывающее соотношение между различными количествами или между значениями одной и той же величины в разные моменты времени.

Пример.

Распределение оценок по алгебре за I четверть в 9 “а” классе (%)?

б) Гистограмма (от греч. histos, здесь — столб и …грамма), столбчатая диаграмма, один из видов графического изображения статистического распределении каких-либо величин по количественному признаку.

Пример.

Сравним успеваемость по алгебре в I и во II четвертях.

     2.2.3. График.

График, геометрическое изображение функциональной зависимости при помощи линии на плоскости.

Пример.

 Какова стабильность получаемой оценки, на примере одного из учеников класса?

Конечно, исходя из данного примера, нельзя сказать, что именно у всех учащихся 9 «а» класса  успеваемость в четверти подчинена такой функциональной зависимости, так как рассмотрен лишь частный случай.

   2.3. Среднее арифметическое.

2.3.1.  Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество.

2.3.2.  Средним арифметическим выборки называется  частное суммы  всех  вариант выборки и  количества  вариант.

        Найдем средний балл, который получили учащиеся  9 А  и 9 Б классов  в отдельности  при выполнении  задания.

Для  9 А класса.:  == 8,04

Для 9 Б  класса:   =  = 6,76         Теперь, зная средние баллы учащихся  8 А  и  8 Б классов, можно сделать выводы, что  учащиеся 8 А класса   в целом написали тест лучше, поскольку  8,04 >  6,76. 

Но не всегда вычисление среднего арифметического дает полезную информацию. Например, нецелесообразно в качестве обобщающего показателя использовать средний размер обуви, который носят учащиеся школы.

2.4.    Размах.

      Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел. 

       Приведенные таблицы позволяют сделать  еще  несколько полезных выводов  о проведенном тестировании. Для первой выборки  (результаты учащихся 9 А класса)  наименьший полученный  балл равен 5, наибольший – 10. Результаты  всех учащихся класса располагаются  между этими числами.   Размах  выборки равен: 10 – 5 = 5.

         Для второй выборки  (результаты учащихся 9Б класса) наименьшая варианта равна 5, наибольшая 10.  Размах выборки равен: 10 – 2 = 8.

         Это может означать, что в 9 А классе собраны учащиеся, знания которых отличаются на небольшую величину, то есть класс по знаниям  «более ровный».     

Размах  выборки находят  в том  случае, когда  существенным для  исследования является величина разброса данных в ряду.

2.5.    Мода.

        При анализе сведений о  заданиях, выполненных  учениками, нас могут интересовать и другие показатели. Интересно, например, знать, какое количество   заданий  является типичным для  каждого класса, т. е. какое число встречается в ряду данных чаще всего.  Имея данные о выполнении заданий учащимися  в таком виде,

9 А  класс:   8; 7; 2; 5; 3; 9; 8; 7; 7; 10; 3; 6; 5; 8; 8; 10; 9; 4; 10; 7; 9; 2; 7; 9; 6

9 Б  класс:   8; 7; 8; 6; 9; 9; 7; 8; 7; 9; 9; 6; 5; 8; 7; 10; 9; 10; 10; 7; 8; 9; 7; 9; 9

ответить на этот вопрос трудно.

        Поэтому  расположим  числа  каждого  ряда  следующим образом:

Для 9 А кл.: 2; 2; 3; 3; 4; 5; 5;  6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8;  9; 9; 9; 9; 10; 10;10

Для 9 Б кл.: 5; 6; 6;  7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9;10; 10; 10

Теперь нетрудно заметить, что таким числом в первом ряду является 7, а во втором - 9.    Эти числа являются модой выборки.

Варианта выборки, имеющая наибольшую частоту, является  модой выборки.            Модой обычно  называют число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто.

         Моду ряда данных обычно находят тогда, когда хотят выявить некоторый типичный показатель.  Ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь моды совсем.

2.6.    Медиана.

       Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом  членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Мы  имеем  следующие упорядоченные ряды: 

Для 9 А кл.: 2; 2; 3; 3; 4;5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 9; 10; 10; 10

Для 9 Б кл.: 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7;  8; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 10;10; 10

 В  этих  рядах   расположено 25 чисел  в каждом.  Нетрудно заметить, что в середине  первого ряда расположено число 7, а в середине второго – 8. Говорят, что  числа 7 и 8 являются срединными, или иначе медианами. Они будут считаться также  медианой исходного ряда данных.

          Найденные значения характеризует средний показатель ряда. Именно это число  может помочь учителю определить фамилии учеников, показавших лучшие знания по проверяемой теме.

III. Исследование.

3.1. Анализ успеваемости учащихся 9 А в I четверти по предмету алгебра.

1.      Среднее арифметическое (средняя оценка класса) равно 3,69.

( 5*23 + 4*43 + 3*47 +2*6) / 119 = 3,69

2.      Мода равна 3.

Наибольшее количество оценок – это «3».

3.      Размах равен 3.

Наивысшая оценка – «5», самая низкая оценка – «2». Находим разность между ними:  5 – 2 = 3.

4.      Медиана равна 3.

Число оценок – нечетное, поэтому  119/2=59,5.

На  номере 59,5 стоит оценка «4», являющаяся медианой.

5,…,5,4,…,4,3,…,3,…,3,2,…2.

Необходимо отметить, что для обработки данных об успеваемости класса мною была разработана программа на вычислительном языке программирования «фортран» при содействии студента НГТУ. Подробно с ней вы сможете ознакомиться в приложении № 1.

3.2. Анкетирование.

На вопросы анкет ответили 21 человек из класса. Цель анкетирования заключалась в том, чтобы наглядно показать ее применение и значимость, анкета – это один из самых распространенных способов сбора информации в статистике. Ведь собранные мною и обработанные данные могут вполне оказаться полезны классному руководителю и не только.

Анкета № 1.

№	Вопрос с выбором ответа
1	С каким настроением вы выполняете домашнее задание?
	а)  мне  нужны знания в будущем	4
	б) с интересом	4
	в) с чувством долга перед родителями	9
	г) так принято	4
2	Как вы выполняете домашнее задание?
	а)  легко	4
	б)  больше делаю по собственной инициативе	6
	в) с большим трудом	7
	г) чаще не выполняю	4
3	Сколько времени вы тратите на выполнение домашнего задания  в день?
	а) 1 час	8
	б) 2 часа	7
	в) 3 часа	5
	г) до 1 часа	1
	д) все свободное время
4	На подготовку  заданий,  по каким предметам вы тратите больше   всего времени?
	а) математика или физика	7
	б) биология или география	2
	в) русский язык или литература или история	14
	г) иностранный язык	1
5	Как контролируют родители вашу учебу?
	а)  проверяют тетради и дневник каждый день	6
	б) проверяют тетради и дневник один раз в неделю (месяц)	10
	в) узнают об оценках на родительских собраниях	5
6	Кто помогает вам выполнять домашнее задание?
	а)  делаю самостоятельно	8
	б) родители	7
	в) знакомые	1
	г) одноклассники	2
	д) списываю у одноклассников	5
7	Причины, по которым вы не выполняете домашнее задание?
	а) не знаю, как выполнять	16
	б) нет условий	0
	в) лень	1
	г) не хватает времени	3
	не дал ответа	1

Анкета № 2

№	Вид деятельности	Ежедневно	Несколько раз в неделю	Очень редко или никогда
	Читаю газеты, журналы, книги, художественную литературу	3	9	9
	Смотрю телевизор	14	5	2
	Хожу домой к друзьям	5	11	5
	Хожу в гости к родным	4	13	4
	Играю на компьютере в игры	13	3	5
	Занимаюсь самообразованием с помощью компьютера	6	9	6
	Занимаюсь общественной работой	4	10	7
	Занимаюсь спортом	11	6	4
	Занимаюсь дома любимым делом	13	6	2
	Занимаюсь в кружках	3	7	11
	Люблю что-нибудь изготавливать своими руками	7	10	4
	Ухаживаю за животными	11	3	7
	Помогаю родителям	20	1	0
	Провожу время без всякой цели	4	8	9
	Всё свободное время учу уроки	2	10	9
	Гуляю на улице с друзьями	4	11	6
	Люблю спать днем	5	2	14
	Вечером ложусь спать поздно	11	3	7

Анализируя выше приведенные данные, можно соотнести между собой:

1) режим дня ученика, его способности, интересы, мотивы к учебе, прикладываемые усилия к достижению цели (если она есть), занятость в течение дня, причины ежедневного невыполнения домашнего задании;

2) контроль и помощь родителей в образовании и воспитании своих детей; вовлечение их в получение дополнительного образования в свободное от уроков время, в домашние дела.

IV. Заключение

В ходе работы, по моему мнению, осуществлены все поставленные задачи. При проведении своей  работы мне удалось более подробно познакомить с математической статистикой и ее характеристиками.

Необходимо отметить, что практическая значимость работы заключается в том, что классные руководители  любых  классов  могут воспользоваться   основными статистическими характеристиками, анкетами, таблицами, диаграммами и  т. д.  для дальнейшего планирования воспитательной работы с детьми с целью повышения мотивации их обучения в школе, а также при проведении родительских собраний . Также данная работа может быть предназначена в помощь учителю при изучении темы  «Статистические характеристики».

И, конечно же, при обработке статистических характеристик: мода, медиана, и т.д. воспользоваться программой специально разработанной для вычисления данных характеристик. 

V. Список литературы.

1.      Бродский Я. «Об  изучении элементов комбинаторики, вероятности, статистики в школе»/  «Математика». Приложение к газете «Первое сентября»,  № 31- 2004.

2.      Бунимович Е.А., Булычев В.А.  Вероятность и статистика. М., «Дрофа», 2002.

3.      Бунимович Е.А., Булычев В.А.  Основы статистики и вероятность. М., «Дрофа», 2004.

4.      Бутузов В.Ф., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. и др. Математика: учебное пособие для  11  классов  общеобразовательных   учреждений /  -  М.: Просвещение, 1996.

5.      Иванова В.М., Калинина В.М., Нешумова В.Н.и др. « Математическая статистика»: учебник – 2-е изд. – М.: Высшая школа , 1981.

6.      Климанова Л.Ф. –  «Обучение чтению в начальных классах» /«Начальная школа», № 9 – 1999.

7.      Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., под редакцией Теляковского С.А.  Алгебра: «Элементы статистики и теории вероятностей». Учебное  пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных  учреждений  - 4-е изд.,/ - М.: Просвещение, 2006.

8.      Минаева С. «Решать задачи становится интереснее»/ «Математика».  Приложение к газете «Первое сентября»,  № 8- 2007.

9.      Мордкович А.Г., Семенов П.В. « События. Вероятности. Статистическая обработка данных»:  Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9 классов общеобразовательных учреждений – 3-е изд. – М.Мнемозина, 2005.

10.  Савин А.П.  Энциклопедический словарь юного математика – М.: Педагогика, 1985.

11.  Ткачева М.В. Домашняя математика: Книга для учащихся 8 классов общеобразовательных учебных  заведений  - М.: Просвещение, 1994.

12. Феоктистов И.   «Антиманипулятор» для сознания: статистика как учебный

    предмет»/ «Математика».  Приложение к газете «Первое сентября»,  №15,17- 2005 г.

Приложение №1

Фортран (Fortran) — первый язык программирования высокого уровня, имеющий транслятор. Создан в период с 1954 по 1957 год группой программистов под руководством Джона Бэкуса в корпорации IBM. Название Fortran является акронимом от FORmula TRANslator (переводчик формул). Фортран широко используется в первую очередь для научных и инженерных вычислений.

Входные данные: ввод с клавиатуры: количество оценок “5”, “4”, “3”, “2”, количество оценок всего, затем выбор из меню, что необходимо рассчитать.

Текст программы:

     program main // основная подпрограмма

      print,'enter kol-vo 5:'

      read, a

      print, 'enter kol-vo 4:'

      read, b

      print, 'enter kol-vo 3:'

      read, c

      print, 'enter kol-vo 2:'

      read, d

      print, 'enter kol-vo vsego:'

      read, s

11      print, 'enter 1-srednee'

      print, 'enter 2-moda'

      print, 'enter 3-mediana'

      print, 'enter 0-exit'

      read,ii

      if(ii.eq.1)then

      ss=sred(a,b,c,d,s)

      print *,ss

      goto 11

      else

      endif

      if(ii.eq.2)then

      mod=moda(a,b,c,d)

      print *,mod

      goto 11

      else

      endif

      if(ii.eq.3)then

      sm=smediana(s)

      print *,sm

      goto 11

      else

      endif

      if(ii.eq.4)then

      goto 12

      else

      endif

12    end

      function sred(a,b,c,d,s) // функция для расчета среднеарифметического

      sred=(5*a+b*4+c*3+d*2)/s

      end

      function moda(a,b,c,d) //функция для расчета моды

      dimension AA(4,2)

      AA(1,1)=a

      AA(1,2)=5

      AA(2,1)=b

      AA(2,2)=4

      AA(3,1)=c

      AA(3,2)=3

      AA(4,1)=d

      AA(4,2)=2

      max=aa(1,1)

      ij=aa(1,2)

       do i=2,4

       if(max.lt.AA(i,1))then

       max=AA(i,1)

       ij=AA(i,2)

       else

       endif

       enddo

       moda=ij

      end

      function smediana(s) //функция для расчета медианы

      smediana=s/2.0

      end

Пример работы программы:

Краткое описание документа:

В нашу жизнь прочно вошли референдумы, социологические опросы, кредиты, разнообразные банковские начисления и т.п. Современная математика, демография, социология, философия, весь комплекс социально-экономических наук развивается на вероятностно-статистической базе. Вероятностно-статистические законы стали и основой описания научной картины мира. Так же изучению математической статистики в школе стали уделять большое внимание. Имеющиеся учебники по математике 5-11 классов содержат изложение материала, связанного со статистикой. Данная тема меня заинтересовала тем, что при изучении данного раздела математики, формируются умения первичной обработки статистических данных, изображения и анализ количественной информации, представленной в разных формах (в виде таблиц, диаграмм, графиков реальных зависимостей), формирование представлений о важных статистических идеях, формирование умений сравнивать вероятности наступления случайных событий с результатами конкретных экспериментов.