Конспект факультативного занятия по математике Тема: «Исследование функции с использованием системы компьютерной математики Maxima».

МОУ школа №7

г. Жуковский, Московской обл.

учитель: Цыплякова

 Галина Владимировна

 Конспект факультативного занятия по математике

Тема: «Исследование функции с использованием системы компьютерной математики Maxima».

11 класс

Цели занятия:

Образовательные:

 - научить находить производную используя систему компьютерной математики Maxima;

 - научить применять полученные знания при исследовании функций; 

 - закрепить полученные знания при решении задач.

Развивающие:

- развитие логического мышления, памяти, расширение кругозора;

- развитие навыков коррекции собственной деятельности через применение информационных технологий;

- развитие умения обобщать, абстрагировать и конкретизировать знания при исследовании функции.

Воспитательные:

- познавательный интерес к математике;

- информационную культуру и культуру общения;

- самостоятельность, способность к коллективной работе.

Оборудование: компьютерный класс, мультимедиа проектор, индивидуальные задания на карточках, мел, доска.

Межпредметные связи: применение полученных знаний для самоконтроля, подготовки к ЕГЭ.

План конспект занятия

1.     Начальный этап (5мин)

1. организационный момент

2. мотивация на изучение нового материала

3. постановка цели.

     2. Основная часть (40 мин).

4.  объяснение нового материала (10 мин)

5.  первичное закрепление материала: работа учеников с системой Maxima под руководством учителя (5 мин)

6.  практическое применение полученных знаний. (5 мин)

7.  закрепление изученного материала: самостоятельная работа учеников с                    системой Maxima (15 мин)

3.     Заключительный этап (5 мин)

8.  подведение итогов.

9.  домашнее задание.

Ход урока

1.     Организационный момент.

Приветствие. Проверка готовности учеников к работе.

2.     Мотивация на изучение нового материала.

     Практически на каждом уроке алгебры при изучении нового материала, при решении задач, мы использовали производную. Давайте вспомним для решения каких задач мы применяли производную.

     Возможные ответы:

- для нахождения интервалов возрастания и убывания функции:

- для нахождения экстремумов функции;

- для построения графика функции;

- для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции;

- для нахождения интервалов выпуклости вверх и вниз функции;

- для нахождения точек перегибов.

    Как мы видим, для любого исследования функции нам необходимо найти производную. А для нахождения интервалов выпуклости нам необходимо найти производную второго порядка. Чтобы упростить процесс нахождения производной обратимся к системе компьютерной математики Maxima.

3.     Постановка цели урока.

     На сегодняшнем уроке мы научимся находить производную с помощью СКМ Maxima.

4.     Объяснение нового материала.

     Вы уже знакомы с этой системой. Она является незаменимым помощником в изучении математики, физики, информатики, освобождает нас от рутинных расчётов и позволяет сосредоточить внимание на сущности метода решения той или иной задачи.

    Пакет Maxima предоставляет мощные средства для дифференцирования функций и вычисления дифференциалов. Для вычисления простейшей производной следует в командном окне Maxima ввести команду следующего вида:

 diff(<функция>, <переменная>);

где <функция> –– выражение, задающее функцию; <переменная> –– имя переменной, по которой будет вестись дифференцирование, например, x.

     С помощью команды diff можно вычислять производные высших порядков. При этом команда имеет следующий формат:

diff(<функция>, <переменная>, <порядок>); где <порядок> — порядок вычисляемой производной.

     Учитель записывает функцию и ее формат на доске, а ученики записывают в тетрадь, после чего включают компьютеры и открывают Maxima.

   Учитель просит найти производную для функции из примера 1. 

   Пример 1. Найти производную функции у= x²+2x+1

(%i1)   diff (x^2+2*x+1, x,1);

(%o1)  2*x+2

     При решении задач по нахождению производной с помощью системы Maxima можно использовать меню АНАЛИЗ.

      Учитель просит найти производную второго порядка для функции из примера 1, используя меню АНАЛИЗ.

     Учитель поясняет, что для вычисления производных различного порядка удобно создать пользовательскую функцию:

Пример 2. Найти производную 1-го, 2-го и 3-го порядков для функции           у = sin(9x²)

 (%i2)     f(x): =sin(9*x^2);

 (%o2)     f (x): = sin (9 x²)

 (%i3)     d1: diff(f(x), x,1);

(%o3)     18 x cos (9 x²)

 (%i4)     d2: diff(f(x), x,2);

 (%o4)     18 cos (9 x²) – 324x² sin (9 x²)

 (%i5)     d3: diff(f(x), x,3);

 (%o5)     −972 x sin (9 x²) − 5832 x ³ cos (9 x²)

5.     Первичное закрепление.

     После чего каждому ученику дается индивидуальное задание на карточках. Предлагается выполнить задание удобным для себя способом.

Найти производные 1-го, 2-го и 3-го порядков для функции:

1)    у = cos²3x – sin²3x;

2)    y = sin4x cos2x – cos4x sin2x;

3)    y = sin(cosx);

4)    y = 3e^x + 4;

5)    y = e^x – lnx;

6)    y = x³ log₂x;

7)    y = ln(2x-1);

8)    y = cos x²;

9)    y = e^-x + x³;

10)y = e^5xcos x

   После выполнения работы ученики обсуждают какой из способов более рациональный.

6.     Практическое применение.

    Применим полученные знания для исследования функции с помощью Maxima. Рассмотрим несколько примеров. Но дkя начала вспомним несколько функций, которые нам пригодятся. (Учитель на доске записывает функции define, solve, map. Ученики поясняют назначение этих функций)

Define – встроенная функция для создания функций, она позволяет пре- образовать выражение в функцию.

Solve – функция при помощи которой осуществляется решение алгебраических уравнений и их систем.

 map (f, expr1..., exprn) позволяет применить функцию (оператор, символ операции) f к частям выражений expr1, expr2..., exprn.

  Пример 3.

      Исследовать на экстремум функцию y = x⁴ - 4x³.

Ученики описывают алгоритм решения. (Один из учеников коротко записывает на доске).

1.     Найдем производную функции

2.     Найдем критические точки, приравняв производную нулю

3.     Исследуем изменение знака производной при переходе через критические точки

4.     Найдем экстремумы функции.

Или

     3. Найдем вторую производную f ′′(x) и определим ее знак в каждой       критической точке.

     4. Найдем экстремумы (экстремальные значения) функции.

              Далее работаем по плану, используя Maxima.

 (%i6)              f(x): =x^4−4·x^3;

(%o6)    

(%i7)               define(df(x), diff(f(x), x));

(%o7)    

(%i8)               solve(df(x)=0, x);

(%o8)    

(%i9)               define(d2f(x), diff(df(x), x));

(%o9)    

(%i10)             map (d2f, %o3);

(%o10)  

     В точке x = 0 вторая производная равна 0, поэтому вычисляем значения первой производной слева и справа от x = 0:

(%i11)             df (-1);

(%o11)              -16

(%i12)             df (1);

(%o12)              -8

     Производная в окрестности точки x = 0 не меняет знак, поэтому экстремум у исследуемой функции один — точка x = 3.

(%i13)             d2f (3);

(%o13)              

Так как d2f (3)> 0, x = 3 — точка минимума.

7.     Закрепление изученного материала Индивидуальная самостоятельная работа. (10мин)

На карточках дается самостоятельная работа.

Найти точки экстремума функции и значения функции в этих точках.

1.     y = x³ – 3x²;

2.     y = x + sin x;

3.     y = x⁴ – 8x² + 3;

4.     y = 2cos x + x;

5.     y = 2x² – 20x + 1;

6.     y = (2 – x)³/ (3 – x)²;

7.     y = (x³ + 2x²)/ (x – 1)^2;

8.     y = sin x + 0,5 sin 2x;

9.     y = (x – 1) e^3x;

10. y = cos3x – 3x.

    8. Подведение итогов

– проверка самостоятельных работ

- обсуждение рационального способа для исследования функции с        использованием Maxima.

– разбор типичных ошибок, допущенных в ходе индивидуальной работы учащихся.

– оценка работы каждого ученика учителем

– проведение целевой установки на следующее занятие: сегодня на уроке мы с вами научились вычислять производную с помощью Maxima и применять эти знания для исследования функций. На следующем уроке мы рассмотрим возможности системы Maxima по построению графиков.

9.      Домашнее задание

№ 968 из учебника. Решить с помощью Maxima.

Список использованной литературы

1. Ш.А.Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс: учебник. - М.: Просвещение ,2014.

2. Е.П. Нелин. Алгебра и начала анализа 11 класс: учебник. - М.: Илекса,

2012.

3. Е.А. Чичкарёв. Компьютерная математика с Maxima. Руководство для школьников и студентов.  Москва ALT Linux 2012.