Конспект урока по теме "Теорема Виета"

Урок алгебры в 8 классе по теме

"Теорема Виета"

Тип урока. Урок усвоения новых знаний.

Ход урока

Вступительное слово учителя. Сегодня мы с вами продолжаем изучать квадратные уравнения и их корни. Пусть слова Козьмы Пруткова "Зри в корень" будут эпиг­рафом урока. Запишите тему урока "Теорема Виета".

Франсуа Виет - французский математик 16 века. Он был адвокатом, позднее - советником французских коро­лей Генриха III и Генриха II. Однажды он сумел расшиф­ровать очень сложное испанское письмо, перехваченное французами. Инквизиция чуть не сожгла его на костре, обвинив в сговоре с дьяволом. Ф. Виета называют "от­цом буквенной современной алгебры». Он доказал тео­рему, которую мы будем сегодня изучать.

Математический диктант с проверкой

1.    Укажите коэффициенты a, b и с квадратного уравнения

а)     Зх² -5у+ 1 = 0,

б)     -x²+x-3 = 0,

в)     х²+2х+1 = 0.

2.    Сколько корней имеет квадратное уравнение

а)     5х²-х-7 = 0,

б)     х² + 2х + 1 = 0,

в)     (х + З)² = - 0,25?

3.  Запишите формулу корней квадратного уравнения.
Вопрос. Нужно ли было вычислять дискриминант в уравнении 2а для выполнения задания?

(Нет, потому что сво­бодный член этого уравнения отрицателен при а>0, следовательно,

 дискриминант  положителен).

Объяснение нового материала

Обратите внимание на уравнения 1в и 26. Чем они отличаются от остальных уравнений?

(Старший коэффи­циент в каждом из этих уравнений равен 1). Такие урав­нения имеют

свое название. Какое? Узнайте это из учеб­ника (стр. 117).

Вопрос. Какие уравнения называются приведенными? (Уравнения вида х²+ px+q=0).

         Вопрос. Можно ли обычное квадратное уравнение сде­лать приведенным?

         ах² + bх+с=0.

         х² +b /а •х +с/а = 0.

      Устное задание. Решить № 453.

Самостоятельная работа с проверкой

1 вариант № 450 (1) х² + 4х - 5 = 0.

2 вариант № 450 (2) х²  - 8х - 9 = 0.

Задание. Найдите сумму и произведение корней уравне­ния.

Вопрос.  Можем ли мы сделать предположение о связи между корнями приведенного

квадратного уравнения и его коэффициентами?

х₁+х₂ = -р, х₁•х₂ =q.

Но это нужно доказать. Может быть, не для всех приведенных уравнений эти равенства

 справедливы.

 Кста­ти, подобный случай описан в фантастическом рассказе А. Бестера "Пи-человек":

х² + х + 41 равно простому числу при х = 0,1,2... Но уже при х = n получается составное

число. Рекомендую вам прочитать рассказ и узнать, чему равно n.

Доказательство теоремы Виета. Учебник - стр.118.

Формулирование теоремы.

Вопрос. Можно ли применить теорему Виета для неприведенного квадратного уравнения?

Задание №453.

Вопрос. Справедлива ли т. Виета для приведенных урав­нений, у которых p²-4q <0?

Стихотворение

 (К. Вейерштрасс сказал, что нельзя быть математиком, не будучи поэтом в душе).

Теорема Виета. Нет формул важней

Для приведенного уравнения:

р - это сумма его корней,

q - его корней произведение.

Применение теоремы Виета

Зачем же нужна теорема Виета?

С ее помощью можно:

-    найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его (устно № 451-1,2);

-    зная один из корней, найти другой (устно № 452);

-    определить знаки корней уравнения (устно № 454-1);

-     подобрать корни уравнения, не решая его (№ 456 -1,2).

Задание. Подсчитайте сумму всех трех коэффициентов уравнения №450(1): 1 + 4-5= 0,

 и один из корней равен 1.

Правило 1. Если а + b + с = 0, то один из корней уравне­ния  равен 1. Второй легко

подсчитать с помощью теоре­мы Виета.

Мини-викторина

1.  Назовите максимально возможное количество корней квадратного уравнения

1997х² + 2х- 1999 = 0.

1997 + 2 - 1999 - 0.

Значит, один из корней уравнения равен 1, другой равен- 1999/1997.

Правило 2. Если а - b + с = 0, то один из корней квадрат­ного уравнения равен - 1 (как в 450 -2).

Тест (по карточкам, с проверкой)

Задание. Выпишите цифры, стоящие возле правиль­ных ответов. (В результате

должны получиться годы жиз­ни Франсуа Виета: 1540-1603).

1 вариант

1. Выберите среди квадратных уравнений приведенное.

 Зх² - 7х + 6 = 0      (5),

    х²  - Зх - 2 = 0           (1),

   -х² - 2х + 1 = 0      (4).

2. Для уравнения 7х² + 14х - 21 =0 приведенным является

х² + 2х - 3 = 0      (5),

-х² -2х + 3 = 0      (6),
7х + 14x-21 = 0  (7).

3. Сумма корней уравнения х² - 5х - 6 = 0 равна

-6 (2),

-5 (3),

  5 (4).

4. Произведение корней уравнения х² + х - 2 - 0 равно

-1 (2),

2 (1),

-2 (0).

5. Какое из уравнений имеет корни противоположных
знаков?

х² - 0,4х -1=0  (-),

х² + 4х + 0,2= 0 (+),

х² - Зх + 48 = 0 (*)?

2 вариант

1. Выберите среди квадратных уравнений приведенное.

4х² - 17х +1 = 0  (5),

х² + 8х – 2 = 0 (1),

-х² - х + 1 = 0 (4)?

2. Для уравнения 8х²-24х+ 16= 0 приведенным является

   х² - Зх + 2 = 0 (6),

 -х² +3х - 2 = 0 (5),

 -8х² + 24х - 16 = 0 (7).

3. Сумма корней уравнения х² + 8х -7 - 0 равна

-7 (2),

-8 (0),

 8 (4).

4.    Произведение корней уравнения х² -2 х - 3 = 0 равно

-3 (3),

4 (1),

-2 (0).

5.    Какое из уравнений имеет корни противоположных
знаков

х² + 57х + 15,1 = 0  (-),
х² -4,1х + 3,5 = 0 (+),

х² - 18х - 0,48 = 0 (.)?

Итог урок

 Стихотворение

Теорему Виета тебе

Я запомнить легко помогу:

Сумма корней минус р,

Произведение q.

д/з, выставление отметок