Карточки коррекции знаний по алгебре 7 класса.

7 класс

Оглавление

Вычисление значений выражений. 3

Приведение подобных слагаемых. 3

Переместительный, сочетательный и распределительные свойства. 3

Преобразование выражений. 3

Решение линейных уравнений. 3

Нахождение x и y по формуле. 4

Сложение и вычитание многочленов. 4

Умножение одночлена на многочлен. 5

Преобразование выражений. 5

Решение уравнений вида ) 5

Вынесение общего множителя за скобку. 6

Умножение многочлена на многочлен. 6

Квадрат суммы, квадрат разности. 6

Сокращение дробей. 7

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. 7

Нахождение наименьшего общего знаменателя дробей. 7

Нахождение дополнительных множителей к дробям при приведении дробей к наименьшему общему знаменателю   8

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю.. 9

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. 9

Умножение дробей. 10

Возведение в степень дроби. 10

Деление дробей. 11

Решение систем линейных уравнений с двумя переменными  способом подстановки. 11

Решение систем линейных уравнений с двумя переменными  способом сложения. 12

Вычисление значений выражений

Правило	Примеры
	(3m+4x)y, при m=3, x=,y=
1. Подставить вместо всех переменных их значения
2. Выполнить действия

Приведение подобных слагаемых

Правило	Примеры
	3х–7х+9х­­­­­–15х	9х–4y+9+5x–3+3y–2x
1. Подчеркнуть одинаковыми черточками слагаемые с одинаковой буквенной частью.	3х­­­­­–7х+9х–15х=	9х–4y+9+5x–3+3y–2x=
2. Сложить коэффициенты (вместе со знаками) одинаково подчеркнутых слагаемых.	=(3+(­–7)+9+(–15))х= =(3–7+9–15)х=	=(9+5+(–2))x+((–4)+3)y+(9+(–3))= =(9+5–2)x+(–4+3)y+(9–3)=
3. Полученный в п.2 коэффициент умножить на общую буквенную часть.	= –10х	=12x+(–1)y+6=12x–y+6

Раскрытие скобок, если перед ними стоит знак + или –

Правило	Примеры
1а)Если перед скобкой стоит + или не стоит никакой знак, то можно убрать скобки, сохраняя знаки всех слагаемых, стоящих внутри скобок.	(a–b+c)= a–b+c +(x+y–z)= x+y–z +(–a+c–1)= –a+c–1
1б)Если перед скобкой стоит –, то можно убрать скобки, меняя знаки всех слагаемых, стоящих внутри скобок, на противоположные (то есть + на –, а – на +)	–(a–x+c)= –a+x–c –(1–x+a)= –1+x–a
2. Если нужно привести подобные слагаемые.

Переместительный, сочетательный и распределительные свойства

Правило	Примеры
ab=ba (ab)c=a(bc)	–3,2a.5,6b=(–3,2.5,6)ab= –17,92ab
a(b+c)=ab+ac	1,3(4–3b)=1,3.4–1,3.3b=5,2–3,9b –4(3a–7b)= –4.3a–(–4).7b= –12a+28b

Преобразование выражений

Правило	Примеры
	b–(4–2b)+(3b–1)	3(6–5x)+17x–10	12n+9–6(3n+1)
1. Раскрыть скобки	=b–4+2b+3b–1=	=3.6–3.5x+17x–10= =18–15x+17x–10=	=12n+9–6.3n+(–1).n= =12n+9–18n–6=
2. Привести подобные слагаемые.	=(1+2+3)b+(–4–1)= =6b–5	(18–10)+(–15+17)x= =8+2x	=(12–18)n+(9–6)= = –4n+4

Решение линейных уравнений

Правило	Примеры
	–5х–150=0	15(х+2)–19=12х	6(1+5х)=5(1+6х)
1. Если нужно, раскрыть скобки.	––––––––––––	15(х+2)–19=12х 15х+15.2–19=12х 15х+30–19=12х	6(1+5х)=5(1+6х) 6.1+6.5х=5.1+5.6х 6+30х=5+30х
2. Перенести слагаемые с переменной в левую, а без переменной в правую часть уравнения, меняя их знаки на противоположные (+ на – , а – на +)	–5х–150=0 –5х=150	15х+30–19=12х 15х–12х= –30+19	6+30х=5+30х 30х–30х=5–6
3. Привести в обеих частях уравнения подобные слагаемые. Получится уравнение вида ax=b	––––––––––––	(15–12)х=–30+19 3х= –21	(30–30)х=5–6 0х= –1
4. Если а¹0, то  (x=b:a) Если a=0, b¹0, то уравнение не имеет корней Если a=0, b=0, то уравнение имеет бесконечное множество корней, т.е. х может принимать любые значения	а= –5¹0Þ x=150:(–5) x= –30 Ответ: х= –30	а=3¹0Þ x= –21:3 x= –7 Ответ: х= –7	а=0Þ решений нет Ответ: решений нет

Нахождение x и y по формуле

Правило	Примеры
	y=3x–5
	x	4
	y			–2
1.       Дан х. Найти y. а) Подставить вместо х его значение	x=4 y=3.4–5=
б) Выполнить действия	=12–5=7
2.       Дан y. Найти х. а) Подставить вместо y его значение	y= –2 –2=3x–5
б) Решить получившееся уравнение	–2=3x–5 –3x= –5+2 –3x= –3 x= –3:(–3) x=1		x		4	1
			y		7	–2

Нахождение координат точки пересечения графиков функций

Правило	Примеры
Функции заданы формулами. 1. Приравнять правые части данных формул	y=3x–5              y=4x+3 3x–5=4x+3
2.       Решить получившееся уравнение. Получим х–координату точки пересечения	3x–4x=3+5 –x=8 x= –8
3. Подставить в одну из формул вместо х найденное в п.2 решение	y=3.(–8)–5=
4. Вычислить y	= –24–5= –29
5. Записать ответ в виде (х;y)	(–8;–29)

Сложение и вычитание многочленов

Правило	Примеры
1.       Раскрыть скобки 2.       Привести подобные слагаемые, т.е. привести к стандартному виду.

Умножение одночлена на многочлен

Правило	Примеры
1.       Умножить каждый член многочлена, записанного в скобках на одночлен, стоящий перед скобкой 2.       Сложить полученные произведения 3.       Получившийся многочлен привести к стандартному виду

Преобразование выражений

Правило	Примеры
1.       Раскрыть скобки 2.       Привести подобные слагаемые

Решение уравнений вида )

Правило	Примеры
1. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) всех дробей, входящих в уравнение	НОЗ знаменателей 5 и 3: 15	НОЗ знаменателей 7 и 1: 7	НОЗ знаменателей 4, 12 и 1: 12
2. Умножить каждую дробь уравнения на НОЗ
3. Если нужно, сократить дроби		4–3х= –14
4. Решить получившееся уравнение	9х+15= 5х+5 9х–5х= –15+5 4х= –10 х= –2,5	4–3х= –14 –3х= –4–14 –3х= –18 х= –18:(–3) х=6	18y+21–7+5y=60 18y+5y= –21+7+60 23y=46 y= 46:23 y=2
5. Записать ответ	Ответ: х= –2,5	Ответ: х=6	Ответ: y=2

Вынесение общего множителя за скобку

Правило	Примеры
	4x2–12x+8a2x3	3(b–2c)+x(b–2c)	5(x–y)+a(y–x)
1. Представить каждое слагаемое в виде произведения	4x2–12x+8a2x3 = = 4xx–4.3x+4.2aaxxx=	3(b–2c)+x(b–2c)=	5(x–y)+a(y–x)= =5(x–y)–a(x–y)=
2. Подчеркнуть в каждом слагаемом одинаковые множители	= 4xx–4.3x+4.2aaxxx=	=3(b–2c)+x(b–2c)=	=5(x–y)–a(x–y)=
3.Записать подчеркнутый одинаковый множитель за скобками 4. В скобках записать слагаемые без подчеркнутого множителя	= 4x(x–3+2aaxx)= = 4x(x–3+2a2x2)	=(b–2c)(3+x)	=(x–y)(5–a)

Умножение многочлена на многочлен

Правило	Примеры
1.       Умножить каждое слагаемое из 1–й скобки на каждое слагаемое из 2–й скобки 2.       Полученные произведения сложить 3.       Привести получившийся многочлен к стандартному виду	(2x–y)(4x+3y)= =2x.4x+2x.3y+(–y).4x+(–y).3y= =8x2+6xy –4xy–3y2=8x2+(6–4)xy–3y2= =8x2+2xy–3y2 (2a–3)(5–a)= =2a.5–2a.a+(–3).5–(–3).a= =10a–2a2–15+3a=(10+3)a–2a2–15= = –2a2+13a–15

Квадрат суммы, квадрат разности

Правило	Примеры
(I ± II)2 = I2 ±2. I . II + II2	(I ± II)2		I	II	I2 ±2. I . II + II2
	(3x+4)2		3x	4	(3x)2+2.3x.4+42
	(3x–4)2		3x	4	(3x)2–2.3x.4+42
Краткая запись	(3x+4)2=(3x)2+2.3x.4+42=9x2+24x+16 (3x–4)2=(3x)2–2.3x.4+42=9x2–24x+16
I2 ±2. I . II + II2 = (I ± II)2
25x2+10xy+y2 = ? 1)       I2 = 25x2 Þ I =5x II2 =y2 Þ II = y 2)       Проверяем, верно ли, что 2.(5x).y=10xy 10xy=10xy – верно Þ можно воспользоваться формулой 25x2+10xy+y2 = (5x+y)2 9x2+12x+16 = ? 1)       I2 = 9x2 Þ I =3x II2 =16 Þ II = 4 2)       Проверяем, верно ли, что 2.(3x).4=12x 24x=12x – неверно Þ  воспользоваться формулой нельзя		25x2–10xy+y2 = ? 3)       I2 = 25x2 Þ I =5x II2 =y2 Þ II = y 4)       Проверяем, верно ли, что 2.(5x).y=10xy 10xy=10xy – верно Þ можно воспользоваться формулой 25x2–10xy+y2 = (5x–y)2 9x2–12x+16 = ? 3)       I2 = 9x2 Þ I =3x II2 =16 Þ II = 4 4)       Проверяем, верно ли, что 2.(3x).4=12x 24x=12x – неверно Þ  воспользоваться формулой нельзя

Сокращение дробей.

Правило	Примеры
1. Разложить числитель и знаменатель на множители: вынести общий множитель за скобки; применить способ группировки слагаемых; применить формулы сокращенного умножения; использовать свойства степеней; другой способ.		ab–bc=b(a–c) a2–2ac+c2=(a–c)2	2x+bx–2y–by= =(2x–2y)+(bx–by)= =2(x–y)+b(x–y)= =(x–y)(2+b) 7x–7y=7(x–y)
2. Зачеркнуть в числителе и знаменателе одинаковые множители в одинаковых степенях.
3. Записать в качестве ответа в числителе и знаменателе не зачеркнутые множители.
Задания: Сократите дробь:
1)  2) 3) 4) 5)  6)
1)  2)  3) 4) 5) 6)
1)  2) 3) 4) 5) 6)

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Правило	Примеры
где P(x), R(x), Q(x) –многочлены и Q(x)¹ 0
Задания: Выполните действия:
1)2) 3)4)
1)2)3) 4)
1)2)3)4)

Нахождение наименьшего общего знаменателя дробей

Правило	Примеры
	и	и
1. Разложить на множители знаменатели дробей: вынести общий множитель за скобку; разложить способом группировки слагаемых; разложить на множители квадратный трехчлен; другой способ.	;
2. Вычеркнуть в знаменателях дробей по одному разу те множители, которые есть в разложении на множители в знаменателе другой дроби.	;
3. Записать произведение всех невычеркнутых множителей.	наименьший общий знаменатель:  =	наименьший общий знаменатель:
Задания: Найти наименьший общий знаменатель дробей:
1) и 2)  и  3) и 4) и 5) и
1)  и  2) и 3)  и 4) и 5)  и
1)  и 2) и 3)  и  4) и 5) и

Нахождение дополнительных множителей к дробям при приведении дробей к наименьшему общему знаменателю

Правило	Примеры
	и	и
1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.
2. Для каждой из дробей рассмотреть следующую дробь:
3. Сократить эту дробь. Получившееся выражение – дополнительный множитель.	– дополнительный множитель к   – дополнительный множитель к	– дополнительный множитель к – дополнительный множитель к
Задания: Найти дополнительные множители к дробям:
1) и 2) и3) и 4)и 5) и
1)  и  2) и 3)  и 4) и 5)  и
1)  и 2) и 3)  и  4) и 5) и

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

Правило	Примеры
	и	и
1. Найти наименьший общий знаменатель данных дробей.
2. Найти дополнительные множители к каждой из дроби.	– дополнительный множитель к – дополнительный множитель к	– дополнительный множитель к – дополнительный множитель к
3. Умножить числитель  каждой из дробей на дополнительный множитель, а в качестве знаменателя записать их наименьший общий  знаменатель.
4. Записать ответ.	и	и
Задания: Привести дроби к их наименьшему общему знаменателю:
1) и 2)  и  3) и 4) и 5) и
1)  и  2) и 3)  и 4) и 5)  и
1)  и 2) и 3)  и  4) и 5) и

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Правило	Примеры
	+	–
1. Привести дроби к их наименьшему общему знаменателю.	Наименьший общий   Дополнительные  –к  дроби – к дроби Þ =+	знаменатель: множители: – к дроби – к дроби Þ =–
2. Выполнить сложение (вычитание) полученных дробей.
3. Если нужно, преобразовать получившуюся дробь и записать ответ.	_______________
Краткая запись решения
Задания: Представьте в виде дроби:
1)2) 3) 4) 5)
1)2)3)4)5)
1)2) 3)4) 5)

Умножение дробей

Правило	Примеры
1. Перемножить числитель одной дроби с числителем другой и знаменатель одной дроби со знаменателем другой.
2. Если нужно, сократить получившуюся дробь.
3. Записать ответ.
Задания: Выполните умножение:
1)2) 3)4) 5)
1)2) 3) 4) 5)
1) 2)3)4)  5)

Возведение в степень дроби

Правило	Примеры
1. Возвести в степень каждый множитель числителя и знаменателя.
2. Если нужно, сократить получившуюся дробь.		____________
3. Записать ответ.
Задания: Представьте в виде дроби:
1) 2) 3) 4) 5)
1)2) 3) 4) 5)
1) 2) 3) 4) 5)

Деление дробей

Правило	Примеры
1.Представить в виде произведения первой дроби и перевернутой второй дроби.
2. Выполнить умножение получившихся дробей.
3. Записать ответ.
Задания: Выполните деление:
1)2)3)4) 5)
1)2)3)4) 5)
1)2)3)4) 5)

 

Решение систем линейных уравнений с двумя переменными  способом подстановки

Правило	Примеры
1. Если нужно, то привести уравнения системы к линейным, пользуясь следующими приемами: − раскрыть скобки − привести к общему знаменателю −  перенести слагаемые из одной части уравнения в другую − привести подобные слагаемые	_____________________	В первом уравнении приведем к общему знаменателю, перенесем слагаемые с переменными в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые Во втором уравнении раскроем скобки и перенесем слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а числа в правую часть
2. Выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую	Выразим переменную х из первого уравнения	Выразим переменную х из первого уравнения
3. Подставить полученное выражение вместо соответствующей переменной в другое уравнение системы	Подставим выражение вместо переменной х во второе уравнение	Подставим выражение  вместо переменной х во второе уравнение
4. Решить получившееся уравнение
5. Найти значение второй переменной
6. Записать ответ	Ответ: (1; 2)	Ответ: (−1; 1)

Решение систем линейных уравнений с двумя переменными  способом сложения

Правило	Примеры
1. Если нужно, то привести уравнения системы к линейным, пользуясь следующими приемами: − раскрыть скобки − привести к общему знаменателю −  перенести слагаемые из одной части уравнения в другую − привести подобные слагаемые	___________________	В уравнениях раскроем скобки,  перенесем слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а числа в правую часть и приведем подобные слагаемые	_____________________
2. К уравнениям системы подобрать множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами
3. Умножить почленно уравнения системы на выбранные множители
4. Сложить почленно левые и правые части получившихся уравнений	+	+	+   +   +   +
5. Решить получившееся уравнение
6. Найти значение второй переменной  (используя для этого любое уравнение системы)	Подставим получившееся значение переменной х в первое уравнение	Подставим получившееся значение переменной y в первое уравнение упрощенной системы	Подставим получившееся значение переменной а в первое уравнение
7. Записать ответ	Ответ: (2; 1)	Ответ: (−3; 2)	Ответ: (−3; 2)