Конспект урока по информатике на тему "Расчет количества вариантов" ( 8 класс)

Класс: 8

Тема урока: «Расчет количества вариантов».

Раздел программы: Элементы комбинаторики, теории множеств и математической логики

Номер урока в разделе: 1

Цель урока: формирование представления об основных понятиях комбинаторики.

Задачи урока:

Предметные:

Ø    Сформулировать определение понятия комбинаторика и её основные понятия (размещение, сочетание, перестановка, факториал)

Ø    Уметь рассчитывать количество вариантов

Метапредметные:

Ø    Используя схему, уметь анализировать к какому типу относится та или иная задача комбинаторики (размещение, сочетание, перестановка) и какую формулу для расчетов  необходимо применять.

Личностные:

Ø    Формировать математическую логику

Тип урока: усвоение и применения новых знаний

Оборудование/ресурсное обеспечение урока: компьютер, мультимедийный проектор, доска, экран, презентация.

Результаты обучения:

Знать /Понимать	Уметь
- что такое факториал -формулы расчета количества возможных вариантов; - формулы перестановки, сочетания, размещения.	- выполнять расчеты количества возможных вариантов, количества текстов данной длины; - применять формулы перестановки, сочетания, размещения.

Технологическая карта урока

Этапы урока (время)	Задачи этапа	Деятельность учителя	Деятельность учащихся	УУД
1.                 Мотивационно-целевой этап (5 мин)	Создание благоприятного климата на уроке	Приветствует учащихся, проверяет готовность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Слайд 2 «Вперед поедешь ─ голову сложишь, направо поедешь ─ коня потеряешь, налево поедешь ─ меча лишишься» Слайд 3 Рассмотрим две задачи. 1)          Сколько существует трёхзначных чисел? 2)          Сколько способов проехать из A в C, если система дорог такова, как показано на рисунке? Что объединяет эти задачи и фразу из сказки? Выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Целый раздел математики, именуемый комбинаторикой, занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае.	Приветствуют учителя, проверяют наличие учебного материала на столах, организует свое рабочее место. Читают содержимое слайда Предлагают варианты решения. Если таких вариантов нет, читают решение на слайде? Высказывают предположения.	Личностные: психологическая готовность учащихся к уроку, самоопределение
2.       Формулировка темы и целей урока (3 мин)	Актуализация способов действий	Предложенные задачи относятся к разделу математики – комбинаторика. Зачем изучать комбинаторику? Что изучает комбинаторика? Какие основные понятия к ней относятся? Как решать задачи по комбинаторике? Какова цель нашего урока?	Высказывают предположения Ответить на все эти вопросы.	Познавательные: структурирование знаний, рефлексия способов и условий действий, развитие умения догадываться Регулятивные: -развитие умения формулировать тему и цель урока Коммуникативные: умение высказывать  свое мнение Личностные: развитие логического мышления.
3.   Усвоение новых знаний (15 мин.)	Обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания детьми темы	Определение понятия комбинаторика. Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Слайд 5 Основные понятия комбинаторики: 1)              Перестановки  Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов. 2)              Размещения  Пример: Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком. 3)    Сочетания (комбинации) Используя алгоритм, предлагает решить задачи (1-6) и заполнить карточку. Слайды 6-18	Записывают определение понятия в тетрадь Записывают основные понятия комбинаторики в тетрадь. Заполняют карточку, часть 1, выполняют самопроверку с опорой на слайд.	Познавательные: Извлечение необходимой информации из прослушанного и прочитанного материала Регулятивные: планирование своей деятельности для решения поставленной задачи, контроль полученного результата, коррекция полученного результата Личностные: развитие умения анализировать, сравнивать, делать выводы; навыки самоанализа и самооценки. Коммуникативные: развитие монологической речи
4.   Динамическая пауза (1 мин)	Эмоциональная разрядка	Включает электронную физкультминутку.	Выполняют физкультминутку для снятия утомления	Здоровьесберегающая методика для снятия утомления
5.   Первичное закрепление материала (7 мин)	Установление правильности и осознанности изучения темы. Выявление пробелов первичного осмысления изученного материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления в памяти детей знаний и способов действий, которые им необходимы для самостоятельной работы по новому материалу	Предлагает решить самостоятельно несколько задач, используя схему, выбрать соответствующую формулу. (не менее 3-х задач) Слайд 11 Задача №7. Пятеро друзей сыграли между собой по одной партии в шахматы. Сколько всего партий было сыграно? (Сочетания из 5 по 2.  С52 = 5!/2!/(5 - 2)! = 5!/2!/3! = 4·5/2 = 10) Задача №8. Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола 6 гостей на 6 стульях? (Перестановки: P6 = 6! = 1·2·3·4·5·6 = 720.) Задача №9. В понедельник в пятом классе 5 уроков: музыка, математика, русский язык, литература и история. Сколько различных способов составления расписания на понедельник существует? (Число перестановок из 5 определяем по формуле  P5 = 5! = 1·2·3·4·5 = 120) Задача №10. Сколькими способами 10 футбольных команд могут разыграть между собой золотые, бронзовые и серебряные медали? (Число размещений определяем по формуле  А103 = 10!/(10 - 3)! = 10!/7! = 8·9·10 = 720) Задача №11. В хоровом кружке занимаются 9 человек. Необходимо выбрать двух солистов. Сколькими способами это можно сделать? (Число сочетаний из 9 по 2.  С92 = 9!/2!/(9 - 2)! = 9!/2!/7! = 8·9/2 = 36.) Критерии оценивания: 3 задачи «5» 2 задачи «4» 1 задача «3». Ни одной «2»	Решают задачи, заполняют карточку – часть 2.	Познавательные: уметь работать с информацией, анализировать алгоритм (схему решения задач) и структурировать полученные знания и применять в самостоятельной работе;  контроль и оценка процесса и результатов деятельности Личностные: навыки самоанализа и самооценки;
6.   Итоги урока (4 мин)		Где в информатике применяется комбинаторика? Слайд 19 На самом деле довольно много где. 1.              К примеру, комбинаторика, по сути, впервые упомянутая Лейбницем, вышла в так называемую задачу о семи мостах, которая дала начало теории графов, и уже на основе которой разработаны, например, сетевые протоколы динамической маршрутизации. 2.              Решение задачи о кратчайшем пути в графе, которая сейчас, вроде бы, решается полным или частичным перебором, что тоже является комбинаторикой, а уже само решение такой задачи ложится в основу маршрутизации в сетях. 3.              Так же она является неотъемлемой частью создания искусственных нейронных сетей, что является частью развития отрасли искусственного интеллекта. 4.               Так же применяется в криптографии. 5.              Перебор паролей, например. 6.              Расчеты всевозможные, например, каково количество возможных битовых строк длиной N бит.	Слушают и схематично представляют области применения комбинаторики в  информатике	Ценно-смысловая ориентация.
7.   Рефлексия (4мин)	Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых	Выборочная проверка карточек 1 и 2 части Задает вопросы: -Можете ли вы назвать тему урока? Какие типы задач мы решали? Научились ли вы определять тип  сочетаний и решать задачи, используя соответствующие формулы? - Какая задача показалась самой простой (трудной)? - Что у вас получилось лучше всего и без ошибок? - Какое задание было самым интересным и почему? - Как бы вы оценили свою работу?	Отвечают на вопросы учителя	Познавательные: Построение речевого высказывания в устной форме. Регулятивные: самоконтроль и самооценка своей деятельности в рамках урока Коммуникативные: умение слушать и вступать в диалог, формулирование и аргументация своего мнения Личностные: рефлексия способов  и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности
8.                     Информация о домашнем задании (1 мин)	Обеспечение понимания учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания	Задает домашнее задание. Используя ссылку, подготовить сообщение «Об истории комбинаторики» http://retrogorod.com/article.php?id=506 «Области применения комбинаторики». Кто не решил все задачи из части 2, доделать дома	Работа с дневниками	Личностные: формирование навыков самоорганизации

Часть 1. Карточка для учащихся
Вопросы и задачи	Тип задачи и формула	Решение и ответ
Вопрос 1: Сколькими способами можно переставить яблоко, банан и грушу?
Вопрос 2: Сколькими способами можно выбрать А) один фрукт; Б) два фрукта; В) три фрукта?
Вопрос 3: Сколькими способами можно раздать по одному фрукту Даше и Наташе?
Задача 4. Сколько разных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна из цифр не повторяется?
Задача 5. Сколько разных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна из цифр не повторяется?
Задача 5.1 Сколько разных цепочек длинной 3 можно записать из букв А, Б, В, Г, Д, Е при условии, что буквы могут повторяться?
Задача 6. Необходимо выделить трех их пяти учеников на дежурство в столовую. Сколькими способами это можно сделать?
Часть 2. Самостоятельное решение задач:	Тип задачи и формула	Решение и ответ
Задача №7. Пятеро друзей сыграли между собой по одной партии в шахматы. Сколько всего партий было сыграно?
Задача №8. Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола 6 гостей на 6 стульях?
Задача №9. В понедельник в пятом классе 5 уроков: музыка, математика, русский язык, литература и история. Сколько различных способов составления расписания на понедельник существует?
Задача №10. Сколькими способами 10 футбольных команд могут разыграть между собой золотые, бронзовые и серебряные медали?
Задача №11. В хоровом кружке занимаются 9 человек. Необходимо выбрать двух солистов. Сколькими способами это можно сделать?

Используемые источники и ресурсы:

—  http://www.mathematichka.ru/ege/problems/b10-cube1.html

—  http://repetitor-problem.net/primeryi-resheniya-kombinatornyih-zadach-po-sheme

—  http://mathprofi.ru/zadachi_po_kombinatorike_primery_reshenij.html

—  http://mathprofi.ru/formuly_kombinatoriki.pdf

—  https://www.matburo.ru/tv_komb.php

—  https://toster.ru/q/193497

—  http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/524840/

—  http://www.kvant.info/spivak67/archiv/19992000/spivak67/s_comb.htm

Дополнительный материал к уроку для сильных обучающихся, самостоятельно решают задачи и проводят самопроверку.  Карточки с примерами задач с ответами и объяснением. (Можно решать, используя сайт http://mathematichka.ru/school/combinatorics/combination_problems.html ). При необходимости, последовательно открывая ответ, а потом решение.

Задача 1a	Задача 1b
При окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками. Сколько всего визитных карточек перешло из рук в руки, если во встрече участвовали 6 специалистов?	При встрече каждый из друзей пожал другому руку. Сколько всего было рукопожатий, если встретились 6 друзей?
Ответ: 30	Ответ: 15
Решение. Каждый из 6-ти специалистов отдал по 5 карточек (всем, кроме себя). Потребовалось  6·5 = 30 карточек.	Решение. В одном рукопожатии равноправно участвуют два человека. 6 друзей объединялись в группы по 2 без учёта порядка следования. Такие группировки (выборки) называются сочетаниями. Число сочетаний определяем по формуле  С62 = 6!/2!/(6 - 2)! = 6!/2!/4! = 5·6/2 = 15.  о вычислениях подробнее
Задача 2a	Задача 2b
В хоровом кружке занимаются 9 человек. Необходимо выбрать двух солистов. Сколькими способами это можно сделать?	В спортивной команде 9 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 36	Ответ: 72
Решение. Два солиста равноправны. (Может быть, и петь планируют дуэтом.) Нас не волнует порядок следования в группе из 2-ух человек, выбранных из 9-ти. Значит определяем число сочетаний из 9 по 2.  С92 = 9!/2!/(9 - 2)! = 9!/2!/7! = 8·9/2 = 36.	Решение. Казалось бы, мы снова выбираем 2-ух человек из 9-ти, но теперь между ними качественная разница. Они будут выполнять разные обязанности в команде. Мы выбираем капитана И заместителя независимо друг от друга. Поэтому применим правило умножения вариантов (И-правило). Из 9-ти человек капитана можно выбрать 9-тью способами. Его заместителя из оставшихся 8-ми человек - 8-мью способами. Общее число вариантов: 9·8 = 72. (Заметьте, что если сначала выбрать заместителя из 9 человек, а потом капитана из оставшихся 8-ми, результат будет тот же.) Можно рассуждать иначе. Есть два места для капитана и его заместителя, нужно разместить на них 2-ух человек, выбрав их из 9-ти. Такие группировки (выборки) называются размещениями. Число размещений определяем по формуле  А92 = 9!/(9 - 2)! = 9!/7! = 8·9 = 72. о формуле подробнее
Задача 3a	Задача 3b
Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола 6 гостей на 6 стульях?	В понедельник в пятом классе 5 уроков: музыка, математика, русский язык, литература и история. Сколько различных способов составления расписания на понедельник существует?
Ответ: 720	Ответ: 120
Решение. Легко понять, что в этой задаче речь идет о перестановках. 6 гостей занимают все 6 стульев и могут только меняться местами. Число перестановок из 6 определяем по формуле  P6 = 6! = 1·2·3·4·5·6 = 720.	Решение. Может быть, не так очевидно, но это тоже перестановки. С точки зрения математики, вообще та же самая задача. Представьте себе, что расписание составляете вы. Чертите таблицу с пятью строками для пяти уроков ("готовите стулья") и вписываете в каждую строку название одного из 5-ти предметов ("рассаживаете гостей"). Число перестановок из 5 определяем по формуле  P5 = 5! = 1·2·3·4·5 = 120.
Задача 4a	Задача 4b
Пятеро друзей сыграли между собой по одной партии в шахматы. Сколько всего партий было сыграно?	Сколькими способами 10 футбольных команд могут разыграть между собой золотые, бронзовые и серебряные медали?
Ответ: 10	Ответ: 720
Решение. В шахматной партии 2 равноправных участника (точно также, как в задаче о рукопожатиях). Значит из 5-ти человек формируем группы по 2 без учета порядка следования - сочетания. Определяем число сочетаний из 5 по 2.  С52 = 5!/2!/(5 - 2)! = 5!/2!/3! = 4·5/2 = 10.	Решение. На пьедестале почёта находятся 3 команды из 10, и для них очень существенно, кто какое место занял, т.е. порядок следования. Составление групп с учетом порядка следования - размещения. Число размещений определяем по формуле  А103 = 10!/(10 - 3)! = 10!/7! = 8·9·10 = 720. Другой способ решения с использованием И-правила, как в задаче 2б. Однако, чем больше выборка, тем удобнее сразу применять готовую формулу.
Задача 5a	Задача 5b
В меню столовой предложено на выбор 2 первых блюда, 6 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обеда, состоящего из первого, второго и третьего блюда, можно составить?	Имеется 6 видов овощей. Решено готовить салаты из трёх видов овощей. Сколько различных вариантов салатов можно приготовить?
Задача 6a	Задача 6b
В магазине продаются блокноты 7 разных видов и ручки 4 разных видов. Сколькими разными способами можно выбрать покупку из одного блокнота и одной ручки?	В магазине продаются блокноты 7 разных видов и ручки 4 разных видов. Сколькими способами можно выбрать покупку из двух разных блокнотов и одной ручки?

Краткое описание документа:

В соответствии с ФГОС ООО в содержании программы по информатике появился новый раздел " Математические основы информатики", а в нем тема "Элементы комбинаторики, теории множеств и математической логики".

Данный конспект урока "Расчет количества вариантов" является первым в этой теме.

Тип урока: усвоение и применения новых знаний.