Конспект урока: Производная сложной функции

Конспект урока

Учитель: Усенко Д. Н.

Предмет: Алгебра и НМА

День проведения:

Номер урока: 24

Класс: 11-А

Тема урока: Производная сложной функции

Тип урока: ознакомление с новым материалом

Планируемые результаты:

Предметные: формирование понятий основных формул и правил, геометрический и физический смысл производной; применение производной к исследованию функции, нахождению наибольшего и наименьшего значения функции и монотонность функции.

 Личностные: уметь развивать интеллектуальные способности, логическое мышление в процессе решения задач, сравнивать, выявлять закономерности, обобщать.

Метапредметные:

Регулятивные: уметь ставить учебную задачу на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимися, и того, что ещё неизвестно.

Коммуникативные: уметь участвовать в коллективном обсуждении вопроса, уметь сотрудничать с учителем и сверстниками, уметь формулировать собственное мнение, аргументировать и координировать её с позициями партнеров.

Познавательные: уметь осознано и произвольно строить речевые высказывания в устной и письменной форме, давать определение понятиям, уметь переносить новые знания в новые условия, уметь выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий.

Оборудование: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.

Цель:

Образовательная: сформировать знания о производной и правилах вычисления производной функций, проанализировать степень усвоения материала на тему "Производная".

Развивающая: развивать самостоятельность в выборе способа, режима, условий и организации работы, развивать память, мышление, речь, познавательные интересы, учить анализировать ответы товарищей, понимать свои ошибки.

Воспитательная: создать атмосферу коллективного поиска, эмоциональной приподнятости, радости познания, радости преодоления трудностей, дать почувствовать, увидеть, что, решая и выполняя всё более сложные задачи и упражнения, они продвигаются в своём интеллектуальном, профессиональном и волевом развитии.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Мотивация. Актуализация опорных знаний.

- понятие производной;

- физический и геометрический смысл производной;

- правило нахождения производной сложения и вычитания функции;

- правило нахождение производной произведения и частного.

3. Изучение нового материала.

Стр. 108-110 просмотреть материал в учебнике. Сделать основные записи в тетради:

Пусть сложная функция  такова, что функция  определена на промежутке , а функция  определена на промежутке  и множество всех ее значений входит в промежуток . Пусть функция  имеет производную в каждой точке внутри промежутка . Тогда функция  имеет производную в каждой точке внутри промежутка, вычисляемую по формуле:

, где

Для любого  и любого  справедлива формула: .

Рассмотреть примеры в параграфе учебника.

Задание № 4.59 (а, в)

а)

Логарифм положительного числа  по основанию  называют натуральным логарифмом число  и обозначают , т.е. вместо

Функция  имеет производную:

 

 

Функция  имеет производную при .

Обозначим функции, из которых состоит  за  и :

,

Применим теорему о производной сложной функции:

 

в)

Логарифм положительного числа  по основанию  ( называют число , такое, что  

Функция  имеет производную:

 

 

Функция  имеет производную при .

Обозначим функции, из которых состоит  за  и :

,

 

Задание № 4.60 (а, в)

а)

Функция  имеет производную при любом

Обозначим функции, из которых состоит  за  и :

,

 

в)

Функция  имеет производную при любом

Обозначим функции, из которых состоит  за  и :

,

  

Задание № 4.62 (ж, з)

ж)

Представим функцию  в виде . Так как  находится в знаменателе, он не может быть равен нулю. Так как из корня извлекается после возведения  в нечетную степень, не может быть отрицательным числом. Таким образом, функция имеет производную при .

 

з)

Так как степень  положительная дробь больше единицы с нечётным знаменателем, функция имеет производную при

 

Задание № 4.63 (ж, з)

ж)

Если  – обыкновенная дробь ( и , то под под выражением

Преобразуем выражение:  ,

 

з)

Преобразуем выражение: ,

 

5. Рефлексия. Итоги урока.

6. Домашнее задание: п. 4.6 выучить теоретический материал, № 4.62 (в, г), 4.63 (в, г), 4.52 решить.