Конспект по математике "олимпиада есептері"

Областная олимпиада по математике, 2017 год, 11 класс

Задача №1.  Пусть O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Биссектриса угла BAC пересекает эту окружность в точке D, а биссектриса угла ABC пересекает эту окружность в точке E. Известно, что окружность, описанная около треугольника DEO, проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC. Найдите величину угла ACB. 
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Дана последовательность xn (n=1,2,…), в которой x1=0. Известно, что для всех целых n>1 xn=xn−1+[n24]. (Здесь [a] означает наибольшее целое число, не превосходящее a). Определите все значения n, при которых xn делится на n. 
комментарий/решение

---

Задача №3.  Найти все функции f:R→R, удовлетворяющие соотношению (x−2)f(y)+f(y+2f(x))=f(x+yf(x)) при всех x,y∈R. 
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  На научную конференцию прибыло 2017 ученых. Каждый из этих ученых знаком не более чем с тремя другими учеными, причем их знакомство взаимно (то есть если A знает B, то B знает A). На этой конференции ученые хотят послушать доклады тех ученых, с которыми они еще не знакомы. Докажите, что ученых можно распределить по 4 секциям так, чтобы на каждой секции присутствовало не более 1007 ученых, причем не знакомых друг с другом. 
комментарий/решение

---

Задача №5.  Чему равно наименьшее возможное значение выражения (x1−x2)2+(x2−x3)2+…+(x2016−x2017)2+(x2017−x1)2, где x1,x2,…,x2017 — различные целые числа. 
комментарий/решение

---

Задача №6.  Дан треугольник ABC. Пусть O — центр его описанной окружности, B1 и C1 — середины сторон AC и AB соответственно. Среди окружностей, которые содержат вершину A и точку O, но не проходят через точки B1 и C1 выберем окружность. Пусть эта окружность пересекает прямые OB1 и OC1