Итоговая контрольная работа по математике для студентов второго курса СПО

Управление образования и науки Липецкой области                      ГОБПОУ «Липецкий машиностроительный колледж»

УТВЕРЖДАЮ Заместитель директора по учебной работе __________________  / _____________/ «_____» ____________________20__г.

МЕТОДИЧЕСКИЕ

УКАЗАНИЯ

к контрольной работе

по дисциплине «МАТЕМАТИКА»

 

для студентов 2 курса

специальностей:

·         Монтаж и эксплуатация оборудования и систем газоснабжения;

 

 

2016-03-30

 

 

 

 

 

Методические указания к контрольной работе по дисциплине «Математика» для студентов 2 курса

Методические указания созданы в помощь студентам 2 курса специальностей «Монтаж и эксплуатация оборудования и систем газоснабжения». В данном пособии указаны основные требования, предъявляемые к оформлению и выполнению контрольной работы. Даны задания по вариантам для студентов, представлены примеры решения типовых задач, указана рекомендуемая литература и вопросы для самостоятельного изучения.

 

СОДЕРЖАНИЕ

1.       СОДЕРЖАНИЕ. 3

2.       ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.. 4

3.       РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. 6

4.       ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ.. 14

5.       РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.. 20

 

Номера задач каждого варианта приведены в таблице:

Вариант	Номера заданий
1	1	11	21	31	41	51	61	71	81		91
2	2	12	22	32	42	52	62	72	82		92
3	3	13	23	33	43	53	63	73	83		93
4	4	14	24	34	44	54	64	74	84		94
5	5	15	25	35	45	55	65	75	85		95
6	6	16	26	36	46	56	66	76	86		96
7	7	17	27	37	47	57	67	77	87		97
8	8	18	28	38	48	58	68	78	88		98
9	9	19	29	39	49	59	69	79	89		99
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90		100

Вопросы:

1.     Определение предела.  Теоремы о вычислении пределов.

2.     Правила вычисления пределов. I замечательный предел.

3.     Избавление от неопределенностей вида , .

4.     Производная. Формулы дифференцирования.

5.     Правила дифференцирования.

6.     Дифференцирование сложной функции.

7.     Производные I и II порядков, их приложение.

8.     Схема исследования функции с помощью производной.

9.     Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

10. Формулы интегрирования.

11. Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод замены переменной.

12. Площадь криволинейной трапеции.

13. Дифференциальное уравнение. Определение. Общее и частное решение.

14. Однородное дифференциальное уравнение I порядка.

15. Линейное однородное дифференциальное уравнение II порядка с постоянными коэффициентами.

16. Случайная величина. Закон распределения случайной величины.

17. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ

Упражнение 1. Найти указанные пределы.

Решение:

1)   

2)     

При подстановке вместо переменно х ее предельного значения 3 получается неопределенность вида . Для избавления от этого типа неопределенности в этом случае представим квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведения линейных множителей, воспользовавшись известной формулой  , где - корни квадратного трехчлена . У нас , т.к. дискриминант квадратного трехчлена , а следовательно,  .

Аналогично .

Теперь условие примера можно переписать а другом виде и продолжить решение:

.

3)    .

Здесь сталкиваемся с неопределенностью вида , избавиться от которой можно вынесением за скобки в числителе и знаменателе дроби старшей степени переменной: .

4)    .

В данном случае для освобождения от возникшей неопределенности вида будем использовать I замечательный предел и одно из его очевидных следствий:

.

Решение примера будет выглядеть следующим образом:

Упражнение  2. Найти производные, пользуясь правилами и формулами дифференцирования.

Решение:

Кроме формул дифференцирования нужно использовать правила дифференцирования (суммы, разности, произведения, частного).

Необходима и теорема о производной сложной функции:

если задана сложная функция , где , то есть ; если каждая из функций  и  дифференцируема по своему аргументу, то

.

1)    , ,

.

2)    ,

3)   

4)   

Упражнение  3. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и начертить график.

Исследование функции и построение графика рекомендуется проводить по следующей схеме:

1)    найти область определения функции D(y);

2)    найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности;

3)    найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;

4)    найти асимптоты графика функции;

5)     построить график, используя результаты предыдущих исследований;

6)    дополнительно найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке .

Решение:

Дана функция:

1)    Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть D(y): , а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и график ее не имеет вертикальных асимптот.

2)    Исследуем функцию на экстремум и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем  к нулю:

Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки I рода х₁ = -5, х₂ = -1. Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:

x		-5		-1
	+	0	-	0	+
	&	max	(	min	&

3)    Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем II производную заданной функции и приравняем ее к нулю:

, т.е.

Итак, функция имеет одну критическую точку 2 рода . Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которой установим знак II производной:

x		-3
	-	0	+
		т.п.

Значение  является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки

4)    Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты  воспользуемся формулами: .

Имеем .

Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.

5)    Для построения графика в выбранной системе координат изобразим точки максимума А₁(-5; 4), минимума А₂(-1; -4),  перегиба А₃ (-3; 0) и точку пересечения графика с осью Оу А₄ (0; ). С учетом результатов предыдущих исследований построим кривую.

6)    Найдем наибольшее и наименьшее значения заданной функции на отрезке  . Для этого посчитаем значения функции на концах этого отрезка, в критических точках I рода, попавших на отрезок, и сравним результаты:

 .

Очевидно, что .

Упражнение  4. Задан закон s(t) изменения пути движения материальной точки; нужно найти значения скорости и ускорения этой точки в момент времени t₀.

Решение:

Пусть .

Известно, что значения скорости и ускорения материальной точки в некоторый момент времени являются соответственно значениями в этот момент I и II производных функции, задающей закон изменения пути движения точки.

У нас

(ед. ск.)

(ед. уск.)

Упражнение  5.  Найти неопределенные интегралы

а) способом подстановки (методом замена переменной) , ;

б) применяя метод интегрирования по частям , .

Решение:

а) : применим подстановку . Тогда  и

: применим подстановку . Тогда ,

, откуда

б)  : применим формулу интегрирования по частям .

Положим . Тогда .

Следовательно, .

: положим . Тогда .

Отсюда . Применяя в последнем интеграле подстановку , получаем , следовательно, .

Отсюда .

Упражнение  6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную параболами.

Решение:

Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений: .

Решаем полученное квадратное уравнение:

.

Вычисление площади фигуры осуществляем по формуле , где - кривые, ограничивающие фигуру .

В нашем случае (кв. ед.)

Упражнение  7. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения I порядка .

Решение:

Правая часть уравнения  обладает свойством . Поэтому заданное уравнение является однородным дифференциальным уравнением I порядка. Совершим замену , где - некоторая функция от аргумента х. Отсюда . Исходное уравнение приобретает вид .

Продолжаем преобразования: ; .

Производим разделение переменных: .

После интегрирования обеих частей уравнения получаем

;

.

Таким образом ; .

Потенцируя, находим  или ; .

Итак, общий интеграл исходного уравнения приобретает вид

, где С – произвольная постоянная.

Упражнение  8. Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами:

а)

б)

в)

Решение:

а) Для заданного дифференциального уравнения составим соответствующее характеристическое уравнение по принципу: . Решаем полученное квадратное уравнение и получаем два вещественных разных корня .

Т.к. , то общее решение данных уравнений записывается в виде . В нашем случае , где - произвольные постоянные.

Отсюда , .

Используя начальные условия : , т.е. .

Из того что  следует , т.е. , .

Решая систему уравнений , получаем .

Теперь в наше общее решение  подставим найденные значения . Частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, приобретает вид .

б) Для заданного дифференциального уравнения составим соответствующее характеристическое уравнение по принципу: . Решаем полученное квадратное уравнение и получаем два равных вещественных корня .

Т.к. , то общее решение данных уравнений записывается в виде . В нашем случае , где - произвольные постоянные.

Отсюда , .

Учитывая начальные условия, получаем систему уравнений для определения : . Решая систему, получаем .

Искомое частное решение имеет вид:

в) Для заданного дифференциального уравнения  составим соответствующее характеристическое уравнение . Решая это уравнение, убеждаем, что оно не имеет вещественных корней.

В этом случае общее решение соответствующего дифференциального уравнения записывается в виде , где  - коэффициенты характеристического уравнения).

У нас  поэтому общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид .

  Отсюда .

Таким образом, для определения значений   исходя из начальных условий, получаем систему уравнений ,

решая которую имеем .

Итак, искомое частное решение приобретает вид

Упражнение  9.  Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных  значения х₁ и х₂ , причем х₁ < х₂. Найти закон распределения величины Х, если известно, что математическое ожидание М (х) = 1,4, дисперсия D (х) = 0,24 и вероятность р₁ того, что Х примет значение  х₁, равна 0,6.

Решение:

Так как сумма вероятностей всех возможных значений Х равна 1, то вероятность p₂ того, что Х примет значение х₂, равна p₂ = 1 - p₁ = 1 – 0,6 = 0,4.

Напишем закон распределения Х:

Х	х1	х2
p	0,6	0,4

Для отыскания х₁ и х₂ составим два уравнения.

Для составления первого уравнения воспользуемся тем, что математическое ожидание

M(x) определяется по формуле M(x) = х₁ р₁ + х₂ р₂ + … + х_n р_n

В нашем случае: M(x) = х₁ р₁ + х₂ р₂

Учитывая, что по условию M(x) = 1,4, можем записать первое уравнение:

0,6х₁ + 0,4х₂ = 1,4.

Учитывая, что по условию D(x) = 0,24, пользуясь формулой D (х) = M (X²) – [M(X)]², напишем второе уравнение:

0,6 х₁²  + 0,4 х₂²  - 1,4² = 0,24, или

0,6 х₁²  + 0,4 х₂²  = 2,2.

Решив полученную систему уравнений, найдем два решения:

х₁ = 1, х₂ = 2 и х₁ = 1,8, х₂ = 0,8.

По условию, х₁ < х₂, поэтому задаче удовлетворяет лишь первое решение.

Окончательно получим искомый закон распределения:

Х	1	2
p	0,6	0,4

Упражнение 10. Найти решение системы линейных уравнений:

а) методом Крамера

б) методом Гаусса

Решение:

Метод Крамера

     

    

       

Проверка:

                         Ответ: x=0,5;  y=2; z=1,5 .

Метод Гаусса

                                    x₁ –  2x₂ +  x₃ +   x₄ = –1;

                                  3x₁ + 2x₂ – 3x₃ – 4x₄ = 2;

                                  2x₁ –   x₂ + 2x₃ – 3x₄ = 9;   

                                    x₁ + 3x₂ – 3x₃ –   x₄ = –1.

Решение: Составим матрицу В и преобразуем ее. Для удобства вычислений отделим вертикальной чертой столбец, состоящий из свободных членов:

                                          1    –2     1     1    –1

                           B =        3      2   –3   –4      2 

                                         2    –1     2   –3      9

                                         1      3   –3   –1    –1

 Умножим первую строку матрицы В последовательно на 3, 2 и 1 и вычтем соответственно из второй, третьей и четвертой строк. Получим матрицу, эквивалентную исходной:

                                          1    –2     1     1    –1

                                          0      8   –6   –7      5

                                          0      3     0   –5    11

                                          0      5   –4   –2      0

Третью строку матрицы умножим на 3 и вычтем ее из второй строки. Затем новую вторую строку умножим на 3 и на 5 и вычтем из третьей и четвертой строк. Получим матрицу, эквивалентную исходной:

 

                                        1    –2      1     1    –1

                                        0    –1    –6     8    –28  

                                        0      0    –1     0    –3

                                        0      0      0   19    –19       

Из коэффициентов последней матрицы составим систему, равносильную исходной:

                                            x₁ – 2x₂ +   x₃ +    x₄ =  –1;

–        X₂   – 6x₃ + 8x₄  = –28;

            – x₃                 = –3;

                     19x₄  = –19.

Решим полученную систему методом подстановки, двигаясь последовательно от последнего уравнения к первому. Из четвертого уравнения  x₄ = –1, из третьего х₃ = 3. Подставив значения х₃ и x₄ во второе уравнение, найдем x₂ = 2. Подставив значения x₂, x₃, x₄ в первое уравнение, найдем x₁ = 1.

               Ответ. (1; 2; 3;-1).

ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

В задачах 1-10 найти указанные пределы:

№ 1.

1)    ;    а) х₀ = 2;     б) х₀ = - 1;   в) х₀ = ¥     2).

№ 2.

1)    ;      а) х₀ = - 1;   б) х₀ = 1;     в) х₀ = ¥     2).

№ 3.

1)    ; а) х₀ = 2;     б) х₀ = - 2;   в) х₀ = ¥     2).

№ 4.

1)    ;      а) х₀ = 1;     б) х₀ = 2;     в) х₀ = ¥     2).

№ 5.

1)    ; а) х₀ = - 2;   б) х₀ = - 1;   в) х₀ = ¥     2).

№ 6.

1)    ;          а) х₀ = - 1;   б) х₀ = 1;     в) х₀ = ¥     2).

№ 7.

1)    ;          а) х₀ = 2;     б) х₀ = - 2;   в) х₀ = ¥     2).

№ 8.

1)  ; а) х₀ = 1;     б) х₀ = 2;     в) х₀ = ¥     2).

№ 9.

1)    ;    а) х₀ = - 2;   б) х₀ = - 1;   в) х₀ = ¥     2).

№ 10.

1)    ; а) х₀ = - 1;   б) х₀ = 1;     в) х₀ = ¥     2).

В задачах 11-20 найти производные, пользуясь правилами и формулами дифференцирования:

№ 11.

          а).    

         б).    

         в).    

          г).    

№ 12.

          а).    

         б).    

         в).    

          г).    

№ 13.

          а).    

         б).    

         в).    

          г).    

№ 14.

          а).    

         б).    

         в).    

          г).    

№ 15.

          а).    

         б).    

         в).    

          г).    

№ 16.

          а).    

         б).    

         в).    

          г).    

№ 17.

          а).    

         б).    

         в).    

          г).    

№ 18.

          а).    

         б).    

         в).    

          г).    

№ 19.

          а).    

         б).    

         в).    

          г).    

№ 20.

          а).    

         б).    

         в).    

          г).    

В задачах 21-30 исследовать функцию методами дифференциального исчисления и начертить график:

№  21

№  22

№ 23

№  24

№ 25

№ 26

№ 27

№ 28

№ 29

№ 30

В задачах 31-40 задан закон s(t) изменения пути движения материальной точки; нужно найти значения скорости и ускорения этой точки в момент времени t₀:

№ 31

№ 32

№ 33

№ 34

№ 35

№36

№ 37

№ 38

№ 39

№ 40

В задачах 41-50 найти неопределенные интегралы

а) способом подстановки (методом замены переменной),

б) применяя метод интегрирования по частям:

№ 41

а)

б)

№ 42

а)

б)

№ 43

а)

б)

№ 44

а)

б)

№ 45

а)

б)

№ 46

а)

б)

№ 47

а)

б)

№ 48

а)

б)

№ 49

а)

б)

№ 50

а)

б)

В задачах 51-60 вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную параболами:

№ 51

№ 52

№ 53

№ 54

№ 55

№ 56

№ 57

№ 58

№ 59

№ 60

В задачах 61-70 найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения I порядка:

№ 61

№ 62

№ 63

№ 64

№ 65

№ 66

№ 67

№ 68

№ 69

№ 70

В задачах 71-80 найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами:

№ 71

№ 72

№ 73

№ 74

№ 75

№ 76

№ 77

№ 78

№ 79

№ 80

В задачах 81-90 найти закон распределения дискретной случайной величины, если известно, что: дискретная случайная величина Х может принимать только два значения х₁ и х₂ , причем х₁ < х₂; известна вероятность р₁ возможного значения х₁, математическое ожидание М (х) и дисперсия D (х):

№ 81

p₁ = 0,1;               M(x) = 3,9;          D(x) = 0,09;

№ 82

p₁ = 0,3;               M(x) = 3,7;          D(x) = 0,21;

№ 83

p₁ = 0,5;               M(x) = 3,5;          D(x) = 0,25;

№ 84

p₁ = 0,7;               M(x) = 3,3;          D(x) = 0,21;

№ 85

p₁ = 0,9;               M(x) = 3,1;          D(x) = 0,09;

№ 86

p₁ = 0,9;               M(x) = 2,2;          D(x) = 0,36;

№ 87

p₁ = 0,8;               M(x) = 3,2;          D(x) = 0,16;

№ 88

p₁ = 0,6;               M(x) = 3,4;          D(x) = 0,24;

№ 89

p₁ = 0,4;               M(x) = 3,6;          D(x) = 0,24;

№ 90

p₁ = 0,2;               M(x) = 3,8;           D(x) = 0,16.

В заданиях 91-100 решить системы уравнений :

а) методом Крамера

б) методом Гаусса:

№ 91                         №96

№92                            №97

№93                             №98

№94                          №99

№ 95                         №100

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.     Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов. - М.: Дрофа, 2006. - 395 с.

2.     Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высш. шк., 2002. - 495 с.

3.     Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. - М.: Дрофа, 2003. - 208 с.

4.     Валуцэ И.И. Математика для техникумов. – М.: Наука. Гл. ред. Физ.мат. лит., 1990 – 576 с.: ил.

5.     Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2. - М.: ООО "Издательство Оникс", 2006. - 416 с.

6.     Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов - М.: ЮНИТИ, 2002. - 471 с.

7.     Пехлецкий И.Д. Математика. - М.: Издательский центр "Академия", 2002. - 304 с.

8.     Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов. - М.: ООО "Издательский дом "ОНИКС 21 век", 2003. - 464 с.