Автор:
Расулова Разида Курбангаджиевна.
МКОУ
«Цудахарская СОШ»
АЛГЕБРА
10 класс
Тема.
Решение однородных тригонометрических уравнений.
Цель
урока: формирование умений учащихся решать однородные тригонометрические
уравнения.
И.
Проверка домашнего задания
1.
Обсуждение решение упражнения № 2 (6; 9; 11) за готовыми решениями.
2.
Решения аналогичных упражнений.
а)
1 + cos x + cos 2x = 0;
б) cos4 x - sin4 x
= ;
в) cos 4x + sin 2x
= 0;
г)
cos x (tg x - 1) = 0.
Ответы:
а) + ?n, ± + 2 ?n, nZ; б) ± + ?n, nZ;
в)
(-1)n+1 + ; + ?n, nZ; г) + ?n, nZ.
II.
Восприятие и осознание нового материала
1)
Рассмотрим уравнение вида asin x + bcos x = 0 (однородное уравнение 1-й
степени), где а и b не равны нулю. Значения x, при которых cos x равна нулю, не
удовлетворяет данному уравнению, ибо тогда и sin x тоже равнялся бы нулю, а cos
x и sin x не могут одновременно равняться нулю. Поэтому можно разделить обе
части уравнения почленно на cos x. Имеем:
;
atg x + b = 0; tg x = - .
x
= - arctg + ?n, nZ.
Выполнение
упражнений
Решите
уравнение.
1.
а) sinx + cosx = 0;
б) 16sin x = 5cos
x;
в) 2cos 2x + 3sin
2x = 0;
г) sin2 x + sin x
cos x = 0.
Ответ: а) -+?n, nZ; б) arctg + ?n, nZ; в) -arctg+, nZ; г) ?n, -+ ?n, nZ.
2.
Уравнения вида a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = 0 называется однородным
уравнением 2-й степени. Если числа а, b, с не равны нулю, то разделим данное
уравнение на cos2 x (или на sin2x). (В данном уравнении cos2x ? 0, ибо в противном
случае sin2 x тоже равнялся бы нулю, а cos x и sin x не могут одновременно
равняться нулю). Тогда
;
atg2x
+ btgx + c = 0.
Решив
полученное уравнение получим корни данного уравнения.
Выполнение
упражнений
1.
Решите уравнение:
а)
sin2 x = 3cos2 x;
б) sin2 x - 3 sin x
cos x + 2 cos2 x = 0;
в) 3sin2 x - 4sin x
cos x +cos2 x = 0;
г) sin2 x - 5sin x
cos x + 6cos2 x = 0.
Ответ: а) ± + ?n, nZ; б) arctg 2 + ?n, +
?n, nZ; в) + ?n, arctg +
?n, nZ; г) arctg 2 + ?n,
arctg 3 + ?n, nZ.
3.
Уравнения вида аn sinn x + an-1
sinn-1x cos x +... + a1 sinx cosn-1x + a0 cosn x = 0
называется
однородным уравнением n-ой степени относительно синуса и косинуса.
Если
ни один из коэффициентов an, а n-1, ... , a1, a0 не равен нулю, то, разделив
обе части уравнения почленно на cosnx, получим уравнение n-ой степени
относительно tgx. Если хотя бы один из коэффициентов an, а n-1, ... , a1, a0
равна нулю, то прежде чем выполнять деление на cosnx, следует доказать, что
cosnx ? 0, т.е. cos x ? 0.
Рассмотрим
пример:
Решите
уравнение cos2 x - 2 cos x sin x = 0.
Делить
обе части на cos2 x , cos2 x = 0 является решением данного уравнения. Это
уравнение можно решить:
И
способ (вынесение множителя)
cos2
x - 2 cos x sin x = 0
cos
x (cos x - 2 sin x) = 0
Отсюда cosx = 0 или cosx - 2sinx = 0.
1)
cos x = 0; x = + ?n, nZ.
2)
cosx - 2sinx = 0; ; 1 - 2tgx = 0; tgx = ; x = arctg + ?n, nZ.
Ответ: + ?n, nZ;
arctg + ?n, nZ.
II
способ. Разделим обе части на sin2 x, поскольку sin x ? 0 в данном уравнении,
ибо в противном случае и cos x = 0, что невозможно.
ctg2
x - 2ctg x = 0;
ctgх(ctg x - 2) = 0.
Отсюда
ctg x = 0, или ctg x = 2.
1)
ctg x = 0; x = + ?n, nZ.
2)
ctg x = 2; x = arcctg 2 + ?n, nZ.
Ответ: + ?n, arcctg 2 +
?n, nZ.
Выполнение
упражнений
1.
Решите уравнение:
а)
sin 2х - cos2 x = 0;
б) 2 sin2 x = sin
2x;
в) 3 sin 2x + cos
2x = cos2 x;
г) 1 - cos x = 2
sin cos .
Ответ: a) + ?n, arctg
+ ?n, nZ; б) ?n, + ?n, nZ; в) ?n, arctg 6 +
?n, nZ; г) 2?n, + 2?n, nZ.
2.
Решите уравнение:
а)
4sin2 x - sin2x = 3;
б) sin 2х + 4cos2 x = 1;
в) 5 sin2 x + 3 sin
x cos x - 4 = 0;
г) 2 sin x + cos x
= 2.
Ответ: а) arctg 3 + ?n, -
+ ?n, nZ; б) arctg3 + ?n, -
+ ?n, nZ; в) - arctg 4 + ?n,
+ ?n, nZ; г) + 2?n, 2arctg +
2 ?n, nZ.
III.
Подведение итогов урока
IV.
Домашнее задание
Раздел
II § 3 (3). Вопросы и задания для повторения раздела II № 17, 18. Упражнение№ 2
(8; 17; 22; 28; 36).
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.