Итоговый тест по маткматике, 10 класс

Вариант № 1

1. Задание 1 

Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния

Пояснение.

Най­дём зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: 5.

Ответ: 5

509726

5

Источник: СтатГрад: Тре­ниро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2015 ва­ри­ант МА10406.

2. Задание 2 

Найдите част­ное от де­ле­ния 1,6 · 10² на 4 · 10⁻².

Пояснение.

Используя свой­ства степени, пре­об­ра­зу­ем дробь:

Ответ: 4000.

Ответ: 4000

506274

4000

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 120911.

3. Задание 3 

Клиент взял в банке кредит 60 000 рублей на год под 17% годовых. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

Пояснение.

Через год клиент должен будет выплатить 60 000 + 0,17  60 000 = 70 200 рублей. Разделим 70 200 на 12:

рублей.

Значит, клиент должен вносить ежемесячно в банк 5850 рублей.

Ответ: 5850.

Ответ: 5850

24555

5850

4. Задание 4 

Радиус опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окружности можно найти по фор­му­ле  , где   — сто­ро­на треугольника,   — про­ти­во­ле­жа­щий этой сто­ро­не угол, а   — ра­ди­ус описанной около этого тре­уголь­ни­ка окружности. Поль­зу­ясь этой формулой, най­ди­те  , если  , а  .

Пояснение.

Выразим из фор­му­лы :

Подставляя, получаем:

Ответ: 0,4.

Ответ: 0,4

506300

0,4

Источник: СДАМ ГИА

5. Задание 5 

Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния

Пояснение.

Представим число 3 в виде ло­га­риф­ма и ис­поль­зу­ем свой­ства логарифмов:

Ответ: 0,75.

Приведём дру­гое решение.

Используем свой­ства степени и ос­нов­ное логарифмическое тождество:

Ответ: 0,75

506800

0,75

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 166702.

6. Задание 6 

В среднем за день во время конференции расходуется 90 пакетиков чая. Конференция длится 9 дней. В пачке чая 100 пакетиков. Какого наименьшего количества пачек чая хватит на все дни конференции?

Пояснение.

1) (пакетиков на 9 дней);

2) (пачка), следовательно, хватит 9 пачек чая.

Ответ: 9.

Ответ: 9

511416

9

Источник: Пробный экзамен Саратов 2016. Вариант 1.

7. Задание 7 

Найдите корень уравнения .

Пояснение.

Перейдем к одному основанию степени:

.

Ответ: 12,5.

Ответ: 12,5

26655

12,5

8. Задание

Дачный уча­сток имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 20 мет­ров и 30 метров. Хо­зя­ин пла­ни­ру­ет об­не­сти его за­бо­ром и раз­де­лить таким же за­бо­ром на две части, одна из ко­то­рых имеет форму квадрата. Най­ди­те общую длину за­бо­ра в метрах.

Пояснение.

Длина за­бо­ра равна сумме пе­ри­мет­ра и ширины. Най­дем пе­ри­метр участ­ка 30+30+20+20=100 м.

Длина за­бо­ра 100+20=120 м.

Ответ: 120.

Ответ: 120

506471

120

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 166212.

9. Задание 9 

Установите со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми и их воз­мож­ны­ми значениями: к каж­до­му эле­мен­ту пер­во­го столб­ца под­бе­ри­те со­от­вет­ству­ю­щий эле­мент из вто­ро­го столбца.

ВЕЛИЧИНЫ		ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
А) ча­сто­та вра­ще­ния ми­нут­ной стрелки Б) ча­сто­та вра­ще­ния ло­па­стей вентилятора В) ча­сто­та об­ра­ще­ния Земли во­круг своей оси Г) ча­сто­та об­ра­ще­ния Ве­не­ры во­круг Солнца		1) 1 об/день 2) 1,6 об/год 3) 24 об/день 4) 50 об/с

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам:

A	Б	В	Г

Пояснение.

Частота вра­ще­ния ло­па­стей вен­ти­ля­то­ра самая боль­шая из пред­ло­же­ных ве­ле­чин — 50 об/с. Ча­сто­та вра­ще­ния ми­нут­ной стрел­ки — 24 об/день. Ча­сто­та об­ра­ще­ния Земли во­круг своей оси — 1 об/день. Ча­сто­та об­ра­ще­ния Ве­не­ры во­круг Солн­ца — 1,6 об/год.

Ответ: 3412.

Ответ: 3412

507050

3412

Источник: Типовые те­сто­вые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.

10. Задание 10 

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Пояснение.

Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна

Ответ: 0,14.

Ответ: 0,14

282853

0,14

11. Задание 11 

На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 22 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Пояснение.

Из графика видно, что наибольшая температура воздуха 22 января составляла −10 °C (см. рисунок).

Ответ: −10.

Ответ: -10

26868

-10

12. Задание 12 

Строительный подрядчик планирует купить 5 тонн облицовочного кирпича у одного из трех поставщиков. Вес одного кирпича 5 кг. Цены и условия доставки приведены в таблице. Во сколько рублей обойдется наиболее дешевый вариант покупки?

Поставщик	Цена кирпича (руб. за шт)	Стоимость доставки (руб.)	Специальные условия
А	17	7000	Нет
Б	18	6000	Если стоимость заказа выше 50 000 руб., доставка бесплатно
В	19	5000	При заказе свыше 60 000 руб. доставка со скидкой 50%.

Пояснение.

Необходимо купить 5000 : 5 = 1000 кирпичей.

Рассмотрим все варианты.

При покупке у поставщика A стоимость заказа складывается из стоимости кирпича 17  1000 = 17 000 руб. и стоимости доставки. Всего 17 000 + 7000 = 24 000 руб.

При покупке у поставщика Б стоимость заказа складывается из стоимости кирпича 18  1000 = 18 000 руб. и стоимости доставки и равна 18 000 + 6000 = 24 000 руб.

При покупке у поставщика В стоимость заказа складывается из стоимости кирпича 19  1000 = 19 000 руб. и стоимости доставки и равна 19 000 + 5000 = 24 000 руб.

Во всех трех вариантах стоимость равна 24 000 руб.

Ответ: 24 000.

Ответ: 24000

26684

24000

13. Задание 13 

Найдите квад­рат расстояния между вер­ши­на­ми и многогранника, изоб­ра­жен­но­го на рисунке. Все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка прямые.

Пояснение.

По тео­ре­ме Пифагора

Ответ: 6.

Ответ: 6

245382

6

14. Задание 14 

На диа­грам­ме изоб­ра­же­ны днев­ные сред­не­ме­сяч­ные тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха в Москве по дан­ным мно­го­лет­них наблюдений. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся месяцы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цельсия.

Пользуясь диаграммой, по­ставь­те в со­от­вет­ствие каж­до­му из ука­зан­ных пе­ри­о­дов вре­ме­ни ха­рак­те­ри­сти­ку температуры.

ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ		ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВИЖЕНИЯ
А) 1-й квар­тал года Б) 2-й квар­тал года В) 3-й квар­тал года Г) 4-й квар­тал года		1) сред­няя тем­пе­ра­ту­ра за каж­дый месяц квар­та­ла не ниже 13°С 2) сред­няя тем­пе­ра­ту­ра за по­след­ний месяц квар­та­ла более чем на 10 гра­ду­сов пре­вы­ша­ет сред­нюю тем­пе­ра­ту­ру за пер­вый месяц квартала 3) сред­няя тем­пе­ра­ту­ра за по­след­ний месяц квар­та­ла отрицательная 4) ровно два ме­ся­ца квар­та­ла сред­няя тем­пе­ра­ту­ра отрицательная

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам:

А	Б	В	Г

Пояснение.

В пер­вом квар­та­ле года ровно два ме­ся­ца квар­та­ла сред­няя тем­пе­ра­ту­ра от­ри­ца­тель­ная.

Во вто­ром квар­та­ле года сред­няя тем­пе­ра­ту­ра за июнь при­мер­но на 12° больше, чем за апрель.

В тре­тьем квар­та­ле года сред­няя тем­пе­ра­ту­ра за каж­дый месяц квар­та­ла не ниже 13°.

В чет­вер­том квар­та­ле года сред­няя тем­пе­ра­ту­ра за по­след­ний месяц квар­та­ла от­ри­ца­тель­ная.

Таким образом, со­от­вет­ствие А — 4, Б — 2, В — 1 и Г — 3.

Ответ: 4213.

Ответ: 4213

506437

4213

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 166083.

15. Задание

Найдите косинус угла наклона отрезка, соединяющего точки O(0; 0) и A(6; 8), с осью абсцисс.

Пояснение.

Если опустить из точки перпендикуляр на ось абсцисс, то получится прямоугольный треугольник. Длина

.

Тогда получается, что

.

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

27666

0,6

16. Задание 16 № 501189

В пра­виль­ной четырёхугольной пи­ра­ми­де SABCD вы­со­та SO равна 13, диа­го­наль ос­но­ва­ния BD равна 8. Точки К и М — се­ре­ди­ны ребер CD и ВС соответственно. Най­ди­те тан­генс угла между плос­ко­стью SMK и плос­ко­стью ос­но­ва­ния AВС.

Пояснение.

Пусть По­сколь­ку и по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах По­сколь­ку угол яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми и Тогда

Ответ: 6,5.

Ответ: 6,5

501189

6,5

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 09.04.2013 ва­ри­ант МА1601.

17. Задание 17 

Каждому из четырёх не­ра­венств в левом столб­це со­от­вет­ству­ет одно из ре­ше­ний в пра­вом столбце. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между не­ра­вен­ства­ми и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА		РЕШЕНИЯ
А) Б) В) Г)

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам:

A	Б	В	Г

Пояснение.

Учтем ОДЗ для всех урав­не­ний с ло­га­риф­мом

А) , следовательно, ва­ри­ант 3)

Б) , следовательно, ва­ри­ант 4)

В) , следовательно, ва­ри­ант 1)

Г) , следовательно, ва­ри­ант 2)

Ответ: 3412.

Ответ: 3412

510183

3412

18. Задание 18 

В ком­па­нии из 20 че­ло­век 15 че­ло­век поль­зу­ет­ся со­ци­аль­ной сетью «Facebook», а 10 че­ло­век — со­ци­аль­ной сетью «ВКонтакте». Вы­бе­ри­те утверждения, ко­то­рые сле­ду­ют из приведённых данных. В этой компании

1) найдётся хотя бы 5 человек, поль­зу­ю­щих­ся обе­и­ми се­тя­ми

2) найдётся человек, ко­то­рый не поль­зу­ет­ся ни сетью «Facebook», ни сетью «ВКонтакте»

3) не боль­ше 10 че­ло­век поль­зу­ют­ся обе­и­ми сетями

4) не найдётся ни од­но­го человека, поль­зу­ю­ще­го­ся толь­ко сетью «Facebook»

В от­ве­те за­пи­ши­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без пробелов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных символов.

Пояснение.

1) Это так. Пять до­сти­га­ет­ся в случае, когда все пять человек, ко­то­рые не поль­зу­ют­ся «Facebook», поль­зу­ют­ся «ВКон­так­те». В осталь­ных слу­ча­ях таких людей ещё больше.

2) В при­ме­ре из пер­во­го пунк­та все люди поль­зу­ют­ся хотя бы одной со­ци­аль­ной сетью.

3) Это верно, так как всего 10 че­ло­век поль­зу­ют­ся «ВКон­так­те».

4) Все­гда найдётся такой человек, так как поль­зу­ю­щих­ся «Facebook» больше, чем тех, кто поль­зу­ет­ся «ВКон­так­те».

Ответ: 13.

Ответ: 13|31

506461

13|31

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 166084.

19. Задание 19 

Приведите при­мер трёхзначного на­ту­раль­но­го числа, боль­ше­го 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 8 и на 5 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и пер­вая слева цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

Пояснение.

По мо­ду­лю 5 и 8 число имеет оди­на­ко­вые остатки. Оно будет иметь тот же оста­ток и при де­ле­нии на 40. Этот оста­ток боль­ше нуля и мень­ше пяти. Пусть наше число имеет вид , тогда имеем:

Заметим, также, что искомое число должно быть чётным. Переберём все варианты, их четыре: 564, 684.

Ответ: 564; 684.

Ответ: 564|684

506442

564|684

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 166083.

20. Задание 20 

На палке от­ме­че­ны по­пе­реч­ные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если рас­пи­лить палку по крас­ным линиям, по­лу­чит­ся 5 кусков, если по жёлтым — 7 кусков, а если по зелёным — 11 кусков. Сколь­ко кус­ков получится, если рас­пи­лить палку по ли­ни­ям всех трёх цветов?