Конспект урока математики в 8 классе "Теорема Виета"

Учреждение: МКОУ ОШ с.Никулята

Учитель: Кореева Ираида Ивановна

Класс: 8

Предмет: математика

Тема: Теорема Виета

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.

Форма проведения урока: урок- практикум

Дидактическая цель урока: создать условия для усвоения и осмысления блока новой информации через создание проблемной ситуации и самостоятельную деятельность учащихся.

Содержательные цели урока:

·        обучающая: раскрытие связей между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами (теорема Виета); уметь применять теорему Виета при решении квадратных уравнений.

·        развивающая: развивать логическое  мышление, навыки сравнения и анализа, способствовать выработке у школьников умения обобщать изучаемые факты, формулировать выводы;  развивать исследовательские навыки и самостоятельность; развивать монологическую речь  в ходе  объяснений,  обоснований  выполняемых  действий; развивать коммуникативные навыки; навыки  самостоятельной  работы

·          воспитывающая: научить преодолевать трудности, настраиваться на успех в любом деле; формировать навыки сотрудничества, воспитывать диалоговую культуру, любовь к предмету.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация, таблицы, папки с уровневой самостоятельной работой (2 уровня) и домашней работой (3 уровня)

Ход урока:

1.     Оргмомент, мотивация

Приветствие, проверка присутствующих, готовности к уроку. Притча:

Был в древности один мудрец. У него было много последователей, многие у него учились. 

И  вот как-то  два его ученика поспорили между собой. Один утверждал, что сможет задать мудрецу такой вопрос, который поставит его в тупик. Второй сказал, что это невозможно.

Ранним утром первый ученик пошел в поле и поймал там прекрасную маленькую бабочку. Зажал ее в ладонях так, чтобы не было ее видно. Придумал он хитростью одолеть учителя: "Я спрошу у него  - жива ли бабочка, что в моих ладонях. Если он скажет что  нет, то я разожму ладони и она взлетит. Если же скажет да, то я раздавлю ее. И открыв ладони, он увидит лишь ее безжизненное тельце. Так он попадет в неловкую ситуацию, а я выиграю спор".

Пришел к своему мудрецу-учителю ученик и в присутствии всех спросил его:

- Учитель, мертва или жива бабочка в моих ладонях?

Мудрец посмотрел ему в глаза, подумал и сказал: - Все в твоих руках.

2.     Актуализация знаний:

1) х² + 4х – 7 = 0

2) 2х² + 6х = 6

3) 7х² - 14 = 0

4) х² + 5х – 1 = 0

5) 3х² - 5х + 19 = 0

6) х² – 13х = 0

Вопросы к классу:

·         Какие матем.модели вы видите на слайде?

·         Докажите, что это квадратные уравнения.

·         Какие из данных уравнений являются полными квадратными уравнениями? (1,2,4,5)

·         Решите неполные квадратные уравнения (3,6)

·         Какие квадратные уравнения являются приведенными? (1,4,6)

·         Почему эти уравнения называются приведенными? (старший коэффициент а = 1)

·         Как можно неприведенные сделать приведенными?

·         2 ур-ие сделайте приведенным.

·         От чего зависит число корней квадратного уравнения? (от дискриминанта)

·         Как найти дискриминант приведенного квадратного уравнения? (D = p² - 4q )

·         При каком значении q приведенное квадратное уравнение имеет корни (при q<0)

·         Имеют ли корни уравнения 1 и 4 ( Да, так как q<0)

3.     Этап мотивации и целеполагания:

1)Что мы знаем и умеем делать?Заполнение таблицы:

Что я знаю, умею	Что хочу узнать, чему научиться
Полные квадратные уравнения, способ их решения Решать неполные квадратные уравнения, способы их решения Решать задачи с помощью квадратных уравнений	Новый способ решения квадратных уравнений Научиться решать приведенные квадратные уравнения

2)Высказывание Аристотеля "Познание начинается  с  удивления" и высказывание  «Чтобы удивиться, достаточно одной минуты. Чтобы сделать удивительную вещь, нужны многие годы»  Клода Адриана  Гельвеция. Как вы понимаете эти высказывания? Дома у вас было задание: решить квадратные уравнения

х² – 2х – 3 = 0

х² + 5х – 6 = 0

х² – х – 12 = 0

х² + 7х + 12 =0

х² – 8х + 15 =0 Проверим. Удивились?

Учитель: Хотите научиться так быстро устно находить корни уравнений? Может быть вы сделаете какие-то предположения? Для этого надо исследовать связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

3)Сегодня мы будем исследователями.

Девиз к нашей дальнейшей работе: «Большая часть великих идей современных математиков, если не все, получила свое начало в наблюдении» Дж. Сильвестр.

В поиске закономерностей исследователи часто фиксируют свои наблюдения в таблицах, которые помогают обнаружить эти закономерности. План исследования на столах, на столах у вас лежат таблицы. (Приложение1). Занесем результаты в таблицу: заполним столбцы, в которых указываются коэффициенты, корни каждого квадратного уравнения(ученики работают в парах).

Попробуйте сформулировать свои выводы.

Ученики:

·         сумма корней приведенного квадратного уравнения равна -p, произведение корней равно q.

·         Если корни имеют одинаковые знаки, то q>0, если разные, то q<0

4)Учитель: Итак, вы получили те же выводы, что и французский ученый Франсуа Виет в 16 веке. Сообщение ученика:

Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции. По образованию – юрист, много занимался адвокатской практикой, а с 1571 по 1584 года был советником королей Георга 3 и Георга 4. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением. Он был широко образованным человеком. Знал астрономию и математику и все свободное время отдавал этим наукам.
Главной страстью Виета   была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики: Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся.

Виет создал по существу новую алгебру. Он ввел в нее буквенную символику и показал, как, оперируя символами, можно получить результат, который применим к любым величинам, т.е. решить задачу в его общем виде. Демонстрируя силу своего метода, ученый привел в своих работах запас формул, которые могли быть использованы для решения конкретных задач.

Действительно, мы знаем, как легко решать, например, квадратные уравнения. Для их решения имеются готовые формулы. До Ф.Виета решение квадратных уравнений выполнялось по своим правилам в виде очень длинных словесных рассуждений. После открытия Виета стало возможным записывать правила в виде формул.

Ф.Виет очень подробно изложил в своих трудах теорию решения уравнений с 1 по 4 степени. Не случайно за это Виета называют "отцом" алгебры, основоположником буквенной символики. Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета.

Теорема Виета стала ныне самым знаменитым утверждением школьной алгебры. Теорема Виета достойна восхищения, тем более что ее можно обобщить на многочлены любой степени.

-Какова тема нашего урока? Поставьте более конкретные задачи на урок.

4.Этап первичного усвоения знаний

1)Теорема Виета: (демонстрируется слайд)

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Запишите математическую модель теоремы в тетрадях.

Теорему Виета тебе

Я запомнить легко помогу

Сумма корней минус p

Произведение q

2)Устные задания для усвоения формулировки теоремы

3) Учитель: Можно применить теорему Виета для неприведенного уравнения?

Что для этого нужно сделать?

Ученики: Нужно разделить обе части уравнения на первый коэффициент и рассмотреть полученное приведенное уравнение.

Учитель: Верно. Попробуем сделать это в общем виде (слайд)

5.Этап осознания и осмысления блока новой информации

 1)с.173,№ 29.2(а, б),№ 29.3(а),№ 29.4(а) ,29.6(а, б),29.8(а, б)

Физкультминутка

2) Учитель организует индивидуальную работу по решению уравнений и доказательству теоремы.

-Учащиеся самостоятельно находят методом подбора корни приведенного квадратного уравнения, причем, ученик решает уравнение, соответствующее его порядковому номеру. Ученик, справившийся с заданием, на доске под своим порядковым номером записывает букву. Если уравнения решены верно, то получится словосочетание:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
о	т	е	ц	а	л	г	е	б	р	ы

Решите уравнение, соответствующее своему порядковому номеру, и выберите больший корень уравнения:

1.      х² + 7х - 18 = 0

2.      х² + 6х + 5 = 0

3.      х² -9х +14 = 0

4.      х² + 13х + 42 = 0

5.      х² + 2х - 3 = 0

6.      х² – х – 12 = 0

7.      х² + 12х + 35 = 0

8.      х² -10х + 21 = 0

9.      х² -х - 30 = 0

10. х² – 9х + 20 = 0

11. х² -11х + 24 = 0

   Код: большему корню уравнения соответствует буква

-11	- 10	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
я	к	м	ч	с	ц	г	и	н	ф	т	а	о	в	л	р	б	е	ы	п	у	д

- А кого считают отцом алгебры?

-Докажите т.Виета

План доказательства т.Виета

x² + px + q = 0

·        Записать формулу для нахождения D:

·        Записать формулы для нахождения x₁и x₂:

·        Найти сумму корней x₁+ x₂:

·        Найти произведение корней x₁· x₂:

3)Доказательство теоремы ( на слайде )

 Учитель: Назовите этапы доказательства( С чего начинали? Что делали дальше? К чему пришли? Какие математические знания использовали при доказательстве?)

4)с.168, Работа с учебником, взаимоконтроль в парах

5)Когда мы смотрим в окошко, видим много разного: и хорошего, и негативного. и интересного. Что нового на данном этапе вы узнали, заполните «окошко»:

6.Этап закрепления  изученного

Выполняется дифференцированная самостоятельная работа (2 уровня). (Приложение2)

7.Этап информации о домашнем задании

Каждый учащийся получает листок с 3-х уровневым домашним заданием. (Приложение3)

8.Этап подведения итогов урока и рефлексии       

-Как вы думаете, какие задачи мы сможем решить с помощью доказанной теоремы?

Ученики: Не решая квадратное уравнение, находим сумму и произведение корней.

Проверяем, правильно ли найдены корни уравнения.

Определяем знаки корней уравнения, не решая его.

Устно находим корни приведенного квадратного уравнения.

-Оцените свою работу на уроке.

-Дополните таблицу «Окошко».

Приложение №1

План исследования.

1.     Заполните таблицу.

2.     Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

3.     Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

4.     Ответьте на вопрос урока.

5.     Подготовьте отчет.

Задание: Заполнить таблицу

	Уравнение x2 + px +q = 0	p	q	x1	x2	x1 + x2	x1 ∙ x2
1	х2 – 2х – 3 = 0
2	х2 + 5х – 6 = 0
3	х2 – х – 12 = 0
4	х2 + 7х + 12 =0
5	х2 – 8х + 15 =0

Приложение №2

СР. Теорема Виета

Вариант А

1.     Для уравнения, имеющего корни х₁ и х₂, найдите их сумму и произведение:

а) х² - 3х -10 = 0,    б) х² +10х +21 = 0,

   х₁ + х₂ =_____,       х₁ + х₂ =____­­­­­­_,

   х₁ ∙ х₂ =_____.         х₁ ∙ х₂ =_____.

2.     Ученикам было предложено найти подбором корни уравнения

х² - 8х + 15 = 0. Выберите верный ответ.

А. 5 и -3; Б. 5 и 3; В. -5 и -3; Г. -5 и 3.

3.     Решите квадратное уравнение x² - 5x + 6 = 0.

х₁ + х₂ =__________________________________________________

х₁ ∙ х₂ =___________________________________________________

_________________________________________________________

4.Найдите корни уравнения х² - 7х + 12 = 0.

_________________________________________________________

СР. Теорема Виета

Вариант Б

1.     Для уравнения, имеющего корни х₁ и х₂, найдите их сумму и произведение:

а) х² + 3х - 54 = 0, б) 2х² + 11х - 4 = 0,

   х₁ + х₂ =_____,       х₁ + х₂ =____­­­­­­_,

    х₁ ∙ х₂ =_____.         х₁ ∙ х₂ =_____.

2.     Ученикам было предложено найти подбором корни уравнения

х² + 7х - 44 = 0. Выберите верный ответ.

А. 4 и 11; Б. -4 и 11; В. 4 и -11; Г. -4 и -11.

3.     Решите квадратное уравнение x² + 7x + 6 = 0.

х₁ + х₂ =__________________________________________________

х₁ ∙ х₂ =___________________________________________________

_________________________________________________________

4.Найдите корни уравнения x² - x - 6 = 0.

_________________________________________________________

Приложение №3

Домашнее задание:

1 уровень:

1.     Не решая уравнения х² - 7х + 9 = 0, запишите сумму и произведение его корней х₁ и х_2.

2.     Решите уравнения:

а) х² - 3х + 2 = 0,

б) х² + 7х + 12 = 0,

в) х² - 4х - 5 = 0.

2 уровень:

1. В уравнении х² - 12х + с = 0, один из корней х₁=5. Зная, что х₁+ х₂=12 и х₁ · х₂=с, найдите с.

2. В уравнении х² +рх + 15 = 0, один из корней х₁=3. Зная, что х₁+ х₂= -р и х₁ · х₂=15, найдите р.

3. Решите уравнения:

а) х² - 9х + 8 = 0,

б) х² + 12х + 20 = 0,

в) х² - 4х - 21 = 0.

3уровень:

1. В уравнении х² + рх - 12 = 0, один из корней х₁=4. Найдите коэффициент р и другой корень уравнения.

2. В уравнении 5х² +8х + с = 0 разность корней равна 0,4. Найдите с.

3. Найдите корни уравнений:

а) х² - 11х + 24 = 0,

б) х² + 10х + 24 = 0,

в) х² - 5х - 14 = 0.