Конспект лекций (раздаточный материал) по учебной дисциплине "Математика:Алгебра" по теме " Тригонометрические функции"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО   ОБРАЗОВАНИЯ

 «ВОЛЖСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, ПЕДАГОГИКИ И ПРАВА»

  Волжский социально-педагогический колледж

Математика: Алгебра (10-11кл., 1 курс СПО)   

Конспект лекций (раздаточный материал) по разделу

 «Тригонометрические функции» 

(к учебнику: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч.1. Учебник (базовый уровень) Мордкович А.Г.)  

Автор: Бондаренко Людмила Валентиновна

Место работы: Волжский социально-педагогический колледж – структурное подразделение ВИЭПП

Должность: Преподаватель

Числовая окружность на координатной плоскости

Расположим числовую окружность в декартовой прямоугольной системе координат хОу так, как показано на рисунке: центр окружности совмещен с началом координат, а ее радиус принимается за единичный отрезок. Начальная точка А числовой окружности совмещена с точкой (1; 0) на оси х. При этом В = В(0; 1), С = С(-1; 0),              D = D(0; -1). Каждая точка числовой окружности имеет в системе хОу свои координаты, причем : х > 0, у > 0 в первой четверти; х < 0, у > 0 во второй четверти; х < 0, у < 0 в третьей четверти; х > 0, у < 0 в четвертой четверти. Для любой точки М(х;у) числовой окружности выполняются неравенства            -1  х  1;  -1  у  1. Нетрудно составить уравнение числовой окружности. Для этого заметим, что, во-первых, центром окружности служит начало координат, а уравнение окружности радиусом R с центром в начале координат имеет вид х2 + у2 = R2;  во-вторых, R = 1, значит, уравнение числовой окружности имеет вид х2 + у2 = 1. Нам важно научиться находить координаты точек числовой окружности, прежде всего тех, которые представлены ранее на двух макетах. Точка M(π/4) середина I четверти. Опустим перпендикуляр MP на прямую OA и рассмотрим треугольник OMP. Так как дуга AM составляет половину дуги AB, то ∡MOP=45° . Значит, треугольник OMP - равнобедренный прямоугольный треугольник и OP=MP, т.е. у точки M абсцисса и ордината равны: x = y. Так как координаты точки M(x;y) удовлетворяют уравнению числовой окружности x2+y2=1,то для их нахождения нужно решить систему уравнений: Подставив x вместо y в первое уравнение системы, получим следующее решение:  x2+x2=1;  2x2=1;  x2=1/2;  x = 1/√2 = √2/2 т.к.  y = x то у= √2/2  При решении учитываем, что абсцисса точки M положительна. Получили, что координаты точки M, соответствующей числу π/4 будут   M(π/4)=M(√2/2; √2/2) Проанализируем полученное равенство. Что означает запись M(π/4)?Она означает, что точка М числовой окружности соответствует числу π/4. А запись M(√2/2; √2/2) означает, что точка М имеет соответствующие координаты в прямоугольной системе координат хОу. И в дальнейшем будем придерживаться подобного способа записи: если написано M(t), то это значит, что точка М числовой окружности соответствует числу t; если написано М(х; у), то это значит, что числа х и у являются соответственно абсциссой и ординатой точки М. Таким образом, (х; у) — декартовы координаты точки М, a t — «криволинейная» координата точки М на числовой окружности. Аналогично можно получить координаты и других точек первого макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти. Полученные результаты запишем в таблицу   Рассуждаем аналогично для точки M, если теперь она соответствует числу π/6. Треугольник MOP прямоугольный. Так как дуга AM составляет третью часть дуги AB, то ∡MOP=30°. Катет MP лежит против угла 30 градусов в прямоугольном треугольнике, значит, равен половине гипотенузы, т.е. ордината точки M равна MP=1/2,т.е. y=1/2. Абсциссу x точки M найдём, решив уравнение:  x2+y2=1  x2=1−(1/2)2=1−1/4=3/4;  x = √3/2. При решении учитываем, что абсцисса точки M положительна.  Получили, что координаты точки M, соответствующей числу π/6 будут  M(π/6)=M(√3/2 ;1/2)   Аналогично можно получить координаты и других точек второго макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти. Полученные результаты запишем в таблицу: Пример 1. Найти координату точки числовой окружности: а) Р(45π/4).  Решение:  Т.к. числам t и t +2πk, где k-целое число, соответствует одна и та же точка числовой окружности то:  45π/4=(10+5/4) π=10π+5π/4=5π/4+2π5. Значит, числу 45π/4 соответствует та же точка числовой окружности, что и числу 5π/4. Посмотрев значение точки 5π/4 в таблице, получаем: P(45π/4)=P(−√2/2;−√2/2). Ответ: P(45π/4)=P(−√2/2;−√2/2). б)Найти координату точки числовой окружности: Р(−37π/3). Решение:  Т.к. числам t и t+2πk, где k-целое число, соответствует одна и та же точка числовой окружности то:  −37π/3= −(12+1/3) π = −12π–π/3= −π/3+2π(−6). Значит, числу −37π/3 соответствует та же точка числовой окружности, что и числу –π/3, а числу –π/3 соответствует та же точка, что и 5π/3. Посмотрев значение точки 5π/3 в таблице, получаем: P(−37π/3) = P(1/2;− √3/2). Ответ:  P(−37π/3) = P(1/2;− √3/2). Пример 2.Найти на числовой окружности точки с ординатой у=1/2 и записать, каким числам t они соответствуют? Решение:  Прямая у=1/2 пересекает числовую окружность в точках М и Р. Точка М соответствует числу π/6 (из данных таблицы). Значит, и любому числу вида: π/6+2πk. Точка Р соответствует числу 5π/6, а значит, и любому числу вида 5π/6+2πk. Получили, как часто говорят в таких случаях, две серии значений:  π/6+2πk и 5π/6+2πk.  Ответ : t =π/6+2πk и t=5π/6+2πk. Пример 3.Найти на числовой окружности точки с абсциссой  х =1/2 и записать, каким числам t они соответствуют? Решение:    Прямая x =−√2/2 пересекает числовую окружность в точках М и Р. Неравенству  x ≥ −√2/2 соответствуют точки дуги РМ. Точка М соответствует числу 3π/4 (из данных таблицы). Значит, и любому числу вида 3π/4+2πk. Точка Р соответствует числу 5π/4, а значит, и любому числу вида 5π/4+2πk. Тогда получим  t =3π/4+2πk,  t =5π/4+2πk Ответ: t =3π/4+2πk,  t =5π/4+2πk   Замечание. Можно было рассуждать немного по-другому: Точка Р соответствует числу -3π/4, а значит, и любому числу вида -3π /4+2πk. Получим две серии значений: t =3π/4+2πk(для точки М) и t =-3π/4+2πk(для точки Р). Чем это решение лучше по сравнению с приведенной записью ответа  к примеру 3? Только тем, что обе серии значений можно охватить одной формулой: t = 3π/4+2πk Пример 4.Найти на числовой окружности точки с абсциссой x ≥ −√2/2 и записать, каким числам t они соответствуют. Решение: Прямая x =−√2/2 пересекает числовую окружность в точках М и Р (см. рис. к примеру 3). Неравенству x ≥ −√2/2 соответствуют точки дуги РМ. Точка М соответствует числу 3π/4 (из данных таблицы). Значит, и любому числу вида −3π/4+2πk. Точка Р соответствует числу −3π/4, а значит, и любому числу вида −3π/4+2πk. Тогда получим −3π/4+2πk≤ t ≤3π/4+2πk. Ответ : −3π/4+2πk ≤ t ≤ 3π/4+2πk.

Синус и косинус. Тангенс и котангенс.

Определение 1.Если точка M числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки M   называют косинусом числа t и обозначают cos t, а ординату точки M называют синусом числа t и обозначают sin t. Итак, если M(t)=M(x;y) тогда  x=cos t, y=sin t.  Отсюда следует, что −1≤ cos t≤ 1,−1 ≤ sin t ≤1. Определение 2.Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t и обозначают tgt. Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и обозначают ctgt.  Получим, что: tgt=sin t/cos t; ctgt=cos t/sin t. Говоря о tg t, подразумевают, что cos t  0, а говоря о ctg t, подразумевают, что sin0. Мы отмечали, что каждая точка числовой окружности имеет в системе хОу свои координаты, причем х > 0, у > 0 в первой четверти; х < 0, у > 0 во второй четверти; х < 0, у < 0 в третьей четверти; х > 0, у < 0 в четвертой четверти.  Если точка А(1; 0) движется по часовой стрелке, то знаки синуса и косинуса также определяются тем, в какой четверти окажется точка. Знаки тангенса. По определению tgt=sin t /cos t . Поэтому tg t > 0, если sin t и cos t имеют одинаковые знаки, и tg t < 0, если sin t и cos t имеют противоположные знаки. Уравнение числовой окружности имеет вид х2 + у2 = 1; фактически получено важное равенство, связывающее sin t и cos t: cos2 t + sin2 t = 1. Это выражение- основное тригонометрическое тождество. Нам важно научиться находить координаты точек числовой окружности, и прежде всего тех, которые представлены на первом и втором макета . Необходимость этого стала теперь предельно ясной: опираясь на таблицы из § 5, мы без труда составим соответствующие таблицы для значений cos t и sin t. Зная значения синуса и косинуса числа t> нетрудно вычислить соответствующие значения тангенса и котангенса. Тем не менее есть смысл составить таблицу основных значений тангенса и котангенса. Знак «- «означает, что не существует значение, т.к. на 0 делить нельзя.   Запишем важные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса.  Свойство 1.Для любого значения t справедливы равенства:sin (-t) =-sin t; cos (-1) =cos t; tg (-1)=-tg t; ctg (-1) = -ctg t. Свойство 2. Для любого значения t справедливы равенства sin (t + 2nk) = sin t; cos (t + 2nk) = cos t. Свойство 3. Для любого значения t справедливы равенства: sin (t + π)= -sin t;  cos (t + π)= - cos t tg (t + π) = tg t; ctg (t + π) = ctg t (или можно записать tg (t + πk) = tg t; ctg (t + πk) = ctg t Свойство 4. Для любого значения t справедливы равенства: sin (t + π/2)= cos t;  cos (t + π/2)= - sin t. Для чего нужны синусы и косинусы в обычной жизни? На практике синусы и косинусы применяются во всех инженерных специальностях, особенно в строительных. Их используют моряки и летчики в расчетах курса движения. Не обходятся без синусов и косинусов геодезисты и даже путешественники. В географии эти понятия применяют для измерения расстояний между объектами и в спутниковых навигационных системах. Пример 1. Вычислить синус и косинус t, при t=53π/4. Решение: Поскольку, числам t и t+2πk, k – целое число, соответствует одна точка числовой окружности, то: 53π/4=(12+5/4) π=12π+5π/4=5π/4+2π 6. Воспользуемся свойством: sin(t +2πk) = sin(t), cos(t +2πk)= cos(t).  sin(5π/4+2π 6) = sin(5π/4) = sin(π/4+π), cos(5π/4+2π 6) = cos(5π/4) = cos(π/4+π). Воспользуемся свойством: sin(t +π)= −sin(t), cos (t +π)= −cos(t). sin(π/4+π)=−sin(π/4), cos(π/4+π)=−cos(π/4). Из таблицы значений синуса и косинуса получаем: sin(53π/4) = − √2/2; cos(53π/4)=− √2/2. Пример 2. Решите уравнение и неравенство: а) sin(t)= √3/2. б) sin(t) > √3/2. Решение: sin(t) – это ордината точки числовой окружности (из определения).  Значит на числовой окружности нужно найти точки с ординатой √3/2. Пусть, это будут точки F и G. Определим, каким значениям t соответствуют точки F и G на рисунке. а) Точки F и G имеют координаты: π/3+2πk и 2π/3+2πk.  б) Точки, которые удовлетворяют неравенству sin(t)> √3/2, расположены на дуге FG. Тогда: π/3+2πk < t < 2π/3+2πk.  Ответ : a) t =π/3+2πk и t =2π/3+2πk.  б) π/3+2πk < t <2π/3+2πk.  Пример 3. Решить уравнение и неравенство:  а) cos(t)=1/2. б) cos(t) >1/2.Решение: cos(t) – это абсцисса точки числовой окружности (из определения). Значит, на числовой окружности необходимо найти точки с абсциссой равной 1/2. Пусть это будут точки F и G (см. рисунок). Надо определить, каким значениям t, они соответствуют.  а) Точки F и G имеют координаты: −π/3+2πk и π/3+2πk.  б) Точки, которые удовлетворяют неравенству cos(t) >1/2, расположены на дуге FG. Тогда: −π/3+2πk < t < π/3+2πk.  Ответ: a) −π/3+2πk и π/3+2πk. .  б) −π/3+2πk < t < π/3+2πk. Пример 4.   Решить уравнения: а)  sin t = 0;  б) sin t = 1;    в) sin t = -1. Решение: а) Нам нужно найти на числовой окружности точки с ординатой 0 и записать, каким числам t они соответствуют. Ординату 0 имеют точки А и С , они соответствуют числам 0 (точка А), π (точка С), 2 π (точка А), 3 π (точка С), - π (точка С),  -2 π (точка А) и т. д. Обобщая, это можно записать так: точки А и С соответствуют числам вида πk. Итак, решения уравнения sin t = 0 имеют вид t = π k. б) Ординату 1 имеет точка В числовой окружности, она соответствует числу π/2, а значит, и всем числам вида π/2 + 2πk. Итак, решения уравнения sin t = 1 имеют вид t = π/2 + 2πk. в) Ординату -1 имеет точка D числовой окружности, она соответствует числу - π/2, а значит, и всем числам вида - π/2+ 2πk. Итак, решения уравнения sin t = -1 имеют вид t = -π/2 + 2πk Ответ: а) t = π k;  б) t = π/2 + 2πk; в) t = -π/2 + 2πk Пример 5.   Решить уравнения: а) cos t = 0;  б) cos t = 1;  в) cos t = -1. Решение; а) Нам нужно найти на числовой окружности точки с абсциссой 0 и записать, каким числам t они соответствуют. Абсциссу 0 имеют точки В и D, они соответствуют числам π/2  (точка В), 3π/2 (точка D),5 π/2 (точка В), 7π/2(точка D), -π/2   (точка D), - 3π/2 (точка В) и т. д. Обобщая, это можно записать так: точки В и D соответствуют числам вида  π/2 + πk. Итак, решения уравнения cos t = 0 имеют вид t = π/2 + πk. б) Абсциссу 1 имеет точка А числовой окружности,  она соответствует числу 0, а значит, и всем числам вида 0 + 2 πk, т. е. 2 πk.Итак, решения уравнения cos t = - 1 имеют вид t = 2 πk. в)    Абсциссу -1 имеет точка С числовой окружности, она соответствует числу π, а значит, и всем числам вида π + 2 πk. Итак, решения уравнения cos t = -1 имеют вид t = π + 2 πk. Ответ: a) t = π/2 + πk; б) t = 2 πk; в) t = π + 2 πk Пример 6. Вычислить тангенс и котангенс t, при: t = −7π/3.Решение: Числам t и t+2πk, где k – целое число, соответствует одна точка числовой окружности, тогда: −7π/3= −(2+1/3) π = −2π+ (−π/3)=(−π/3)+2π. Воспользуемся свойством: tg(x +πk)=tg(x), ctg(x+πk)=ctg(x).  tg((−π/3)+2π)=tg(−π/3), сtg((−π/3)+2π)=сtg(−π/3). Воспользуемся свойством: tg(−x) = −tg(x), ctg(−x) = −ctg(x).  tg(−π/3)= −tg(π/3), сtg(−π/3)= −сtg(π/3).  Из таблицы значений получаем: tg(−7π/3)=−tg(π/3)=− √3; сtg(−7π/3)= −сtg(π/3)= − √3/3. Тригонометрические функции числового аргумента

Каким бы ни было действительное число t, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число sin t. Правда, правило соответствия довольно сложное и заключается в следующем. Чтобы по числу t найти значение sin t  нужно: 1) расположить числовую окружность на координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1; 0); 2)  на окружности найти точку, соответствующую числу t; 3)  найти ординату этой точки. Эта ордината и есть sin t. Фактически речь идет о функции s = sin t, где t — любое действительное число. Мы умеем вычислять некоторые значения этой функции (например, sin 0 = 0, sin π/6= 1/2   и т. д.), знаем некоторые ее свойства. Точно так же мы можем считать, что уже получили некоторые представления еще о трех функциях: s = cos t, s = tg t, s = ctg t. Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t.  Есть целый ряд соотношений, связывающих значения различных тригонометрических функций. Некоторые из этих соотношений вы уже знаете: sin2 t + cos2 t = 1 (основное тригонометрическое тождество);   tg (t)= sin t / cos t при  t ≠ π/2+πk; ctg(t) = cos t /sin t при t ≠πk.Из этих формул можно получить соотношение, связывающее tg (t) и ctg(t): tg t ∙ctg t = 1 при t ≠ πk /2. Пример1. Упростить выражение: а)1+ tg2 (t); б) 1+ сtg2 (t). Всюду, напомним, подразумевается, что k € Z. Нам удалось получить две новых формулы. Запомните их. Полученные формулы используются в тех случаях, когда при заданном значении какой-либо тригонометрической функции требуется вычислить значения других тригонометрических функций того же аргумента.

Тригонометрические функции углового  аргумента

В функциях: y = sin(t), y = cos(t), y = tg(t), y = ctg(t). Переменная t может принимать не только числовые значения, то есть быть числовым аргументом, но ее можно рассматривать и как меру угла – угловой аргумент. Как мы определяли синус, косинус, тангенс, котангенс в геометрии? Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему. Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему. Определение тригонометрической функции углового аргумента Давайте определим тригонометрические функции, как функции углового аргумента на числовой окружности : С помощью числовой окружности и системы координат мы всегда с легкостью можем найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла: Поместим вершину нашего угла α в центр окружности, т.е. в центр оси координат, и расположим одну из сторон так, чтобы она совпадала с положительным направлением оси абсцисс (ОА)  Тогда вторая сторона пересекает числовую окружность в точке М.  Ордината точки М: синус угла α. Абсцисса точки М: косинус угла α Заметим, что длина дуги АМ составляет такую же часть единичной окружности что и наш угол α от 360 градусов:где t длина дуги АМ.  Градусная мера угла. 1) Мы получили формулу для определения градусный меры угла через длину дуги числовой окружности, давайте посмотрим внимательнее на нее:  Тогда запишем тригонометрические функции в виде: Например: При вычисление градусной или радианной меры угла следует запомнить! : Например: Обозначение рад. можно опускать! Что такое радиан? Существуют различные меры длины, времени, веса например: метр, километр, секунда, час, грамм, килограмм и другие.  Радиан – эта одна из мер угла. Стоит рассматривать центральные углы, то есть расположенные в центре числовой окружности.  Угол в 1 градус – это центральный угол опирающийся на дугу равную 1/360 части длины окружности. Угол в 1 радиан - это центральный угол опирающийся на дугу равную 1 в единичной окружности, а в произвольной окружности на дугу равную радиусу окружности.

Формулы приведения

Правило для формул приведения.  Если под знаком тригонометрической функции содержится число вида π×n/2  t, где n – любое целое число, то нашу тригонометрическую функцию можно привести к более простому виду, которая будет содержать только аргумент t. Такие формулы и называют формулами приведения. Вспомним некоторые формулы: sin(t + 2πk) = sin(t); cos(t + 2πk) = cos(t); sin(t + π) = -sin(t); cos(t + π) = -cos(t); sin(t + π/2) = cos(t); cos(t + π/2) = -sin(t); tg(t + πk) = tg(x); ctg(t + πk) = ctg(x) Формул приведения очень много, давайте составим правило по которому будем определять наши тригонометрические функции при использовании формул приведения: 1) Если под знаком тригонометрической функции содержатся числа вида: π + t, π - t, 2π + t и 2π - t, то функция не изменится, то есть, например, синус останется синусом, котангенс останется котангенсом. 2)Если под знаком тригонометрической функции содержатся числа вида: π/2 + t, π/2 - t,  3π/2 + t и 3π/2 - t, то функция изменится на родственную, т. е. синус станет косинусом, котангенс станет тангенсом. 3)Перед получившийся функцией, надо поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии 0 < t < π/2. Эти правила применимы и когда аргумент функции задан в градусах! Так же мы можем составить таблицу преобразований тригонометрических функций. Примеры применения формул приведения 1.Преобразуем cos(π + t). Наименование функции остается, т.е. получим cos(t). Далее предположим, что 0 < t < π/2,тогда (π + t) попадет в третью четверть, а там косинус отрицательный, согласно третьему пункту нашего правила, следует поставить минус перед нашей функцией: cos(t + π) = -cos(t) 2. Преобразуем sin(π/2 + t). Наименование функции изменяется, т.е. получим cos(t). Далее предположим что 0 < t < π/2, тогда (π/2 + t) попадет во вторую четверть, а там преобразуемая функция синус положительная, согласно третьему пункту нашего правила, следует поставить положительный знак перед нашей функцией:  sin(t + π/2) = cos(t) 3. Преобразуем tg(π - t). Наименование функции остается, т.е. получим tg(t). Далее предположим, что 0 < t < π/2, тогда (π - t) попадет во вторую четверть, а там тангенс отрицательный, согласно третьему пункту нашего правила следует поставить минус перед нашей функцией: tg(t - π) = -tg(t) 4. Преобразуем ctg(2700 + t). Наименование функции изменяется, то есть получим tg(t). Далее предположим что 0 < t < 900, тогда (2700 + t) попадет в четвертую четверть, а там преобразуемая функция котангенс отрицательная, согласно третьему пункту нашего правила следует поставить минус перед нашей функцией: ctg(2700 + t)=-tg(t).  Периодичность функций у = sin х, у =cos х

Толкование в словаре: Периодичность — это повторяемость  (цикличность) явления через определенные промежутки времени.  Движение Земли вокруг своей оси и ее обращение вокруг Солнца, смена времен года, вращение стрелок часов, биение сердца человека, морские приливы и отливы, свет, звук, тепло, , переменный электрический ток и т.д. представляют собой  колебательные, периодические процессы. Точно повторяющиеся движения называются периодическими.    Где вы встречались со словами период, периодический? Периодическая дробь, период полураспада радиоактивного вещества , периодическая печать , периодическая система Менделеева, периодическое воспаление глаз  и т.д.   Какую функцию будем называть периодической? Функция периодическая, если она повторяется. Есть понятие периода функции - длина интервала повторения.  Определение: Функцию y=f(x), xЄX, называют периодической, если существует такое число T≠0, что для любого x из множества Х выполняется двойное равенство: f(x–T)=f(x)=f(x+T). Число Т, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функций y=f(x).    Мы знаем, что для любого x справедливы равенства: Значит, мы можем сказать, что функции y = sin x, y =cos x – периодические функции, с периодом 2π. Периодичность — это и есть восьмое свойство функций. Посмотрите на график функции у = sin х.   Чтобы построить синусоиду, достаточно построить одну ее волну (на отрезке [0; 2 π] или на отрезке [-π; π]), а затем сдвинуть эту волну по оси х на 2 π вправо, на 2 π влево, на 4 π вправо, на 4 π влево и т. д. В итоге с помощью одной волны мы построим весь график. Посмотрим с этой же точки зрения на график функции у = cos х . И здесь для построения графика достаточно сначала построить одну волну, например, на отрезке [-π/2; 3π/2] , а затем сдвинуть ее по оси х на 2 π вправо, на 2 π влево, на 4 π вправо, на 4 π влево и т. д. Обобщая, делаем следующий вывод. Если функция у = f(x) имеет период Т, то для построения графика функции нужно сначала построить ветвь (волну, часть) графика на любом промежутке длины Т (чаще всего берут промежуток с концами в точках 0 и Т или –Т/2 и Т/2 ), а затем сдвинуть эту ветвь по оси х вправо и влево на Т, 2Т, ЗТ и т. д. У периодической функции бесконечно много периодов: если Т - период, то и 2Т - период, и ЗТ - период, и -Т - период; вообще периодом является любое число вида kT где k = ±1, ±2, ±3, ... . Обычно стараются, если это возможно, выделить наименьший положительный период, его называют основным периодом. Для функций у = sin х, у = cos х основной период равен 2 π. Итак, любое число вида 2 π k, где k = ±1, ±2, ±3, ... , является периодом функций у = sin х, у = cos х; 2 π - основной период и той и другой функции. Пример. Найти основной период функции: а) у = sin Зх;    б) у = cos 0,5х. Решение, а) Пусть Т — основной период функции у = sin Зх. Введем обозначение: f(x) = sin Зх. Тогда f(x + Т) = sin 3(x + Т) = sin (3х + ЗТ). Чтобы число Т было периодом функции, должно выполняться тождество sin (3х + ЗТ) = sin Зх. Значит, 3Т = 2 π п. Но поскольку речь идет о нахождении основного периода, получаем: 3Т = π , Т = 2 π/3 б)Пусть Т - основной период функции у = cos 0,5х. Введем обозначение: f(x) = cos 0,5х. Тогда f(x + Т) = cos 0,5(х + Т) = cos (0,5х + 0,5Т). Чтобы число Т было периодом функции, должно выполняться тождество cos (0,5х + 0,5Т) = cos 0,5х. Значит, 0,5Т = 2 π п. Но поскольку речь идет об отыскании основного (т. е. наименьшего положительного) периода, получаем: 0,5Т = 2 π, Т = 4 π. Ответ: а) Т = 2 π/3; б) Т = 4 π. Обобщением результатов, полученных в примере, является следующее утверждение: основной период функции у = sin kx и  (у = cos kx) равен  |2 π/ k| Преобразование графиков тригонометрических функций

Краткие напоминания основных преобразований графиков. 1.       Для построения графика функции у = f(x) + b надо перенести график функции на |b| единиц вдоль оси ординат - вверх при b > 0 и вниз при b < 0. 2.       Для построения графика функции у = f(x + a) надо перенести график функции на |a| единиц вдоль оси абсцисс - вправо при а < 0 и влево при а > 0. Теперь мы познакомимся еще некоторыми преобразованиями, позволяющими, зная график функции у = f(x) , довольно быстро строить графики функций у = mf(x) и у = f(kx), где m и k — любые действительные числа (кроме нуля). 3.       Для построения графика функции y = mf(x) (где m > 0) надо растянуть график функции у = f(x) в m раз вдоль оси ординат. Причем для m > 1 происходит действительно растяжение в m раз, для 0 < m < 1 - сжатие в 1/m раз. 4.       Для построения графика функции у = f(kx) (где к > 0) надо сжать график функции у = f(x) в k раз вдоль оси абсцисс. Причем для k > 1 происходит действительно сжатие в k раз, для 0 < k < 1 – растяжение в 1/k раз. 5.       Для построения графика функции у = -f(x) надо график функции y = f(x) отразить относительно оси абсцисс (это преобразование - частный случай преобразования 3 для m = -1). 6.       Для построения графика функции у = f(-х) надо график функции y = f(x) отразить относительно оси ординат (это преобразование - частный случай преобразования 4 для k = -1). Примеры. Графики  функции.