Конспект
урока 9 класс
НА
ТЕМУ:
Тема урока:
«Синус, косинус и тангенс угла».
Тип урока: изучение
нового материала.
Класс: 9.
Цель урока:
- образовательная: ввести
понятия синуса, косинуса и тангенса угла, актуализировать знания о синусе, косинусе
и тангенсе угла в прямоугольном треугольнике, ознакомить с основным
тригонометрическим тождеством, формулами приведения и формулой для нахождения
координат точки, научить применять их при решении задач;
- развивающая:
развитие внимания, памяти, речи, логического мышления, самостоятельности;
- воспитательная:
воспитание дисциплины, наблюдательности, аккуратности, чувства ответственности.
Методы обучения: дедуктивно-репродуктивный
метод.
Оборудование:
мультимедиа проектор, презентация.
План урока:
1.
Орг. момент (2 мин);
2.
Актуализация знаний (5 мин);
3.
Изучение нового материала (22 мин);
4.
Первичное закрепление нового материла (13 мин);
5.
Подведение итогов урока и домашнее задание (3 мин).
Ход урока:
1.
Организационный момент.
Учитель приветствует учащихся,
подготавливает помещение к уроку и отмечает отсутствующих.
2.
Актуализация знаний.
Учитель: сегодня
мы приступаем к изучению новой главы «Соотношение между сторонами и углами
треугольника. Скалярное произведение векторов» и первой темой в данной главе
будет «Синус, косинус и тангенс угла». Запишите в тетрадях число и тему урока
(слайд 1).
Запись в тетрадях:
Число. Тема урока: Синус,
косинус и тангенс угла.
Учитель: но
прежде, чем перейти к изучению этой темы, повторим с вами пройденный материл.
– что называют синусом острого
угла?
Ученик:
синус острого угла α прямоугольного
треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Учитель:
что называют косинусом острого угла?
Ученик:
Косинус острого угла α прямоугольного
треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Учитель: что такое
тангенс острого угла?
Ученик: Тангенс острого угла α – это отношение
противолежащего катета к прилежащему катету.
Учитель: теперь решите
следующий пример (слайд 2).
1. Пусть в
прямоугольном треугольнике АВС АВ = 6, ВС = 3, угол А = 30º.
Выясним синус угла А и
косинус угла В.
Вариант 1 находит значение
синуса угла А, вариант 2 находит косинус угла В.
(ученики самостоятельно
решают в тетрадях)
Решение
1) Сначала находим
величину угла В. Тут все просто: так как в прямоугольном треугольнике сумма
острых углов равна 90º, то угол В = 60º:
В = 90º – 30º = 60º.
2) Вычислим sin A.
Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для
угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:
sin A = = = .
3) Теперь вычислим cos B.
Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла
В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова
надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при
вычислении синуса угла А:
cos B = = = .
В итоге получается:
sin A = cos B = .
Или:
sin 30º
= cos 60º = .
3.
Изучение нового материала
Учитель: мы
вспомнили, что является синусом, косинусом и тангенсом угла в прямоугольном
треугольнике. Теперь мы познакомимся с этими понятиями в независимости от
фигуры, в которой они находятся.
Введем прямоугольную систему
координат Оху и построим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат,
расположенную в первом и втором квадрантах. Данная полуокружность называется
единичной (см. рис. 290 в учебнике). Запишите определение с экрана и сделайте
рисунок. (слайд 3)
Запись в тетрадях:
Полуокружность называется
единичной, если ее центр находится в начале координат, а радиус равен 1.
Учитель: из
точки О проведем луч h , пересекающий единичную
полуокружность в точке М (х;у). обозначит буквой a угол между лучом h и
положительной полуосью абсцисс. Если луч h совпадает
с положительной полуосью абсцисс, то будем считать, что a = 0 °.
Если угол a
острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем, sin a = , a cos a = .
Но OM =
1, MD это ордината, OD -
абсцисса, поэтому sin a ордината у точки М, cos a это
абсцисса х точки М.
Запись на доске и в
тетрадях:
Если угол a
острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем,
sin a = , a cos a = .
Но OM = 1, MD = y, OD = x,
поэтому sin a = y, cos a = x.
(1)
Учитель: Так
как из прямоугольного треугольника DOM тангенс
- это отношение противолежащего катета к прилежащему tg = , то тангенс будет равен
отношению синуса угла a к косинусу угла a tg = . Существует еще функция,
обратная тангенсу - катангенс, и он равен отношению косинуса угла a к
синусу ctg = .
Итак, синус острого угла a равен
ординате у точки М, а косинус угла a - абсциссе х точки М.
Запишите со слайда информацию в тетради (слайд 4).
Запись на доске и в
тетрадях:
Т.к. tg = , то tg = , ctg
= .
Учитель: если
угол a
прямой, тупой или развернутый, это углы AOC, AON и AOB на
рисунке 290 учебника, или a = 0 °, то синус и косинус угла a также
определим по формулам (1).
Таким образом, для любого угла
a
из промежутка 0° ≤ a ≤ 180° синусом угла a называется ордината у точки М, косинусом
угла a
- абсцисса х точки М.
Так как координаты (х; у)
точек единичной полуокружности заключены в промежутках 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1,
то для любого a из промежутка 0° ≤ a ≤ 180°
справедливы неравенства:
0 ≤ sin a ≤
1, - 1≤ cos a ≤ 1 (слайд 5). Запишите это в тетради.
Запись в тетрадях:
Т.к. 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1,
то для любого a из промежутка 0° ≤ a ≤ 180°
0 ≤ sin a ≤
1, - 1≤ cos a ≤ 1.
Учитель: а
теперь найдем значения синуса и косинуса для углов 0°, 90° и 180°. Для
этого рассмотрим лучи OA, OC и OB,
соответствующие этим углам (см.рис.290). Так как точки А, С и B имеют
координаты А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), то
Sin 0° = 0,
sin 90° = 1,
sin 180° = 0,
cos 0° = 1,
cos 90° = 0,
cos 180° = -
1. (2) (слайд 6) Запишите в тетради.
Запись в тетрадях:
Sin 0° =
0, sin 90° =
1, sin 180° =
0, cos 0° =
1, cos 90° =
0, cos 180° =
- 1
Учитель: так
как tg = , то при a = 90°
тангенс угла a не определен, так как cos 90° = 0
знаменатель обращается в нуль. Катангенс угла ctg
= не
определен при a = 0 °, a = 180 ° , так как знаменатель sin 0° =
0, sin 180° =
0 обращается в нуль. Используя формулы (2), находим:
tg 0 ° =
0, tg 180 ° =
0.
ctg 90° =
0.
Запишите это в тетради. (слайд
7)
Запись в тетрадях:
Т.к. tg = , то при a = 90°
тангенс угла a не определен.
tg 0 ° =
0, tg 180 ° =
0,
т.к. ctg = , то при a = 0 °, a = 180
°
катангенс угла a не определен
ctg 90° =
0.
Учитель: кроме
этих значений при решении задач вам понадобятся и другие значения синуса,
косинуса, тангенса и катангенса при различных угла a.
Сделайте себе в тетради небольшую тригонометрическую таблицу значений синуса,
косинуса, тангенса и катангенса (слайд 8).
Запись в тетрадях:
Учитель: теперь
мы познакомимся с вами с основным тригонометрическим тождеством. Запишите
заголовок в тетради.
Запись в тетрадях:
Основное тригонометрическое
тождество.
Учитель: на
рисунке 290 учебника изображены система координат Оху и полуокружность АСВ с
центром О. Эта полуокружность является дугой окружности, уравнение которой
имеет вид х2 + у2 =
1. Подставив сюда выражения для х и у из формул sin
= x, cos = y, получим равенство
sin2 a + cos2 a =
1, (4)
Которое выполняется для любого
угла a
из промежутка 0° ≤ a ≤ 180°. Равенство (4) называется основным тригонометрическим тождеством.
В VIII классе оно было доказано для
острых углов. Запишите в тетради информацию со слайда. (слайд 9)
Запись в тетрадях:
Для любого угла a из
промежутка 0°
≤ a
≤ 180°
верно
sin2 a + cos2 a =
1 - основное тригонометрическое тождество.
Учитель: теперь
определим знаки синуса, косинуса и тангенса в разных четвертях.
Знаки синуса.
Так как sin a = , то знак синуса зависит от
знака у. В первой и второй четвертях у > 0, в третьей и четвертой у > 0.
Значит синус больше нуля, если угол a находится в первой ил второй
четверти, и синус меньше нуля, если угол a находится в третьей ил
четвертой четверти. Запишите эту информацию в тетради со слайда (слайд 10)
Запись в тетрадях:
т.к. sin a
= ,
I , II ч - sin a >
0, III, IV ч - sin a < 0
Учитель:
знаки косинуса. Так как cos a = ,
то знак косинуса зависит то знака х. тогда в первой и четвертой четвертях х
> 0, а во второй и третьей четвертях x <
0. Следовательно: косинус больше нуля, если угол a находится в первой или
четвертой четверти, и косинус является меньше нуля, если угол a
находится во второй или третьей четверти. Запишите это в тетради со слайда.
Запись в тетрадях:
Так как cos a =
I , IV ч - cos a
> 0, II, III ч - cos a < 0
Учитель: знаки
тангенса и катангенса.
Так как tg a = , а ctg a = , то знаки tg a и ctg a
зависят от знаков x и y. В 1 и 3 четвертях x и y
имеют одинаковые знаки, а во 2 и 4 разные. Значит: tg a >
0 и ctg a > 0, если угол a является углом 1 или 3
четверти; tg a < 0 и ctg a < 0, если угол a является углом 2 или 4
четверти. Запишите в тетради, и перенесите в таблицу.
Запись в тетрадях:
tg a =
I , III ч - tg a
> 0, II, IV ч - tg a < 0
ctg a =
I , III ч - ctg a
> 0, II, IV ч - ctg a < 0.
Учитель: кроме
основное тригонометрического тождества справедливы также следующие тождества,
которые являются формулами приведения. Запишите их в тетради. (слайд 11)
sin (90° - a) = cos a
cos (90° - a) = sin a (5)
при 0°
≤ a
≤ 90°,
sin (180° - a)= sin
a
cos (180° - a) = -
cos a
(6) при 0° ≤ a ≤ 180° .
Запись в тетрадях:
Формулы приведения.
sin (90° - a) =
cos a
cos (90° - a) =
sin a
(5) при 0° ≤ a ≤ 90,
sin (180° - a)= sin
a
cos (180° - a) = -
cos a
(6) при 0° ≤ a ≤ 180 .
Учитель: и
последнее, что мы сегодня с вами рассмотрим, это формулы для вычисления
координат точки, сделайте в тетрадях следующий заголовок: формулы для
вычисления координат точки. (слайд 12)
Запись в тетрадях:
Формулы для вычисления
координат точки.
Учитель:
итак, пусть задана система координат Оху и дана произвольная точка А(х;у) с
неотрицательной ординатой у (см.рис. 291 учебника).
Выразим координаты точки А
через длину отрезка ОА и угол a между лучом ОА и положительной полуосью
Ох. Для этого обозначим буквой М точку пересечения луча ОА с единичной
полуокружностью. По формулам sin a = y, cos a = x координаты
точки М соответственно равны cos a и sin a.
Вектор имеет
те же координаты, что и точка М, т.е. (cos a; sin a).
Вектор имеет
те же координаты, что и точка А, т.е. (х;
у). По лемме о коллинеарных векторах =
ОА ∙ ,
поэтому
x = ОА ∙
cos a,
y = OA ∙ sin a. (7)
Запишите все в тетрадь со
слайда.
Запись в тетрадях:
sin a
= y, cos a = x
М(cos a; sin a), (cos a; sin a), (х; у).
По лемме о коллинеарных
векторах =
ОА ∙ ,
поэтому
x = ОА ∙ cos a,
y = OA ∙ sin a. (7)
4. Закрепление
изученного материала
Учитель: а
теперь закрепим изученный материал при решении следующих номеров задач: №№
1012, 1013, 1015.
К доске вызываются ученики.
Учитель:
№ 1012. Проверьте, что точки М1(0; 1), М2 ( ; ), М3 ( ; ), М4 (-; ), А(1; 0), В(- 1; 0) лежат на
единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов
АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ.
Запись на доске и в тетрадях:
№ 1012.
Дано: М1(0; 1), М2 ( ; ), М3 ( ; ), М4 (-; ), А(1; 0), В(- 1; 0)
Найти: sin, cos, tg углов:
АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ
Ученик:
чтобы проверить, принадлежат ли точки единичной полуокружности, мы должны
координаты точек подставить в уравнение окружности х2 +
у2 = 1.
Запись на доске и в
тетрадях:
М1 (0;
1), 02 + 12 =
0 +1 = 1, следовательно М1 Окр
(0; 1).
М2 ( ; ), + = 1, + = 1, 1 = 1,
следовательно М2 Окр
(0; 1).
М3 ( ; ), + = 1, + = 1, 1 = 1, следовательно М3 Окр
(0; 1).
М4 (-; ), + = 1, + = 1, 1 = 1, следовательно М4 Окр
(0; 1).
А(1; 0), 1 2 +
02 = 1 = 1, следовательно А Окр
(0; 1).
В(- 1; 0), (-1)2 +
02 = 1 = 1, следовательно В Окр
(0; 1).
Ученик: найдем
значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ1, АОМ2,
АОМ3, АОМ4, АОВ. Так как синус - это ордината точки,
косинус - это абсцисса точки, а косинус, это отношению синуса к косинусу,
находим их значение.
Находим синус, косинус и
тангенс угла АОМ1.
Запись на доске и в
тетрадях:
Т.к. sin a = y,
cos a = x,
tg =
sinÐАОМ1=
1, cosÐАОМ1 =
0.
sinÐАОМ2 = , cosÐАОМ2 = , tg ÐАОМ2 = .
sinÐАОМ3 = , cosÐАОМ3 = , tg ÐАОМ3 = 1.
sinÐАОМ4 = , cosÐАОМ4 =, tg ÐАОМ4 = .
sinÐАОВ = , cosÐАОВ =, tg ÐАОВ = .
Учитель: теперь
разберем номер 1013 (а, б). Найдите синус угла a, если известнее
косинус.
К доске вызывается ученик.
Запись на доске и в
тетрадях:
№ 1013
(а, б)
Дано: а) cos a = .
б) cos a = .
Найти: sin a
Ученик: чтобы
найти синус угла, используем основное тригонометрическое тождество и выразим
синус через косинус.
Запись на доске и в
тетрадях:
sin2 a + cos2 a = 1
a) sin2 a = 1 -
cos2 a;
sin2 a =
1 - = 1 - = ;
sin2 a =
Ученик: так как точка
находится в первой четверти, синус положителен, следовательно равен .
Запись на доске и в
тетрадях:
Так как a находится
в 1 ч., то sin a > 0,
sin a =
б) sin2 a =
1 - =
1 - = ;
Ученик: так
как угол a находится во 2 ч., то sin a >
0
Запись на доске и в
тетрадях:
Так как a находится
во 2 ч., то sin a > 0,
sin a = .
Учитель: теперь
решите номер 1015(а, в), где необходимо найти тангенс угла a.
К доске вызывается ученик.
Запись на доске и в
тетрадях:
№ 1015
(а, в)
Дано: а) cos a =
1;
в) sin a = и 0° < a <
90°.
Ученик: так
как тангенс - это отношение синуса угла к косинусу угла, нам необходимо под а)
найти синус угла, а под б) косинус угла. Используем основное тригонометрическое
тождество.
Запись на доске и в
тетрадях:
a) tg = ,
sin2 a + cos2 a = 1;
sin2 a = 1 -
cos2 a;
sin2 a = 1
- = 1 - =
0; sin a = 0.
tg = = =
1.
в) sin2 a + cos2 a = 1;
cos2 a = 1 -
sin2 a;
cos2 a = 1
- = 1 - = ;
т.к. 0° <
a <
90° , cos
a >
0, cos a
= .
tg = = 1.
5. Подведение итогов
урока и домашнее задание
Учитель: итак,
сегодня на уроке мы изучили синус, косинус и тангенс угла. Теперь ответьте на
следующие вопросы:
Что называется синусом угла?
Ученик: синус
острого угла a равен ординате у точки.
Учитель:
что называется косинусом угла?
Ученик: косинус острого
угла a
равен абсциссе х точки
Учитель: что
такое тангенс угла?
Ученик: тангенс
- это отношение синуса угла a к косинусу угла, отношение
ординаты точки к абсциссе.
Учитель: А
что такое катангенс угла?
Ученик: катангенс
- это отношение косинуса угла у синусу.
Учитель: какое
основное тригонометрическое тождество вы знаете?
Ученик: sin2 a + cos2 a =
1 является основным тригонометрическим тождеством.
Учитель: какие
есть формулы для вычисления координат точки?
Ученик: x =
ОА ∙ cos a, y = OA ∙ sin a.
Учитель: а
как определить знаки синуса или косинуса?
Ученик: нужно
определить, в какой четверти лежит точка с заданными координатами, или данный
угол a.
Учитель: решение
задач по пройденной теме мы продолжим еще на следующем уроке, а сейчас запишите
задание на дом: §1, пп. 93 - 95, №№ 1014, 1015 (б, г). (слайд 13)
Запись на доске и в
тетрадях:
Д/з: §1, пп. 93 - 95, №№ 1014,
1015 (б, г)
Учитель: урок
окончен. До свидания.
Решение домашней работы.
№ 1014.
Дано: а) sin a = ;
б) sin a = ;
в) sin a = .
Найти: cos a.
Решение.
а) Выразим cos a из
основного тригонометрического тождества sin2 a + cos2 a =
1.
cos2 a = 1 -
sin2 a;
cos2 a = 1
- = 1 - = ;
cos a =
± .
б) Аналогично:
cos2 a = 1
- = 1 - = ;
cos a =
±.
в) cos2 a =
1 - 0 = 1
cos a =
± 1.
№ 1015(б,
г).
Дано: б) cos a =
- ;
г) sin a = и 90° < a <
180 °.
Найти: tg a.
Решение.
б) tg = ,
sin2 a + cos2 a = 1;
sin2 a = 1 -
cos2 a;
sin2 a = 1
- = 1 - = ,
sin a =
± .
tg = = = .
г) cos2 a = 1 -
sin2 a;
cos2 a = 1
- = 1 - =
т.к. 90° <
a <
180 °, то sin
a >
0, sin a = ,
tg = = = .
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.