Министерство образования и науки Самарской области
Государственное автономное образовательное учреждение дополнительного
профессионального образования (повышения квалификации) специалистов
САМАРСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ
И ПЕРЕПОДГОТОВКИ РАБОТНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ
Итоговая
работа
на
курсах повышения квалификации
«Проектирование
многоуровневой системы задач по теме «Задачи на движение, работу, концентрацию»
(27.01
- 14.02.2014г.)
по теме:
Выполнила:
Гаврилина Жанна Юрьевна,
учитель математики
ГБОУ СОШ № 26
г. Сызрань
Самарской области
Сызрань, 2014
г.
Пояснительная записка
1. ФИО Гаврилина Жанна Юрьевна
2. Место работы Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
Самарской
области средняя общеобразовательная школа №26
г.Сызрани
3. Должность учитель математики
4. Предмет математика
5. Класс 9
6. Базовый
учебник Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков,
С.Б.Суворова .
Алгебра: Учебник
для 9 класса общеобразовательных
учреждений
- М.:Просвещение, 2009
Текстовые задачи широко представлены в
школьном курсе математики, включены в тексты итоговой аттестации в 9 и в 11
классах. Но по данным статистической обработки результатов ЕГЭ, текстовые
задачи вызывают трудности не только у слабых, но и у более подготовленных
учащихся. Для успешного решения текстовых задач не требуется обладать знаниями,
выходящими за рамки школьной программы, но тем не менее многих учащихся эта
тема ставит в тупик. В связи с этим возникает необходимость создания системы
многоуровневых задач по этой теме.
Цель работы: сформирование у учащихся умений
составлять математическую модель по тексту задачи, составлять уравнение,
сопоставлять с ранее изученным.
На каждом этапе решения задач с параметром
формируются универсальные учебные действия.
Этапы решения задачи
|
Формируемые УУД
|
Анализ условий
|
Целеполагание, выделение существенной
информации, прогнозирование способа решения, аналогия, классификация,
знакосимволические действия.
|
Схематическая запись условия
|
Планирование, систематизация, моделирование.
|
Составление математической модели
|
Корректировка условия, моделирование в
графическом виде, создание способа решения задачи.
|
Решение математической модели
|
Анализ и выявление существенной информации,
выделение следствий, построение цепи рассуждений, выдвижение и проверка
гипотезы, преобразование модели.
|
Интерпретация модели
|
Анализ, выделение следствий, конкретизация.
|
Исследование задачи
|
Поиск аналогов, умение передать содержание,
создание способов решения проблем, умение применять схемы, анализ и синтез.
|
Рефлексия
|
Самооценка, самоанализ, готовность к
саморазвитию, умение определить цели, ставить и формулировать для себя новые
задачи, развивать мотивы и интересы своей познавательной деятельности.
|
Ниже приводится многоуровневая система задач
по решению и исследованию текстовых задач на движение, работу, концентрацию.
Данная система задач включает в себя задачи трёх уровне: базовые,
модифицированные и исследовательские.
Базовые задачи.
1. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 30
км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час
автомобилист проезжает на 80 км больше, чем велосипедист. Определите скорость
велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2ч 40 мин позже
автомобилиста. Ответ дайте в км/ч. (Вар 8, 30 вар, 2012)
2. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 240
км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения,
если скорость теплохода в неподвижной воде равна 16
км/ч, стоянка длится 8 ч, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40
часов после отплытия из него.
Решение.
Пусть х км/ч – скорость течения реки,
собственная скорость теплохода 16 км/ч. Тогда скорость по течению равна (16 +
х) км/ч, против течения (16 – х) км/ч. По условию задачи расстояние до пункта
назначения равно 240 км, тогда время, затраченное на путь по течению часов, против течения: часов.
Составим уравнение с учётом стоянки:
Освобождаясь от знаменателя, получим:
240(16 – х) + 240(16 + х) = 32(162
– х2)
Разделим обе части уравнения на 8, упрощая
получим
х2 - 16 = 0, х = -4; 4.
Отрицательное значение не удовлетворяет условию задачи.
Ответ. 4
км/ч.
3. Заказ на 224 детали первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем
второй. Сколько
деталей в
часделает второй рабочий, если известно, что
первый за час делает на 2 детали
больше?
Решение.
Пусть второй рабочий за 1 час делает х деталей, тогда первый (х + 2)
детали. По условию
задачи
рабочие выполняют по 224 детали, первый на всю работу тратит ч, а второй
ч.
Составим
уравнение:
Избавляясь
от знаменателя, получим:
224(х + 2) –
224х – 2х(х + 2) = 0
Раскроем
скобки, приведём подобные слагаемые.
Х2
+ 2х – 224 = 0, х1 = - 16 (не удовл. усл.), х2 =
14
Ответ. 14
деталей.
4. Смешали 14 литров 30% водного раствора с 10 литрами 18%-ного раствора
этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося
раствора? (Лыс. 2013, Вар 24)
Решение.
- количество вещества в
1 и 2 растворах соответственно.
4,2 + 1,8 = 6 (л) – вещества в 2-х растворах
14 + 10 = 24(л) –объём двух растворов
Пусть х % вещества в получившемся растворе.
Составим пропорцию.
24 л – 100%
6 л - х %, тогда ,
Х=25 Ответ. 25 %.
5. К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480
г раствора, содержащего 20% той же соли. Сколько % соли содержится в
полученном растворе?
6. Свежие грибы содержат98% воды, после сушки – 125. Сколько надо собрать
свежих грибов, чтобы после сушки получить 7
кг сухих грибов?
7. Один раствор содержит 20% кислоты, а второй – 70% кислоты. Сколько
литров первого раствора нужно взять, чтобы получить 100
л раствора с 50% содержанием кислоты?
8. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15
кг, содержащий 40% меди. Сколько чистого олова нужно добавить к нему, чтобы
получить сплав с 30% содержанием меди?
Модифицированные задачи.
1.( к базовой задаче 1.) Из
пункта A в пункт B одновременно выехали два мотоциклиста. Первый проехал с
постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со
скоростью 72 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 12
км/ч меньшей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно
с первым мотоциклистом. Найдите скорости мотоциклистов. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
|
V
|
t
|
S
|
I
|
Х км/ч
|
ч
|
S км
|
II
|
72 км/ч
|
ч
|
км
|
Х – 12
км/ч
|
ч
|
км
|
Введя обозначения (с учётом х > o), составим уравнение
Разделив обе части уравнения на S и освободившись от знаменателя, получим:
Х2 – 84х + =
0
Х1=48, х2=36
Следовательно, скорость первого 48 или 36
км/ч, скорость второго 36 или 24 км/ч.
2. (к базовой
задаче 2.)От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и
плот. Катер спустился вниз по течению на 96
км, затем повернул обратно и вернулся в А через 14 часов. Найти скорость
катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил
плот на обратном пути на расстоянии 24
км от А.
Решение.
Обозначим х км/ч – скорость катера в стоячей
воде;
у км/ч – скорость
течения.
Поскольку скорость катера при движении по
течению (х + у), а против течения (х – у), то суммируя время, затраченное на
путь по течению и против течения, получим:
По второй части последней фразы условия
получаем:
.
Разделив 1 уравнение на 2, а второе
уравнение на 24, получим систему уравнений
Освобождаясь во втором уравнении от
знаменателя, найдём х = 7у. Подставляя х = 7у в первое, получим у = 2, х = 14.
Ответ. Скорость катера в стоячей воде 14
км/ч, скорость течения 2 км/ч.
3. Двум рабочим поручено изготовить партию одинаковых деталей. После того,
как первый проработал 4 часа, а второй 10 часов, оказалось, что они выполнили
половину работы. Проработав вдвоём ещё 6 часов, они установили, что им осталось
выполнить часть всей работы. За
какое время каждый из них, работая отдельно, может выполнить эту работу?
Решение.
Обозначим производительность труда первого
рабочего – х, второго – у часть работы в час. Первый рабочий за 4 часа
выполнил 4х часть работы, а второй за 10 часов 10у. Примем всю работу за 1,
тогда, поскольку по условию они выполнили половину работы, то 4х + 10у = . Вдвоём рабочие трудились ещё 6 часов,
следовательно, первый работал 4 + 6 = 10 часов, а второй: 10 + 6 = 16 часов.
По условию они выполнили за это время
1 - всей
работы, тогда, рассуждая аналогично, получим 10х + 16у = .
Составим систему уравнений.
Умножая первое уравнение системы на 16, второе
на -1, решаем способом сложения.
Получаем, что производительность труда первого
рабочего составляет часть работы в 1 час, а второго
- . Отсюда всю работу первый рабочий
выполняет за 1: часа, второй за 1: часов.
Ответ: 24 ч, 30 ч.
4. ( к базовой задаче 3.) Двое рабочих, из которых второй начинает
работать на 1,5 дня позже первого, могут отремонтировать квартиру за 7 дней. Если
бы ремонт выполнял каждый в отдельности, то первому потребовалось бы на 3 дня
больше, чем второму. За сколько дней каждый из них, работая в отдельности,
может выполнить ремонт квартиры?
Решение.
Пусть х дней требуется первому рабочему на
ремонт квартиры, тогда (х – 3) дня требуется второму рабочему на ремонт
квартиры. Первый работал 7 дней и выполнил часть
работы; второй работал 5,5 дней и выполнил часть
работы. По условию они выполнили всю работу, получаем уравнение
Освобождаясь от знаменателя, получим 2х2
– 41х + 42 = 0,
х1 = 14, х2 = . Но х2 меньше 3, что
невозможно.
Второму рабочему на ремонт квартиры
требуется 14 - 3 = 11 дней.
Ответ. 14 дней, 11 дней.
5. ( к базовой задаче 4) Сколько граммов воды надо добавить к 180
г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить сироп, концентрация которого
равна 20 %?
Решение.
В 180
г сиропа содержится 25% сахара, что составляет грамм.
Пусть добавили х граммов воды, тогда в (180 +
х) гр раствора сахара 20 %, что составляет
0,2(180 + х) = 45. Решаем получившееся
уравнение.
36 + 0,2х = 45
0,2х = 9
х = 45 Ответ. 45
граммов.
Литература.
1. Ю.Н.Макарычев,
Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова .
2. Иванюк М.Е,
Липилина В.В., Максютин А.А. Проблемы реализиции ФГОС при обучении математике в
основной и старшей общеобразовательной школе.Самара, 2014.
Алгебра: Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений -
М.:Просвещение, 2009
2. Л.В.Кузнецова и др. Сборник заданий для
подготовки к итоговой аттестации в 9 классе.
-
М.:Просвещение, 2013
3. И.Ф.Шарыгин.
Решение задач, 10 класс. - М.:Просвещение, 1994
4. Ф.Ф.Лысенко,
С.Ю. Кулабухова. Математика, подготовка к ГИА, 2014. Легион,
Ростов-на-Дону, 2013.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.