Отрытый урок по теме: "Теорема Виета"

 

 

+ bx+c=0

«Теорема Виета»

ОТКРЫТЫЙ УРОК

д: г + л'

преподавателя математики
СШ№2 г.Дагестанские Огни

Махмудовой Г.М.

С - X I * X 2 х 1 + X 2 = - Ь

х²+Ьх+с=0

Место урока в изучаемой теме “Квадратные уравнения”:

1.    Основные понятия: квадратное уравнение; полное, неполное квадратное уравнение; приведенное квадратное уравнение; корни квадратного уравнения, их количество.

2.    Известные способы решения квадратных уравнений: разложение на множители; графический способ; выделение полного квадрата.

3.    Формула корней приведенного квадратного уравнения, (полное квадратное уравнение сводится к приведенному делением обеих частей уравнения на коэффициент а≠О).

4.    Теорема Виета.

5.    Формулы корней квадратного уравнения (полного с нечетным и четным коэффициентом b).

Такая последовательность изучения материала продиктована желанием убедить учащихся в удобстве применения частных формул для нахождения корней квадратного уравнения - полного с четным коэффициентом b и приведенного, а также уравнений, сумма коэффициентов которых равна нулю (выводится с помощью теоремы Виета).

Так, пока они не знают основную формулу корней квадратного уравнения, вынуждены решать приведенное уравнение по выведенной с помощью выделения полного квадрата формуле (даже если коэффициенты при этом - дробные числа). Зато потом, когда, наконец, выводится основная формула, учащиеся могут осознанно выбрать, какую формулу удобно применить при решении того или иного уравнения и без труда воспользоваться ею. Обычно же дети “зацикливаются ” на основной формуле и с нежеланием применяют другие (если учитель не настаивает, то и не будут применять удобные для того или иного случая формулы).

Ход урока

I. Повторяем известные (к этому уроку) сведения о квадратных уравнениях

1)    Общий вид квадратного уравнения ...

2)    Сколько корней может иметь квадратное уравнение? ...

3)    Как называются квадратные уравнения, если коэффициенты b или с равны нулю? ...

4)    Как называется квадратное уравнение вида х² +рх + q = 0? Почему он так называется?

5)    По какой формуле находятся корни приведенного квадратного уравнения? ...

6)    Что определяет количество корней квадратного уравнения? ...

II.    Учащимся предлагается решить задания, записанные на доске

(1)    Решая уравнение 9х? + 21х- 8 = 0, нашли, что оно имеет корни

jc. = - 2 —, х₉ = — 3      ²      3

Выясните, правильно ли решено уравнение.

(2)    Докажите, что ни при каких целых значенияхр, число 105 не может быть корнем уравнения

х² +р х - 32108 = 0.

(3)    Решить квадратное уравнение х² +2х-35=о

(4)    Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 2 + V3 и

2-л/з .

Итак, перед нами стоит задача: дополнить уже известные сведения о квадратных уравнениях, установив зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.

В результате работы на уроке, необходимо узнать

•          как выполнить проверку найденных при решении квадратных уравнений корней

(1),(2);

•          как находить в несложных случаях корни квадратного уравнения подбором (3).

•          как составить квадратное уравнение по известным его корням (4).

III.    Двум наиболее подготовленным ученикам дается задание, которое они будут выполнять самостоятельно, пока класс занят другой общей работой

Карточка № 1:

-----------------  ———-— ------------------------------- ———-————------------ ——1

1.    Запишите формулу корней приведенного квадратного уравнения.

2.    Найдите xi^ex₂ vixj+хг, еслидс/ \лх₂- корни уравнения

_________________ __ I

Карточка № 2:

Даны числа т; п;р; q такие, что т + п = -р, т • п = q.

Докажите, что т и п - корни уравнения х² +рх + q = 0.

IV.    Работа с классом

На доске записаны четыре квадратных уравнения:

1)   X² - 4х + 3 = 0;

2)   4х? +л;-5 = 0;

3)   Зх² - 21х + 36 = 0;

4)   х² + 7х-10 = 0;

Учащимся предлагается самостоятельно найти корни данных уравнений, и первый, кто выполнил задание, выписывает рядом с уравнением найденные корни, их сумму и произведение.

После проверки правильности найденных корней, замечают (по просьбе учителя) закономерность в соотношении найденных корней и коэффициентов уравнения. А на вопрос, случайно ли такое совпадение, учитель просит ответить ученика, работавшего с карточкой № 1.

з

V.     Результаты своей работы учащийся, поясняя, записывает на доске

1) лт^ + рх + q = 0- приведенное квадратное уравнение, корни его находим по формуле:

Таким образом,

еслих; и JC2- корни квадратного уравнения, тоxi»x₂ = q нх₁+х₂ = -р.

• Это соотношение впервые заметил и доказал великий французский математик Франсуа Виет, поэтому утверждение носит название теоремы

Виета, (информация о Виете).

([1]) — Иллюстрацией того, что теорема справедлива не только для приведенных квадратных уравнений, но и для уравнений общего вида, являются второе и третье уравнение из предложенных в пункте IV: действительно,

и Я = ^ (а ф 0)
а

VI.    Учащимся сообщается, что верно и обратное утверждение

После обсуждения и окончательной формулировки обратной теоремы к доске приглашается ученик, работавший с карточкой № 2. Он объясняет свое решение:

Т.к. т; п; р; q такие, что т + п = -р, т • п = q, то х²- (т + п)х + тп- 0;

х'-тх-пх + тп = 0;

х(х - т)- п(х -т) = 0; (х - т)(х -п)=0, т.е. числа т\лп — корни уравнения X² +px + q = 0.

• С помощью этого утверждения можно проверить правильность найденных корней квадратного уравнения, составлять квадратное уравнение по заданным корням, а также, в некоторых случаях, подбором определить их.

Пример:

a)       X² + 9х +14 = 0;

б)   X² + 4х-12 = 0;

в)  X² -Зх- 28 = О

•          определить знаки корней предложенных уравнений;

•          если знаки различные, определить, модуль какого корня больше (положительного или отрицательного);

•          постараться подобрать корни данных уравнений.

После устного обсуждения записать решение одного из уравнений. Затем учащиеся самостоятельно подбором находят корни уравнений, которые записаны на откидной доске:

1) х2 - бх + 8 = 0	4) х2 + х -6 = 0	7) х2 -10х + 25 = 0
2)х2-10х + 21 =0	5) х2 -х - 42 - 0	8) х2 -7х- 12 - 0
X 'о 1 8? 1 Kj II о	6) х2-5х-6-0	9) х2 + 2х - 24 = 0

(Задание выполняется учащимися самостоятельно с последующей проверкой, в тетради достаточно записать номер уравнения и найденные корни.)

VII.    Работа над формулировками теорем

В результате чего делается вывод в каком случае при решении задач применяется теорема Виета, а в каком - теорема обратная ей.

(Для иллюстрации рассматриваются задания п. VIII, которые предстоит решить.)

VIII.    Задания

(Для удобства - карточка с заданиями на каждой парте.)

№ 1

Составить квадратное уравнение, если известны его корни:

а) 7 и 2;

б) -2 и 4;

в) - 2 и - 8;

г) - 8 и 3;

(*) —  (а) И (б) — решение записывается на доске учеником, корректируется учителем.

(В) - (Г) —решаются самостоятельно с последующей проверкой у доски.

№2

Один из корней уравнения х² +рх-35 = 0 равен 7. Найдите другой корень и коэффициент/?.

(*) — После обдумывания и обсуждения оформление решения выполняется учителем на доске.

№3

При каких значениях к произведение корней квадратного уравнения

х² + Зх +(к² - 7к +12) = О

равно нулю?

(*) — Решается самостоятельно с последующей проверкой.

IX.    Закрепление изученного материала

Для закрепления понимания учащимися зависимости между знаками корней квадратного уравнения и знаками соответствующих коэффициентов им предлагается самостоятельно заполнить таблицу (поставить знаки или 0).

(С последующим обсуждением.)

	Я	р
Xi> 0;х2> 0	+	-
Х]<0;х2< 0	+	+
хi> 0;х2<0	-
1 X! | > | |		-
1 X! | < | *2 |		+
Х]*Х2 = 0	0
Xi +:<2 ~ 0	-	0

X.     Подведение итогов

Учащимся напоминается цель урока и снова предлагается решить вводные задания (п. II):

•          как выполнить проверку найденных при решении квадратных уравнений корней (1), (2)?

•          как находить в несложных случаях корни квадратного уравнения подбором (3)?

•          как составить квадратное уравнение по известным его корням (4)?

Франсуа Виет

Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт.

Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.

Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с ее семьей и переехал с нею в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. Он общался с видным профессором Сорбонны Рамусом, с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли вел дружескую переписку.

В 1671 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.

В 1580 году Генрих III назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.

В 1584 году по настоянию Гизов Виета отстранили от должности и выслали из Парижа. Обретя покой и отдых, ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи.

Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом "Введение в аналитическое искусство". Основу своего подхода Виет называл видовой логистикой, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему "видов". В эту систему входили, например, переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато- квадраты и т. д. Для этих видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита. Для неизвестных величин применялись гласные буквы, для переменных - согласные.

Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление.

Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так: "Если B+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно BD, то А равно В и равно D".

В трактате "Дополнения к геометрии" он стремился создать некую геометрическую алгебру, используя геометрические методы для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Любое уравнение третьей и четвертой степени, утверждал Виет, можно решить геометрическим методом трисекции угла или построением двух средних пропорциональных.

Математиков столетиями интересовал вопрос решения треугольников, так как он диктовался нуждами астрономии, архитектуры, геодезии. Виет первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов, хотя положения, эквивалентные ей, эпизодически применялись с первого века до нашей эры. Известный ранее своей трудностью случай решения треугольника по двум данным сторонам и одному из противолежащих им углов получил у Виета исчерпывающий разбор. Глубокое знание алгебры давало Виету большие преимущества. Причем интерес его к алгебре первоначально был вызван приложениями к тригонометрии и астрономии. Не только каждое новое применение алгебры давало импульс новым исследованиям по тригонометрии, но и полученные тригонометрические результаты являлись источником важных успехов алгебры. Виету, в частности, принадлежит вывод выражений для синусов (или хорд) и косинусов кратных дуг.

В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де ла Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: "...14 февраля 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер... в Париже. Ему было более шестидесяти лет ".

---

[1] - Следует обратить внимание учащихся на то, что теорема Виета справедлива и тогда, когда квадратное уравнение имеет один корень, просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения.