Конспект урока по теме «Понятие логарифма»

Урок алгебры в 11 классе. Тема: «Свойства логарифмов».

Цели:

-формирование информационной компетенции через умение делать самостоятельные выводы и обобщения, анализировать и рецензировать ответы товарищей;

-формирование учебно-познавательной компетенции в ходе развития навыков самоконтроля, определения и выделения главного;

-формирование коммуникативной компетенции в ходе активных диалогов, умения обосновывать суждения, давать определения.

Тип урока: урок открытия новых знаний.

Ход урока.

     1.             Организационный момент.

     2.              Актуализация опорных знаний и умений учащихся.  

Устная фронтальная работа.

1.     Вычислите:

2.     Сравните  с единицей:

3.     Вычислите:  

4.     Вычислите:

5.     Вычислите:

6.     Сравните числа:  и

7.     Вычислите:

8.      Решите уравнение:

а) ;  б)   в)   г)    

     3.            Формирование новых знаний учащихся.

 Остановимся на решении последнего показательного уравнения   Геометрическая иллюстрация представлена в презентации. График непрерывной функции    пересекается с прямой   имеет корень. Но, в отличии от предыдущих случаев точное значение мы указать не можем. Можем только установить, что оно заключено в промежутке от 1 до 2. Таким образом,  перед нами стоит  вопрос: «Как записать этот корень?». Обдумывая эту  ситуацию, математики ввели в рассмотрение новый символ – логарифм. С помощью этого символа корень уравнения  записали так:  (читается: логарифм числа 3  по основанию 2).  

Логарифмом положительного числа b  по положительному и не равному единице основанию a называется показатель степени в который надо возвести число a, чтобы получить b.

 x = log_ab=>a ^x = b (где  a>0,  a≠1,  b>0).

Например   а) , так как  = 81;   б)  3, так как  = 125;

в), так как (0,5)^-4 = 16.

 Однако, в отличие от предыдущих  уравнений, корень этого уравнения является иррациональным числом. Предположим, что корень данного уравнения является числом рациональным, т.е.натуральные числа). Тогда выполняется равенство  или   Но 2 в любой натуральной степени будет числом четным, а 3  в любой натуральной степени – число нечетное. Получаем противоречие, которое и доказывает, что корень уравнения – число иррациональное.

Введение основного логарифмического тождества. Обратите внимание на то, что x = log₂3  является корнем уравнения  ,

а поэтому . Таким образом,  получается основное логарифмическое тождество

a^logab=b ( где  a>0,  a≠1,  b>0 ).

 Основные свойства логарифмов.  Эти свойства вытекают из определения логарифма и свойств показательной функции. При любом a > 0 (a  1) выполнены равенства:

log_aa = 1;   log_a1 = 0;  log_aa^c = c.

Операцию вычисления  логарифма часто  называют логарифмированием,  а обратную – потенцированием.  (Операция логарифмирования является обратной для операции возведения  в степень с соответствующим основанием.)

Возведение в степень                                                 Логарифмирование

 

     4.            Формирование умений и навыков учащихся.(14 мин)

№ 41.3 устно, 41.5, 41.6 , 41.8; 41.9, 41.14; 41.15(а,б)

     5.            Первичный контроль знаний.(5 мин)

 В карточках зашифрованы области науки,  которых применяется логарифмы.  Вы должны их прочитать. Каждый ученик выбирает себе карточки с разными номерами. Решив, находит букву, соответствующую его ответу. Расположите букву в порядке вариантов ответов, и вы узнаете, где применяются логарифмы.

Карточка 1.

1.     Вычислите log₂ 16.

2.     Вычислите log₃ 3.

3.     Вычислите log₃

4.     Вычислите

5.     Вычислите

6.     Найдите х, если log_x 36 = 2.

2	4	-2	1	5	16	3	8	6
х	ф	з	и	м	и	я	к	а

Ответ: физика.

Карточка 2.

1.     Вычислите log₃ 27.

2.     Вычислите log₄ 1.

3.     Вычислите log_1/2 4.

4.     Вычислите .

5.     Вычислите .

6.     Найдите х, если log₂ 4=x.

2	3	9	0	6	-2	15	13	4
а	м	к	у	ф	з	и	ы	н

Ответ: музыка.

Карточка 3.

1.     Вычислите log₂ 16

2.     Вычислите log _0,2 0,008

3.     Вычислите log _√5 1

4.     Вычислите log _1/3  9

5.   Вычислите

6.     Вычислите log _0,2 0,04

7.    Вычислите

8.    Вычислите

9.    Вычислите

10.                Вычислите

32	π	4	0,2	0	-2	2	5	1/2	3		-4
я	0	а	ф	т	р	н	м	о	с	е	и

Ответ: астрономия.

Карточка 4.

1.           Вычислите

2.           Вычислите

3.              Вычислите

4.              Вычислите

5.           Вычислите

6.              Вычислите

7.           Вычислите

8.              Вычислите

9.                     Вычислите  

10.            Вычислите  

11.         Вычислите

32	5	1/2	3/5	-3	2	1	-1	3	0	-2	4
и	й	м	о	л	0	с	с	г	е	а	я

Ответ: сейсмология.

Карточка 5.

1.   Вычислите

2.   Вычислите

3.    Вычислите  

4.    Вычислите

5.    Вычислите

-2	1	0	2	-1	4	5	32	16
ф	и	х	м	к	а	з	и	я

Ответ: химия.

Карточка 6.

1.   Вычислите

2.   Вычислите

3.    Вычислите

4.   Вычислите

5.    Вычислите

6.    Вычислите

7.    Вычислите

3	2	0	6	18	4	1/2	1	16
р	х	и	с	я	т	о	ф	и

Ответ: история.

Карточка 7 ( у доски).

Вычислите :

lg10=                 lg0,1=1

lg100=               lg0,01=2

lg1000=           lg0,001=

lg10000=         lg0,0001=

     6.            Итог урока.3 мин

Слово логарифм происходит от слияния двух греческих слов (λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число») и переводится как отношение чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое членом геометрической прогрессии. В первые это понятие ввел английский математик Джон Непер, о чем сообщалось в публикации 1614 года. Кроме того, этот человек известен тем, что он первый изобрел таблицу логарифмов, которая пользовалась большой  популярностью среди ученых на протяжении долгих лет. Непер писал:

«Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, освободить людей от трудности и скуки вычислений, докучливость которых обыкновенно отпугивает очень многих от изучения математики».

Посмотрим на значения десятичных логарифмов (на  доске решает учащийся)

lg10=1              lg0,1=-1

lg100=2            lg0,01=-2

lg1000=3         lg0,001=-3

lg10000=4       lg0,0001=-4.

Тут мы видим интересное свойство - логарифмы позволяют компактно представить широкий диапазон значений. Там, где исходное значение увеличивалось кратно (геометрическая прогрессия), логарифм этого значения изменялся на единицы (арифметическая прогрессия). Это свойство позволяет использовать логарифмы, и не только десятичные, во всевозможных шкалах, ведь логарифмы позволяют преобразовывать кратные значения в равномерную шкалу, что немаловажно. Так, логарифмическими являются шкала громкости звука, шкала Рихтера, шкала яркости звёзд. Основания логарифмов в этих шкалах разные, например, логарифмы шкалы громкости звука имеют основание 10, а логарифмы шкалы яркости звёзд - корень пятой степени из 100.

     7.            Домашнее задание.(2мин)

П. 41; 41.5, 41.6 , 41.8 41.9, 41.14; 41.15(в,г)

.