Конспект урока по теме "Решение квадратных уравнений" 8 класс

                   Конспект урока по теме «Решение квадратных уравнений»

Класс: 8

Предмет: алгебра

Тип урока: обобщающий урок

Цель: рассмотреть различные  способы решения квадратных уравнений и научиться их применять.

Задачи:

• Формировать навык применения различных способов к решению квадратных уравнений.
• Развивать логическое мышление, умение анализировать и делать выводы; познавательный интерес к предмету через систему задач.

Организационный момент.

Когда уравненье решаешь, дружок,
Ты должен найти у него корешок.
Значение буквы проверить несложно,
Поставь в уравненье его осторожно.
Коль верное равенство выйдет у вас,
То корнем значенье зовите тотчас.
О.Севостьянова

1. Вступительное слово учителя.

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратного уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют быстро и рационально решать многие уравнения.

2. Опрос-анкета. (8-11 класс). Анкета  и ответы в виде диаграммы выводятся на экран

• 1)Умеете, ли вы решать квадратные уравнения?
•       А)Да                    Б)Нет
• 2)Возникают ли трудности у вас при решении квадратного уравнения?
•      А)Да                    Б)Нет
• 3)Часто ли вы решаете квадратные уравнения.
•      А)Да                    Б)Нет
• 4)Столько способов решения квадратного уравнения вы знаете?
•  Ответ:      
• 5)Какой способ решения квадратных уравнений вы используете чаще других?

Ответ:

3. Сообщения учащихся.

Обратимся к истории: когда впервые встретились квадратные уравнения и как их решали.

Доклад по теме: Как решали квадратные уравнения в древности?

Необходимость решать уравнения  не только первой, но и второй степени ёщё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их   клинописных текстах  встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В Древней Индии задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г.  Там были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: "Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи.

Задача знаменитого индийского математика Бхаскары: 

Обезьянок резвых стая
 Всласть  поевши, развлекаясь.
 Их в квадрате часть восьмая
 На поляне забавлялась.
 А 12 по лианам.....
 Стали прыгать, повисая.
 Сколько было обезьянок,
 Ты  скажи мне, в этой стае?
(учащийся приводит решение этой задачи на доске)

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые  изложены в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.  

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х²+вх+с=0 , было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифелем. 

Вывод формулы решения квадратного уравнения   в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в 17 в. благодаря трудам Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

4. Доклад учащегося по теме: "Общие методы решения квадратных уравнений".

Корни квадратного уравнения находятся по формулам:

Выражение D = b²- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

• Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней;
• Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень;
• Если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.  

В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение  имеет два одинаковых корня.

Задание1: Решить квадратные уравнения по общим формулам.

1. 2х²-5х+2=0,

2.  6х²+5х+1=0,     

3.  2х²-3х+2=0,

4.  4х²-12х+9=0.     

 На выполнение этой работы даётся 7 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт к компьютеру и проверяет свои ответы по интерактивному упражнению, расположенному по следующему адресу: http://learningapps.org/display?v=4g6gp5gj.   

Доклад учащегося по теме «Теорема Виета»

x² + px +q = 0 – приведённое квадратное уравнение

по теореме Виета.

Если  то уравнение имеет два одинаковых корня по знаку и это зависит от коэффициента .

Если  p, то .

Если  p, то.

Например:

Если  то уравнение имеет два различных по знаку корня, причём больший по модулю корень будет , если p и будет , если p.

Задание 2: Решите приведённые квадратные уравнения, используя теорему, обратную теореме Виета:

1.     х²+10х+9=0,

2.     х²+7х+12=0,

3.      х²-10х-24=0,

4.      х²-16х+60=0,

5.      х²+5х-14=0.

На выполнение этой работы даётся 5 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт к компьютеру и проверяет свои ответы по интерактивному упражнению, расположенному по следующему адресу: http://learningapps.org/display?v=7u2828p3..

Доклад учащегося по теме: Метод "переброски".

Задание 3: Решите уравнения методом «переброски»:

1. 2х²-9х+9=0,

2.  10х²-11х+3=0,

3.  3х²+11х+6=0,

4.  4х²+12х+5=0,

5.  3х²+х-4=0.

На выполнение этой работы даётся 5 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт к компьютеру и проверяет свои ответы по интерактивному упражнению, расположенному по следующему адресу  http://LearningApps.org/watch?v=aognx12a 

 Доклад учащегося по теме: Метод "коэффициентов"

I. ax² + bx + c = 0, где a  0

1) Если а + b + с = 0, то х₁ = 1; х₂ = 

Доказательство:

ax² + bx + c = 0 |: а

х² +  х +  = 0.

По теореме Виета 

По условию а + b + с = 0, тогда b = -а – с. Далее получим

Из этого следует, что х₁ =1; х₂ = . Что и требовалось доказать.

2) Если а – b + с = 0 (или b = а +с ) , то х₁ = – 1; х₂ = – 

Доказательство:

По теореме Виета 

По условию а – b + с = 0 , т.е. b = а +с . Далее получим:

Поэтому х₁ = – 1; х₂ = – .

Задание 4: Решить уравнения методом "коэффициентов".

1.5х²-7х+2=0;

2.3х²+5х-8=0;

3.11х²+25х-36=0;

4.11х²+27х+16=0;

5.939х²+978х+39=0.

На выполнение этой работы даётся 5 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт к компьютеру и проверяет свои ответы по интерактивному упражнению, расположенному по следующему адресу:  http://LearningApps.org/watch?v=g2jjk1jt.

Далее следует доклад "Графический способ решения квадратных уравнений".

Если в уравнении  х² +  px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим  х² = - px - q.

 Построим графики зависимости у = х² и у = - px - q.

     График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая (рис.1).

 

Возможны следующие случаи:

- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

 Решим графически уравнение х² - 3х - 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х² = 3х + 4.

Построим параболу у = х² и прямую у = 3х + 4. Прямую

у = 3х + 4  можно  построить по двум точкам М (0; 4) и

 N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках

А и В с абсциссами х₁ = - 1 и х₂  = 4.

 Ответ: х₁ = - 1; х₂  = 4.

5. Подведение итогов .

Подбирая материал и изучая дополнительную литературу, я и мои докладчики открыли для себя много интересного и нового о квадратных уравнениях, чего нельзя прочитать в учебнике. В наше время невозможно представить себе решение как простейших, так и сложных задач не только в математике, но и в других точных науках, без применения решения квадратных уравнений.

Надеюсь и вы открыли для себя что-нибудь новое.

6. Домашнее задание:

Подобрать по 2 уравнения к каждому из предложенных способов и решить их.